數(shù)學(xué)解題中的化歸思想

李健紅

化歸思想就是把待解決或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化手段，使它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，從而求得原問題的解答.化歸思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)和掌握轉(zhuǎn)化思想，有利于我們從更高層次上去揭示、把握數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，樹立辯證的觀點(diǎn)，提高分析問題和解決問題的能力.

一、化歸的基本思想

“化歸”就是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的簡(jiǎn)稱.化歸方法是數(shù)學(xué)上解決問題的一般方法，其基本思想是：在解決問題數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常將有待解決的問題P，通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問題Q，而問題Q是一個(gè)相對(duì)比較容易解決或者已有明確解決方法的問題，且通過對(duì)問題Q的解決可以聯(lián)想到問題P的解決.用框圖可以直觀表示如下：

其中，問題P常被稱作化歸對(duì)象，問題Q常被稱作化歸目標(biāo)或方向，其轉(zhuǎn)化的手段也就被稱作化歸途徑或者化歸策略.

二、化歸的基本原則

在處理數(shù)學(xué)問題的過程中，常將有待解決的陌生、不熟悉的問題通過轉(zhuǎn)化，將它歸結(jié)為一個(gè)或幾個(gè)比較熟悉或者比較簡(jiǎn)單的問題來解決.這樣就可以充分運(yùn)用我們已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與方法來幫助我們處理和解決問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體直觀的問題；將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題；將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊的問題；將實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；將不同數(shù)學(xué)分支的知識(shí)相互轉(zhuǎn)化，較多見于平面與空間、解析與三角、代數(shù)與幾何，等等，從而使問題易于解決.

三、化歸的基本類型

1.常量與變量的轉(zhuǎn)化

在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問題時(shí)，可以選取原來是常量或參數(shù)看做“主元”，而把原來的變?cè)醋觥俺Ａ俊?，從而?jiǎn)化其運(yùn)算的策略.

例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a為正整數(shù)，問a何值時(shí)，原方程至少有一個(gè)整數(shù)根.

分析：若采用方程求根公式x=來討論x的整數(shù)值，顯然十分復(fù)雜.在原方程中，x是變?cè)?，a是參數(shù)，不妨把a(bǔ)與x的位置換一下，把a(bǔ)看做變?cè)?，x看做參數(shù)來處理.

解：將原方程以a作變?cè)?，重新整理，?/p>

a（x+2）=2x+7①

顯然，當(dāng)x=-2時(shí)，①式不成立.因此，有

a=（x≠-2）②

若要a為正整數(shù)，則須2x+7≥（x+2）

解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分別代入②式中即知，僅當(dāng)x=-3，x=-1和x=1時(shí)能使a為正整數(shù)，此時(shí)分別有a=1和a=5，即當(dāng)a為1或5時(shí)原方程至少有一個(gè)整數(shù)根.

2.數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，可以利用數(shù)量關(guān)系的討論來研究圖形的性質(zhì)，也可以利用幾何圖形直接地反映函數(shù)或方程中變量之間的關(guān)系.

例2.求函數(shù)f（x）=的值域.

分析：本題的難點(diǎn)在于根號(hào)難以處理，若使用單純換元法難以奏效.結(jié)合直線的斜率的幾何意義，可以構(gòu)造半圓來處理根號(hào).

解：設(shè)y=，則

f（x）==，于是所求y的值域就是求定點(diǎn)A（1，-2）與半圓y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）所確定的直線PA的斜率的范圍.由圖1知直線PA的A（1，-2）斜率為［1，+∞），即f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）.

圖1

3.一般與特殊的轉(zhuǎn)化

若要處理的數(shù)學(xué)問題從正面不易找到著手點(diǎn)時(shí)，一般性難以解決的問題，可以考慮從特殊性的問題來解決；反過來，特殊性難以解決的問題，也可以考慮從一般性的問題來解決.

例3.設(shè)f（n）=++…+（n∈N），那么f（n+1）-f（n）等于（）

A.B.C.+D.-

分析：本題可以直接算出f（n+1）與f（n），再算出f(n+1)-f(n)的結(jié)果也是行得通的，只是較麻煩.考慮f（n）對(duì)所有的自然數(shù)都成立，故只取特殊值檢查即可.

解：取n=1，則有f（2）-f（1）=（+）-=顯然只有-=-=，因此選D.

4.相等與不相等之間的轉(zhuǎn)化

相等與不相等是兩個(gè)不同意義的概念，在一些特定的條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的，這些轉(zhuǎn)化可以使原問題變得簡(jiǎn)單.

