結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法解題難點(diǎn)及教學(xué)對(duì)策研究

徐豐等

摘要：文章以一次結(jié)構(gòu)力學(xué)課程考試為切入點(diǎn)，對(duì)其中考查學(xué)生對(duì)位移法掌握情況的試題，按解題步驟進(jìn)行得分統(tǒng)計(jì)分析，認(rèn)為此題得分率較低的原因是大部分學(xué)生不能準(zhǔn)確計(jì)算位移法基本方程的剛度系數(shù)和自由項(xiàng)。文章提出，對(duì)于有兩個(gè)及兩個(gè)以上基本未知量的位移法計(jì)算題，只要確保在整個(gè)解題過程中附加約束單位位移的參考方向不改變，每個(gè)附加約束上約束力的參考方向設(shè)置一致且不改變，就能夠避免將剛度系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：試卷分析；結(jié)構(gòu)力學(xué)；位移法；參考方向；教學(xué)研究

結(jié)構(gòu)力學(xué)課程是土建、水利、力學(xué)等專業(yè)的一門重要的學(xué)科基礎(chǔ)課，而位移法這部分內(nèi)容又是結(jié)構(gòu)力學(xué)課程教學(xué)的重中之重[1]。學(xué)生能否快速而準(zhǔn)確地利用位移法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，不僅可以檢驗(yàn)他們對(duì)前面已學(xué)各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)（包括靜定結(jié)構(gòu)的受力分析、力法等）的掌握程度，而且對(duì)他們后續(xù)各章節(jié)（包括漸進(jìn)法、矩陣位移法、動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)）內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果有很大影響，是學(xué)習(xí)后續(xù)相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)[2]。筆者認(rèn)為，學(xué)生在試卷上的失分點(diǎn)正是教學(xué)中的重難點(diǎn)。本文通過一次結(jié)構(gòu)力學(xué)課程考試的分析與反思，總結(jié)出學(xué)生在利用位移法解題時(shí)所遇到的普遍問題，提出了一套克服這一問題的解題技巧，以供相關(guān)專業(yè)師生參考。

一、難點(diǎn)探尋

通過基本體系建立位移法基本方程是絕大多數(shù)院校結(jié)構(gòu)力學(xué)課程教學(xué)大綱要求必須掌握的內(nèi)容?；诨倔w系的位移法解題步驟是：（1）加入附加約束，阻止剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)和各結(jié)點(diǎn)的移動(dòng)，得到一個(gè)由單跨超靜定梁的組合體作為基本結(jié)構(gòu)；（2）使基本結(jié)構(gòu)承受原來的荷載，并令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移，得到基本體系；（3）根據(jù)基本體系附加約束上的約束力矩或約束力等于零的條件，建立位移法基本方程；（4）解算位移法基本方程，求出基本求知量；（5）按疊加法繪制彎矩圖[3]。

上述解題步驟具有很強(qiáng)的程式化特性，只要按部就班地推進(jìn)，就能得到正確的計(jì)算結(jié)果。然而，從近年來的課程考試、專業(yè)競(jìng)賽和考研的情況來看，學(xué)生們對(duì)基于基本體系的位移法掌握得并不理想。以筆者所在學(xué)校武漢工程大學(xué)2013-2014學(xué)年第一學(xué)期結(jié)構(gòu)力學(xué)課程考試為例，參試的91名學(xué)生在分值為15分的位移法計(jì)算題中的整體得分率最低，僅有6名學(xué)生15分。該題原題是：用位移法求圖示結(jié)構(gòu)（見圖1）的M圖，各桿抗彎剛度均為EI。

由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看到，絕大部分學(xué)生可以正確識(shí)別基本未知量的個(gè)數(shù)，并得到基本結(jié)構(gòu)和基本體系（見圖4），即能順利完成步驟一和步驟二。但在能夠完成步驟二的83名學(xué)生中，僅有12名能夠完成步驟三，即正確建立位移法基本方程。在這12名學(xué)生中，又只有8名學(xué)生能夠正確解得基本未知量，即完成步驟四。這8名學(xué)生中又僅有6名能夠正確繪制出彎矩圖，即完成步驟五，進(jìn)而圓滿求解該題，拿夠滿分15分。

