巧用空間向量求解二面角大小

劉紅祥

摘要： 新教材引入空間向量，大大降低了處理立體幾何相關(guān)角的求解難度，但求解二面角時(shí)還需根據(jù)圖形判斷其平面角的范圍，這又添加了難度.本文闡述巧用空間向量及其相關(guān)運(yùn)算順利且準(zhǔn)確求解二面角大小.

關(guān)鍵詞： 空間向量空間立體感二面角

傳統(tǒng)教材中二面角大小求解通常必須先通過(guò)作圖找出其平面角再求其大小，而作圖對(duì)空間想象能力要求較高，這也導(dǎo)致對(duì)大部分學(xué)生而言求解二面角大小一直是個(gè)難點(diǎn).新課程引入空間向量，為處理立體幾何尤其是相關(guān)角的求解問(wèn)題提供了新的方法，大大降低了求解難度.蘇教版新教材利用空間向量的數(shù)量積求解二面角兩面法向量的夾角，根據(jù)二面角的平面角與這兩法向量的夾角相等或互補(bǔ)的關(guān)系求解二面角大小，但是如何判斷這兩法向量的夾角與二面角的平面角是“相等”還是“互補(bǔ)”呢？教材通過(guò)兩個(gè)例題說(shuō)明“根據(jù)圖形可知”.根據(jù)圖形判斷這二者之間的關(guān)系反而提高了對(duì)空間想象能力的要求，況且如果二面角的平面角非常接近直角（如例1），則又 “根據(jù)圖形”判斷呢？

按照二面角的平面角的定義和空間任意兩個(gè)向量都是共面向量的知識(shí)，我們只要在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作和二面角的棱垂直的向量，并且兩向量的方向均指向棱或者都從棱指向外，那么這兩個(gè)向量所成的角的大小就是二面角的大小.根據(jù)“共線向量定理”可得：若P、A、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)O為空間任一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ，使得=λ+（1-λ）.于是在二面角某半平面內(nèi)可分別取四個(gè)點(diǎn)P、A、B、E（其中點(diǎn)P不在棱上，A、B、E三點(diǎn)均在棱上），則存在實(shí)數(shù)λ，使得=λ+（1-λ）.由與垂直，可求出實(shí)數(shù)λ，即==λ+（1-λ）.同理在另一半平面內(nèi)可求得==λ+（1-λ），則所求二面角的大小就是兩向量與的夾角.

例1.已知△ABC和△DBC所在平面互相垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的平面角的余弦值.

解：法一：設(shè)BC=1，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面BCD為xoy平面，方向?yàn)閤軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則B（0，0，0），A（-，0，），C（1，0，0），D（-，-，0）

=（，0，-），=（0，-，-），=（-，-，0）

分別過(guò)點(diǎn)A、C作AE⊥BD、CF⊥BD，垂足分別為E、F，

設(shè)=λ+（1-λ），則由⊥可求得λ=，

即=+，同理可求得=-.

記向量與夾角為〈，〉（下同），

則cos〈，〉==-

而〈，〉等于二面角A-BD-C的平面角的大小

∴二面角A-BD-C的平面角的余弦值為-.

法二：同法一建立空間直角坐標(biāo)系，易知=（0，0，1）是平面BCD的一個(gè)法向量.

設(shè)=（a，b，c）是平面ABD的一個(gè)法向量，

則由?=0，?=0，得：-a+c=0-a-b=0

令c=1，則a=，b=-1，即=（，-1，1）是平面ABD的一個(gè)法向量.

故cos〈，〉==.

根據(jù)圖形可知：二面角A-BD-C的平面角與〈，〉互補(bǔ)，它的余弦值為-.

在上述兩種解法中，方法一運(yùn)算量較大但運(yùn)算結(jié)果準(zhǔn)確；方法二盡管運(yùn)算量較小，但對(duì)空間立體感要求較高，許多學(xué)生誤以為二面角A-BD-C的平面角與〈，〉相等，易得錯(cuò)誤答案.即使部分學(xué)生運(yùn)氣較好地“猜”對(duì)結(jié)論，我們也不能將數(shù)學(xué)結(jié)果建立在“運(yùn)氣好”與“猜”的基礎(chǔ)上，這就違背了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

例2.已知正三棱柱ABD-ABC的所有棱長(zhǎng)均為2，D為CC的中點(diǎn)，求二面角A-AD-B的平面角的余弦值.

解：法一：令不共面向量=，=，=為基向量

過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DA于點(diǎn)M，設(shè)=++=（λ+1）+（λ-1）

∵⊥

∴?=0解得λ=

故=-

同理，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DA于點(diǎn)N，得：=-++

∴cos〈，〉==

而〈，〉就是二面角A-AD-B的平面角的大小

∴所求二面角的平面角的余弦值為.

法二：分別取BC、BC中點(diǎn)O、O，以O(shè)為原點(diǎn)，、、的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1，0，0），C（-1，0，0），D（-1，1，0），A（0，2，），A（0，0，），B（1，2，0），

過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DA于點(diǎn)M，

設(shè)=++=（-1+λ，1+λ，-+λ）

由⊥得λ=

故=（-，，-）

同理過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DA于點(diǎn)N，則可得=（-，，）

∴cos〈，〉==

∴所求二面角的平面角的余弦值為.

從上述兩個(gè)例題中，我們可以得出：在求解二面角大小時(shí)，或許我們空間立體感不強(qiáng)，但我們只需利用空間向量的相關(guān)運(yùn)算就可順利且準(zhǔn)確地求解，而不必去 “猜”結(jié)果.