例4.若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是 .

分析：結(jié)論要的是關(guān)于ab的，而條件給的是a+b的關(guān)系，因此需要把a(bǔ)+b轉(zhuǎn)化為ab的關(guān)系.聯(lián)想到均值不等式a+b≥2，將原等式轉(zhuǎn)化為不等式處理.

解：由a、b為正數(shù)，知a+b≥2.

又由已知ab=a+b+3，所以ab≥2+3

即（）-2-3≥0

解得≤-1（不符合平方根的意義，舍去），≥3

∴ab≥9，即ab的取值范圍是［9，+∞）.

5.實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化

這種思想，實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)建模的思想.數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，從而解決它.需要具有一定的文字閱讀能力、理解能力，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力.

例5.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某商品在近100天內(nèi)，其銷售量和價(jià)格均是時(shí)間t的函數(shù)，且銷售量近似地滿足關(guān)系g（t）=-t+（t∈N，0＜t≤100），在前40天內(nèi)價(jià)格為f（t）=t+22（t∈N，0≤t≤40），在后60天內(nèi)價(jià)格為f（t）=-t+52（t∈N，40＜t≤100），求這種商品的日銷售額的最大值（近似到1元）.

分析：由于在實(shí)際中，銷售額=銷售量×價(jià)格，因此可以建立函數(shù)關(guān)系式.

解：前40天內(nèi)日銷售額S為：

S=（t+22）（-t+）=-t+t+799

∵S=-（t-）+799+9

∵0＜t≤40，t∈N

∴當(dāng)t=10或t=11時(shí)，S=808.5≈809

后60天內(nèi)日銷售額為：

S=（-t+52）（-t+）=t-t+

∴S=（t-）-

∵40＜t≤100，t∈N，

∴當(dāng)t=41時(shí)，S=714

綜上所述，當(dāng)t=10或t=11時(shí)，S取得最大值，且S≈809.

答：第10天或第11天日銷售額的最大值為809元.

6.各數(shù)學(xué)分支之間的相互轉(zhuǎn)化

中學(xué)的數(shù)學(xué)分支較多，雖然知識(shí)點(diǎn)各有不同，但它們之間卻有很多聯(lián)系，因此，把數(shù)學(xué)的各個(gè)分支相互轉(zhuǎn)化是一個(gè)重要的解題策略.比如說立體幾何中問題，有很多都是轉(zhuǎn)化為其他分支的知識(shí)來解決的.

例6.如圖2，在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

圖2

（1）求證：SC⊥BC；

（2）求側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角大?。?/p>

（3）求異面直線SC與AB所成的角的大小.

分析：立體幾何中的線線、線面、面面的位置關(guān)系大都可以通過轉(zhuǎn)化，由此建立它們的相互關(guān)系，從而使問題得到解決.

證明：（1）由已知∠SAB=∠SAC=90°，知SA⊥SB，SA⊥AC.顯然AB與AC相交于點(diǎn)A，所以有直線SA⊥平面ABC.由于∠ACB=，即有BC⊥AC，由三垂線定理，可得SC⊥BC.

（2）∵BC⊥AC，SC⊥BC

∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成的二面角的平面角.

在直角三角形SCB中，由BC=，SB=，得

SC===4.

在直角三角形SAC中，由AC=2，SC=4，得

cos∠SCA==

所以∠SCA=，側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角大小為.

（3）如圖3，過點(diǎn)C作CD∥BA，過點(diǎn)A作BC的平行線，交CD于D，連接SD，則∠SCD是異面直線SC與AB所成的角，又四邊形ABCD是平行四邊形.

圖3

BC=AB==

SA==2，

SD=+=5

在△SCD中，cos∠SCD=

==

所以，SC與AB所成的角的大小為arccos.

數(shù)學(xué)教育和素質(zhì)教育所提倡的“過程教學(xué)”中的“過程”指的是數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程、知識(shí)的形成發(fā)展過程、解題思路的探索過程、解題方法和規(guī)律的概括過程.只有在平時(shí)的學(xué)習(xí)中注意了這些“過程”，才能提高自己獨(dú)立解決問題，自主獲取知識(shí)，不斷探索創(chuàng)新的能力；也只有利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去探求新知識(shí)領(lǐng)域，去研究解決實(shí)際問題，才是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的最終目的.

參考文獻(xiàn)：

［1］錢佩玲，邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué).北京：北京師范大學(xué)出版社.

［2］薛金星.怎樣解題.北京：北京教育出版社.