淺論數(shù)學(xué)直覺思維的作用

李延飛

一、直覺思維及數(shù)學(xué)直覺思維的描述

直覺是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知.例如，等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知.而直覺的研究對象則是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系.龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上.感覺不久便會變得無能為力.”由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作為思考的背景是行不通的.

所謂數(shù)學(xué)直覺思維，就是大腦基于有限的數(shù)據(jù)資料和知識經(jīng)驗，充分調(diào)動一切與問題有關(guān)的顯意識和潛意識，在敏銳想象和迅速判斷的有機結(jié)合下，從整體上單刀直入地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，洞察數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系的一種思維方式.這種思維的實質(zhì)是對數(shù)學(xué)對象及其結(jié)構(gòu)、關(guān)系的想象和判斷.它類似于猜想，表現(xiàn)為靈感、頓悟，就如同古詩中所描述的“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”，“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處.”因此直覺思維是學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)的一個重要的組成部分.

二、數(shù)學(xué)直覺思維的作用

“數(shù)學(xué)王子”高斯曾經(jīng)反復(fù)強調(diào)，他的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)主要來自經(jīng)驗，“證明只是補行的手續(xù)”.德國數(shù)學(xué)家伊恩?斯圖加特曾說：“直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西.”美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞也曾說：“直觀洞察和邏輯證明是感知真理的兩種不同方式……直觀的洞察可能遠遠超前于形式邏輯的證明.”縱觀人類科技進步發(fā)展史，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺：歐幾里得幾何學(xué)的五個公式就是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓是在散步的路上迸發(fā)出了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在洗澡時發(fā)現(xiàn)了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個直覺思維的成功典范.因此直覺思維的作用不可忽視.

（一）有利于培養(yǎng)學(xué)生的審美意識，讓學(xué)生學(xué)會追求數(shù)學(xué)美.

數(shù)學(xué)美是客觀存在的.“哪里有數(shù)，哪里就有美”.數(shù)學(xué)學(xué)科特點決定了數(shù)學(xué)美的基本特征：直覺的合理性和高度的抽象性的統(tǒng)一.學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)、認識、體驗和運用顯現(xiàn)的數(shù)學(xué)美的形式，直覺地感受到數(shù)學(xué)美震撼人心的力量，形成強烈的認知沖突，獲得身心滿足.在百思不得其解之后，一個巧妙的方法躍然而出，顯得那么奇特、新穎.內(nèi)心深處由衷產(chǎn)生無比的喜悅和沖動，刻骨銘心，這就是數(shù)學(xué)的奇異美；當(dāng)冗長的陳述，繁雜的關(guān)系用數(shù)學(xué)演繹而出時，學(xué)生無不被數(shù)學(xué)的簡潔美所折服；數(shù)與形的統(tǒng)一，對稱圖形、對稱等式、對稱變換的運用，顯得那么和諧生動，給人蕩氣回腸之感，使學(xué)生與數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、對稱美融為一體.

勾股定理c=a+b，這一簡單而整齊的形式，表達了一切直角三角形邊長之間的關(guān)系.

二次展開式的系數(shù)、正多面體、圓等都具有對稱性，甚至有人感嘆：圓是最美的圖形.

利用直覺對于數(shù)學(xué)公式和圖形的觀察及思考可以培養(yǎng)學(xué)生的審美意識，特別是在做數(shù)學(xué)習(xí)題時，數(shù)學(xué)直覺對于這種美表現(xiàn)得更確切.

例1：在等差數(shù)列{a}中，若a+a+a+a=20，求S的值.

分析：等差數(shù)列中存在對稱美：當(dāng)i+j=m+n時，a+a=a+a，據(jù)此通過審美直覺思維可以發(fā)現(xiàn)a+a=a+a=10.所以

S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a）=10×10=100.

這就是利用了直覺思維發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的過程。學(xué)生從中獲得良好的數(shù)學(xué)美感，將會直接地形成數(shù)學(xué)審美直覺能力，并有助于更好地追求數(shù)學(xué)美.

（二）數(shù)學(xué)直覺思維有助于更好地認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而更好地解決問題.

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們常常遇到很多復(fù)雜的問題，往往無法一眼看出其解決方法，這時候就需要直覺思維的幫助.直覺能夠使我們的認識由現(xiàn)象上升為本質(zhì)，從而更好地認識數(shù)學(xué)的本質(zhì).

