Rⁿ上完全非線性退化拋物系統(tǒng)無界黏性解的存在性

王俊芳 王照良

摘 要 本文主要證明了上完全非線性退化拋物系統(tǒng)的耦合黏性上下解的比較原理的成立，也證明了黏性解的存在唯一性。

關(guān)鍵詞 耦合黏性上下解 完全非線性退化拋物方程 Perron's方法

中圖分類號：O1文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Existence of Unbounded Viscosity Solutions of Fully

Nonlinear Degenerate Parabolic Systems in

WANG Junfang[1], WANG Zhaoliang[2]

([1] Zhengzhou Vocational College of Industrial Safety, Zhengzhou, He'nan 450000;

[2] School of Mathematics and Information Science, He'nan Polytechnic University,Jiaozuo, He'nan 454000)

Abstract In this article, we prove the comparison principle for coupled viscosity sub and super-solution of degenerate parabolic systems of general form inby the technique of coupled viscosity sub- and supper-solutions. We also prove the existence, uniqueness of viscosity by Perron's method.

Key words Coupled viscosity sub and supper-solutions; Fully nonlinear degenerate parabolic equations; Perron's method

0 引言

這篇文章主要是關(guān)于下列二階完全非線性退化拋物方程組（1.1）

在黏性意義下的解。這里 = ( 0， ]住?讇讇住是給定的函數(shù)但不一定連續(xù)。未知函數(shù)→是實(shí)值函數(shù)；其中是捉資刀猿憑卣蟮募合?

對于擬單調(diào)系統(tǒng)來說，比較原理并不成立，為解決這個(gè)難題，我們利用了耦合黏性上下解的技巧。首先定義： () = {}:讇住?

這里，

定義1 假定是退化拋物擬單調(diào)的。我們稱()是(1.1)的黏性上下解，如果≤≤, ∈， 并且滿足

，

；

，

。

這里是通過∈讇錐ㄒ宓?？梢奫6]。

此時(shí)，如果 和 都是 (1.1)的耦合黏性上下解。則稱為 (1.1)的耦合黏性解；如果是 (1.1)的耦合耦合黏性解，稱為 (1.1)的黏性解。

在文獻(xiàn) [6,7]里定義的黏性解僅適用于標(biāo)量退化橢圓或拋物方程，而上述定義在[4,9] 中成為研究完全非線性拋物或橢圓系統(tǒng)一個(gè)有力工具。這篇文章，我們不僅證明了比較原理的成立，也證明了全空間上黏性解的存在唯一性，這個(gè)結(jié)果拓展了文獻(xiàn)[9]的內(nèi)容，那里的區(qū)域是有界的。

1 比較原理

為建立比較原理，我們需加一些條件。

（1）：存在常數(shù)＞0，使得()(,,,,)≥-，，() ∈ 。

（2）：存在連續(xù)函數(shù)滿足 = 0使得對每一個(gè)固定，

(,,,,)() ≤ [||(1+||)]

, ∈,,,且≤。

（3）：存在常數(shù)使得

|()(,,,,)|≤||

∈, (,,,)∈

（4）：對每一個(gè)， = {|()|:||,||≤}＜∞。

定理1 設(shè)是退化拋物擬單調(diào)的且滿足 (1)-(4)，讓是(1.1)的耦合粘性上下解。假定至多線性增長，即存在，使得

≤(1+||), ≥-(1+||)（2.1）

則≤

在證明定理 1之前，我們先做出下面的粗略估計(jì)。

性質(zhì)1. 假定滿足條件(4)。讓是(1.1)的耦合黏性上下解。滿足 (2.1)式。則對每個(gè) ＞，存在常數(shù) = (, )＞0使得

()()≤ ||+（2.2）

證明：假定和—在上上半連續(xù)，讓

() = ,=(1+||1/2) +

我們僅需證明，()≤，選取足夠大。（2.3）

選擇一組上函數(shù)，具有性質(zhì)：

（a）：≥0； （b）：() = 0, ||＜, ；

（c）：；

（d）： = {|()|+|()|:∈,＞0}＜∞。

考慮函數(shù) () = () (() + ())