筆者對(duì)部分考試失利的學(xué)生進(jìn)行了試后調(diào)查。在受訪的10名學(xué)生中，有9人確認(rèn)能夠理解通過基本體系建立位移法基本方程的基本原理；在這9人中又有7人認(rèn)為自己可以快速寫出具有兩個(gè)基本未知量的位移法基本方程組[如式（1）所示]，并能理解方程組中剛度系數(shù)和自由項(xiàng)的力學(xué)含義。但受訪的10名學(xué)生均表示，在求剛度系數(shù)k11、k12、k21和k22以及自由項(xiàng)F1P和F2P時(shí)，這些量的符號(hào)的判斷與選用成為困擾他們的因素。他們不知道作為矢量的剛度系數(shù)和自由項(xiàng)究竟是以順時(shí)針為正，還是以逆時(shí)針為正，或究竟是以水平向左為正，還是以水平向右為正。

顯然，式（1）中的4個(gè)剛度系數(shù)和2個(gè)自由項(xiàng)總共6個(gè)量中，任意一個(gè)求錯(cuò)了，即使錯(cuò)了一個(gè)符號(hào)，都會(huì)導(dǎo)致基本未知量Δ1和Δ2無(wú)法正確計(jì)算，最終前功盡棄。因此，不能準(zhǔn)確求得位移法基本方程中的剛度系數(shù)和自由項(xiàng)是學(xué)生運(yùn)用位移法解題的難點(diǎn)所在。

在目前使用甚廣的一些經(jīng)典結(jié)構(gòu)力學(xué)課程教材中，結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角、弦轉(zhuǎn)角、桿端彎矩等矢量均以順時(shí)針為正，但沒有對(duì)附加約束力（或約束力矩）的正負(fù)作規(guī)定[3-4]，使得學(xué)生在構(gòu)建位移法基本方程組時(shí)遇到剛度系數(shù)和自由項(xiàng)符號(hào)混亂的問題。如果能將符號(hào)混亂的問題解決好，上述運(yùn)用位移法解題的難點(diǎn)就可以得到解決。

二、難點(diǎn)攻克

上述考題涉及超靜定結(jié)構(gòu)是有側(cè)移的剛架，具有結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和線位移兩種基本未知量，頗有代表性。本文以該題的解答為例，提出一套避免剛度系數(shù)和自由項(xiàng)符號(hào)發(fā)生混亂的解題規(guī)則，以指導(dǎo)學(xué)生憑借該規(guī)則準(zhǔn)確建立位移法基本方程。這套規(guī)則有以下兩個(gè)方面的內(nèi)容。

（一）規(guī)定附加約束單位角位移和線位移的參考方向

需要指出的是，在計(jì)算剛度系數(shù)之前，選擇上述四種方向組合中的任意一組作為附加約束單位角位移和線位移的參考方向都是可行的。但附加約束單位角位移和線位移的參考方向一經(jīng)選定，在后續(xù)計(jì)算剛度系數(shù)的過程中就不可改變，否則會(huì)導(dǎo)致剛度系數(shù)的符號(hào)出錯(cuò)。在求解上述題目的過程中，本文擬假設(shè)附加剛臂約束的單位角位移發(fā)生在順時(shí)針方向上，附加鏈桿約束的單位線位移水平向右，亦即基本結(jié)構(gòu)的M1圖和M2圖與表1中基本未知量參考方向的組合一相對(duì)應(yīng)。

（二）規(guī)定附加約束上約束力矩和約束力的參考方向

在規(guī)定了附加約束單位角位移和線位移的參考方向之后，就可以進(jìn)行剛度系數(shù)

上述計(jì)算剛度系數(shù)和自由項(xiàng)的過程雖然順理成章，但其中隱藏著符號(hào)的規(guī)定。如果學(xué)生對(duì)此符號(hào)的規(guī)定認(rèn)識(shí)模糊，就很有可能不能準(zhǔn)確計(jì)算剛度系數(shù)和自由項(xiàng)。為了把這里的符號(hào)規(guī)定表達(dá)清楚，本文特用圓圈和矩形框區(qū)別圖5中的矢量，用實(shí)線和虛線區(qū)別這些矢量的標(biāo)線。具體來說，圖5中被矩形框標(biāo)示的矢量的大小均為各桿件形常數(shù)或載常數(shù)的絕對(duì)值，它們的方向均由前述附加約束的單位位移的參考方向所決定，矢量標(biāo)線均用實(shí)線表示。圖5中被圓圈標(biāo)示的矢量是附加約束上的約束力或約束力矩，矢量標(biāo)線均用虛線表示。從力學(xué)含義上來看，