數(shù)學(xué)直覺思維具有個體經(jīng)驗性、突發(fā)性、偶然性、果斷性、創(chuàng)造性、迅速性、自由性、直觀性、自發(fā)性、不可靠性等特點.迪瓦多內(nèi)說：“任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無疑是使學(xué)生對他要處理的數(shù)學(xué)對象有一個可靠‘直覺.”在教育過程中，教師如果把證明過程過分的嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環(huán)，學(xué)生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗.只有將直覺思維與數(shù)學(xué)教學(xué)有效地結(jié)合起來，才能使學(xué)生更好地認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而更好地解決問題.

下面來看一道例題.

例2：求sin20°+cos50°+sin20°?cos50°的值.

剛看到這個題目時我們都無從下筆，題中既不是特殊值，又不能直接運用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.這就要求我們能夠抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，聯(lián)系自己所學(xué)的東西，創(chuàng)造性地解決問題.

分析：通過直覺我們可以從題目的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)它與sinθ+cosθ=1這一公式接近，運用這一點聯(lián)系我們所學(xué)習(xí)的知識進行構(gòu)造新的三角函數(shù)關(guān)系.

解：設(shè)a=sin20°+cos50°+sin20°?cos50°，

b=sin50°+cos20°+sin50°?cos20°，

從而有a+b=2+sin70°，a-b=--sin70°，

所以a=.

由此我們可以看出直覺思維的作用不可忽視，它對解決數(shù)學(xué)問題有很大的幫助.在培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維的過程中，無疑加深了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識，從而更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).特別是對中學(xué)生來說，提高數(shù)學(xué)直覺思維能力有助于更好地解決數(shù)學(xué)問題.

（三）數(shù)學(xué)直覺思維能力的提高有利于增強學(xué)生的自信心.

現(xiàn)在有不少老師只注重教學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容而忽視了教學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，以至于不少學(xué)生面對復(fù)雜問題時束手無策.特別是對于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，忽視了直覺思維的作用.有不少學(xué)生拿到一些題目時，一看是復(fù)雜的題型，往往心灰意冷，便再也沒有繼續(xù)做下去的興趣和信心.其實，這時候直覺思維可以起到很好的作用.

例3：求函數(shù)y=+的最小值.

分析與解：該函數(shù)很復(fù)雜，直接從代數(shù)角度無法下手，而配方得y=+.聯(lián)想到兩點的距離公式，它的幾何意義是：動點p（x，0）到兩定點時函數(shù)有最小值即A（1，2），B（-3，-4）的距離和.

當(dāng)p點在線段AB上，

y=|PA|+|PB|≥|AB|==2.

即y=2.

如果沒有直覺思維的幫助，這道題目就會難倒一大片同學(xué).甚至?xí)沟迷S多同學(xué)喪失信心，碰到類似題目沒有任何激情再去研究.因此培養(yǎng)直覺思維對數(shù)學(xué)教學(xué)來說無疑是個重點.

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)知識后，我們發(fā)現(xiàn)有許多題目可以通過這一知識輕松解決.當(dāng)然這要有直覺的幫助，不然很多看起來困難的題目就很難找到簡單的解決方法.

例5：求函數(shù)y==（x∈R）的值域.

有不少同學(xué)拿到這個題目后就想直接進行移項換元，結(jié)果發(fā)現(xiàn)很難求出其值域.這時候不少同學(xué)就覺得走投無路，心里很著急.

分析：其實我們可以很輕松地發(fā)現(xiàn)此函數(shù)與萬能公式sinθ=結(jié)構(gòu)完全相同，注意到自變量的取值范圍與正切函數(shù)值域也相同，這樣我們就可以很輕松地解決問題.

解：設(shè)x=tan，則y=sinθ.所以函數(shù)的值域為［-1，1］.

我們從這個例題中可以看出直覺思維對于學(xué)生解題的幫助.學(xué)生直覺思維能力提高了，駕馭數(shù)學(xué)題目的能力也就相應(yīng)提高了.這樣就增強了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而使得數(shù)學(xué)教學(xué)更好地開展下去.

數(shù)學(xué)直覺思維還有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì).直覺思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結(jié)論，給人以“發(fā)散”、“放射”的感覺，一計不成又生一計.因此，加強直覺思維能力的訓(xùn)練，有利于克服思維的單向性及提高思維品質(zhì).