由（2.1）和（c）知 ()＜0若||2 + ||2≥且0≤,≤，足夠大。假設(shè)（2.3）錯(cuò)誤，由（b）得，{}＞0, 足夠大。注意到 在(,,,)上達(dá)到最大值，這里0＜ ,＜ , ,＜。于是

( ,+, )∈ ( ) ，

( ,, - )∈ ( )

這里 = ((1+||2)1/2) │z =x-y , = ((1+||2)1/2)│z =x-y , =

由于是(1.1)的耦合黏性上下解，則有

+ ((),, + ,)≤0（2.4）

+ ((),,, -)≥0（2.5）

又由（d）和的定義，知

| + |, | |, ||, |-|≤， = ( , )

兩式相減，再由（4），得≤，如果選取大于和，得出矛盾。

設(shè) ， ＞0,＞1讓其中 () =,= (||2 + ||2)+

性質(zhì)2.假設(shè)和滿足（2.2），且 = {():|＞ ,|()∈}＞0，則存在常數(shù)，使得()＞,0＜ ＜, 0＜ ＜ 0,＞1 （2.6）

證明：由（2.2）式知 ＜ +∞。根據(jù)條件，存在一點(diǎn)() ，使得()＞3/4且||4＜/ ， 足夠大。注意到 ()＞，因此 ()＞,, 充分小。

定理1的證明。反證，假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，則存在 ∈ ,＞0，使得={ :||＞ , ∈}

={{ :||＞ , ∈}}（2.7）

現(xiàn)在考慮函數(shù)

由（2.2）可看出是負(fù)的在緊集 [0, )??外。因上半連續(xù)，由（2.6），在點(diǎn)(,,)達(dá)到最大值，這里(,,)依賴于 , , 且(,,)＞0，則

≤|| +( 1+ )， （2.8）

根據(jù)和耦合黏性上下解的定義，可知≠0且≠，則存在數(shù)和 ∈，使得( +,+)∈ (), (,)∈()，

從（2.8）式看出 （||2 + ||2）和 ||3有界，且與0＜ , ≤1和 ＞1無關(guān)。因此當(dāng) →0時(shí)， , 收斂于0，關(guān)于一致。當(dāng) →∞時(shí)，||→0關(guān)于0＜ ,≤1一致。由[10]性質(zhì)4.4，有||4 = 0，又由()是耦合黏性上下解，則

+ (, ,(),,+ ,+ )≤0 (2.9)

+ (, ,(),, , )≥0 (2.10)

兩式相減并注意下半連續(xù)，讓 →0，得

0≥ +(, ,(),,, )(, ,(),, , ) = +1+ 2+ 3

這里(, )是()的極限點(diǎn)，當(dāng) →0時(shí)，且＜，其中

1= (, ,(),,, )(, ,(),, , )；

2=(, ,(),,, )(, ,(), , , )；

3=(, ,(),,, )(, ,(), , , )

由條件（1）知 1＞ ( )→，當(dāng) →∞時(shí)；由條件（3）和（2.7），知 2＞，當(dāng) →∞時(shí)； 又由條件（2）和＜知，當(dāng) →∞， , →0時(shí)， 3≥- (|| (1+)) = -(|| +||4)→0。所以，≥，當(dāng) →∞， , →0時(shí)。于是得出矛盾，因?yàn)?＞ ，故比較原理成立。

2 黏性解的存在

定理2.假定滿足定理 1的條件。為(1.1)的黏性上下解，≤且和至多線性增長。則(1.1) 有唯一黏性解。

對于定理2，我們不再給出證明，它是Perron方法的直接結(jié)果。

本文受福建省教育廳A類科技項(xiàng)目（JA09202）、河南理工大學(xué)青年基金（Q2011-36A）資助

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