從數(shù)學(xué)的角度看，這種基本未知量求解結(jié)果在圖7所示附加約束上約束力矩和約束力參考方向的四種組合情況下不發(fā)生改變的現(xiàn)象，可以用線性方程組的增廣矩陣作線性變換后方程組的解不變的特性來解釋。

三、延伸思考

可以看到，列出位移法基本方程的過程就是對(duì)基本體系附加約束上的若干約束力求和，并令此和為零的過程。這里的若干約束力之和從本質(zhì)上講是若干共線矢量之和，而對(duì)共線矢量求和是必須在一定的參考方向下實(shí)施的，所以參考方向的規(guī)定十分重要。必須指出，參考方向一經(jīng)規(guī)定，解題中就不可再改變，否則極易導(dǎo)致剛度系數(shù)和自由項(xiàng)被計(jì)算錯(cuò)誤。

在用基于基本體系的位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，如果基本未知量的個(gè)數(shù)達(dá)到兩個(gè)或兩個(gè)以上，矢量參考方向就存在多種組合。一般而言，附加約束單位位移的參考方向一經(jīng)確定，基本方程的解在每個(gè)附加約束上約束力的參考方向設(shè)置一致的前提條件下，不隨其組合的改變而改變（其數(shù)學(xué)背景已在上文中說明）。另外，附加約束單位位移參考方向組合有多種，在每種組合下，基本方程的解只存在符號(hào)上的差別，最終得到的M圖不因這種差別而改變。以本文例題為例，附加約束單位位移的參考方向有四種組合，附加約束上約束力的參考方向組合也有四種組合，故此題在不同參考方向體系下的解題路徑共有16條，但最終得到的M圖有且僅有一個(gè)，可謂殊途同歸。圖8將位移法的這種特點(diǎn)展現(xiàn)了出來。

圖8不同參考方向組合下的解題路徑

四、結(jié)語(yǔ)

（1）通過“按步驟給分”的命題和閱卷方式、篩分式的卷面分析法以及對(duì)考試失利學(xué)生進(jìn)行試后訪談，可以找到學(xué)生所遇到的解題難點(diǎn)和學(xué)習(xí)障礙。

（2）結(jié)構(gòu)力學(xué)教材對(duì)附加約束的單位位移和約束力的符號(hào)未作規(guī)定，導(dǎo)致學(xué)生在采用基于基本體系的位移法解題時(shí)，容易因“符號(hào)混亂問題”而將基本方程中的剛度系數(shù)和自由項(xiàng)求錯(cuò)，這是學(xué)生解答該類問題時(shí)普遍遇到的難點(diǎn)。

（3）對(duì)于有兩個(gè)及兩個(gè)以上基本未知量的位移法計(jì)算題，只要確保在整個(gè)解題過程中附加約束單位位移的參考方向不改變，每個(gè)附加約束上約束力的參考方向設(shè)置得一致且不改變，就能夠避免上述將基本方程中的剛度系數(shù)和自由項(xiàng)求錯(cuò)的問題。

總之，結(jié)構(gòu)力學(xué)課程任課教師應(yīng)在教學(xué)過程中，將符號(hào)規(guī)定及其在解題過程中所產(chǎn)生的影響講深講透，加深學(xué)生對(duì)符號(hào)問題的認(rèn)識(shí)，同時(shí)要求學(xué)生減少解題出錯(cuò)的幾率。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李國(guó)華，羅健，董軍，戚承志. 結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)方法研究[J].高等建筑教育，2012，21（1）：81-83.

[2] 朱少云. 位移法典型方程的取舍對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)教學(xué)的影響[J].力學(xué)與實(shí)踐，2000，22（4）：50-51.

[3] 龍馭球，包世華，袁駟. 結(jié)構(gòu)力學(xué)I—基本教程[M].3版北京：高等教育出版社，2012.

[4] 龍馭球，包世華，袁駟. 結(jié)構(gòu)力學(xué)I—基本教程[M].3版北京：高等教育出版社，2012.

[5] 朱慈勉，張偉平. 結(jié)構(gòu)力學(xué)：上冊(cè)[M].2版北京：高等教育出版社，2009.