《高等數(shù)學(xué)》課程中極限定義的教學(xué)研究

張靜 樊永艷

【摘要】《高等數(shù)學(xué)》課程中，極限是非常重要的，極限的定義是該課程中的難點(diǎn)．本文將采用等價(jià)分析法講解極限的抽象定義，即將極限的一般定義中的各部分逐一變換成抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言.由易漸難地定義極限,使學(xué)生們更容易接受。

【關(guān)鍵詞】極限 等價(jià)分析法 抽象定義

【Abstract】 In the “ higher mathematics” course, the limit is very important．The definition of limit in the course is difficulty. This paper will use the equivalent analysis method to explain the abstract definition of limit, that is the each part that the general definition of the limitare transformed into an abstract mathe matical language. From easy gradually difficult definition of limit, make it easier for students to accept.

【Keyword】Limit; equivalent analysis method; abstract definition.

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.66 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2012）05-0104-01

1.研究極限定義教學(xué)的必要性

《高等數(shù)學(xué)》課程中，主要內(nèi)容為微積分。課程本身就是用極限的方法來(lái)研究的。第一章主要內(nèi)容為極限，在后面的學(xué)習(xí)中，函數(shù)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)以及定積分的概念等都是用極限來(lái)定義的。作為剛剛升入大一的學(xué)生，還不適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的思維方法。高中數(shù)學(xué)僅僅是將理論用于實(shí)踐，但大學(xué)數(shù)學(xué)里，理論的來(lái)源也十分重要，有的題目要用定義來(lái)解決。沒(méi)有極限，數(shù)學(xué)后面的課程幾乎寸步難行。由此看來(lái)，極限定義的教學(xué)探討是十分必要的。研究極限定義的教學(xué)，避免了學(xué)生對(duì)《高等數(shù)學(xué)》失去信心，產(chǎn)生抵觸情緒。

2.極限的抽象定義與難點(diǎn)分析

x→x0時(shí)函數(shù)的極限的定義如下：

定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義．如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)?著（不論它多么?。?，總存在正數(shù) ?啄，使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等式0＜｜x→x0｜＜?啄時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式｜f(x)-A｜＜?著，那么常數(shù)A就叫作函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限。

極限定義的教學(xué)難點(diǎn)在于：定義是用抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)的。“去心鄰域”、 “存在”、“任意給定”以及一些x、x0、f(x)、?著和?啄之間的關(guān)系式，另外還存在著絕對(duì)值不等式，使學(xué)生難以搞懂。

實(shí)際上，撇開(kāi)x→x0這個(gè)過(guò)程，就得到了函數(shù)極限的一般定義：在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的數(shù)，那么這個(gè)確定的數(shù)就叫做在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限．這樣的描述，是中學(xué)數(shù)學(xué)名詞定義的方法，易懂，但是缺少了大學(xué)數(shù)學(xué)的抽象、嚴(yán)密性，感受不到《高等數(shù)學(xué)》的靈魂所在。對(duì)于理科生來(lái)說(shuō)，我們有必要將極限的抽象定義理解的透徹。

3.極限定義的等價(jià)分析法

在分析前，可先將函數(shù)的一般定義為學(xué)生述敘一遍，使學(xué)生對(duì)極限的定義有個(gè)了解。下面對(duì)函數(shù)極限的一般定義逐漸抽象化：如果函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)鄰近的點(diǎn)（不考慮x0點(diǎn)）處有定義，那么，當(dāng)x任意接近x0時(shí)，即x→x0時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于常數(shù)A，那么常數(shù)A就叫作函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限。

分析：當(dāng)x→x0過(guò)程中，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于常數(shù)A。

?圳當(dāng)x→x0過(guò)程中, 對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(x)與常數(shù)A的絕對(duì)值,即｜f(x)-A｜能夠任意的小。(在這里要對(duì)學(xué)生們說(shuō)明｜f(x)-A｜的意義,即為函數(shù)值f(x)與常數(shù)A的距離)。

?圳當(dāng)x→x0過(guò)程中,對(duì)于任意給定的正數(shù)?著＞0, ｜f(x)-A｜＜?著。(此時(shí),向?qū)W生們說(shuō)明,是任意給定的,哪怕再小,我們都可以找到合適的x，使得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值(x)與A常數(shù) 的距離比給定的 還要小，但并不是所有的 都滿(mǎn)足條件，要求是充分接近x0的)。

?圳當(dāng)x→x0過(guò)程中, 對(duì)于任意給定的正數(shù)?著＞0,只有充分接近x0的x,才能使｜f(x)-A｜＜?著。(向?qū)W生們提問(wèn),如何來(lái)表示充分接近x0的x呢)。

下面給出“充分接近”的抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述:存在一個(gè)很小的正數(shù)?啄＞0,滿(mǎn)足不等式 0＜｜x→x0｜＜?啄的x即為充分接近x0的x,其中?啄的大小,決定了x接近x0的程度, ?啄越小, x越接近x0。

4.總結(jié)

將極限抽象的定義用等價(jià)分析法講解，也就是將極限的一般定義中的各部分逐一變換成抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。由易漸難地定義極限,使剛剛開(kāi)始學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的大一學(xué)生們更容易接受。極限的學(xué)習(xí)十分重要,為后面的課程學(xué)習(xí)提供了必要的基礎(chǔ)。本文用等價(jià)分析法研究了 過(guò)程的函數(shù)極限,其它的極限定義可以類(lèi)似分析。

參考文獻(xiàn):

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)（第六版）. 高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 北京:高等教育出版社, 1991, 10.

[3]蔡慧萍. 關(guān)于高等數(shù)學(xué)中極限概念教學(xué)的探究[J]. 科技信息,2010(20):506.

[4]王坤元.掌握極限和極限方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵[J]. 高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2000(5),20-23.