契貝曉夫不等式及其應用

甄洪梅

摘要： 契貝曉夫不等式在概率論中有著廣泛的應用.本文利用契貝曉夫不等式估算在某個對稱區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生的概率，另外還論述了契貝曉夫不等式在定理證明中的應用，重點是在大數(shù)定律證明中的應用.

關鍵詞： 隨機變量數(shù)學期望方差大數(shù)定律契貝曉夫不等式

通過學習概率論，我們知道一些事件發(fā)生的概率不能通過常規(guī)方法解決或者用常規(guī)方法解決起來很繁瑣，更有一些定理的證明需要另辟捷徑.下面我們就來研究一下利用契貝曉夫不等式來簡潔快速地給出某些特殊事件發(fā)生的概率.

1.相關定義

我們要研究契貝曉夫不等式，首先要了解概率論中的幾個相關定義.下面先來看一下這幾個定義.

定義1:定義在樣本空間Ω上，取值于實數(shù)域，且只取有限個或可列個值的變量ξ=ξ（ω），稱作是一維（實值）離散型隨機變量，簡稱離散型隨機變量.

定義2:若ξ（ω）是隨機變量，F(xiàn)（x）是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù)P（x），使對任意的x，有F（x）=?蘩p（y）dy，則稱ξ（ω）為連續(xù)型隨機變量.

定義3:若離散型隨機變量ξ可能取值為α，（i=1，2…），其分布列為p，（i=1，2…），則當|α|p＜∞時，稱ξ存在數(shù)學期望，并且數(shù)學期望Eξ=αp，如果|α|p=∞則稱ξ的數(shù)學期望不存在.

說明:在概率論中頻率可以逼近概率，即p=，再根據(jù)上述定義，可知數(shù)學期望的本質(zhì)就是數(shù)學中的平均值.

定義4:設ξ是一個連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為p（x），當?蘩|x|p（x）dx＜∞時，稱ξ的數(shù)學期望存在且Eξ=?蘩xp（x）dx.

說明:連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望在本質(zhì)上和離散型隨機變量是一樣的.

定義5:設ξ是一個隨機變量，數(shù)學期望Eξ存在，如果E|ξ-Eξ|存在，則稱E|ξ-Eξ|為隨機變量ξ的方差.

說明:方差在本質(zhì)上反映了隨機變量偏離數(shù)學期望的平均值.

為了研究隨機變量偏離數(shù)學期望小于任意正常數(shù)ε的概率，我們給出了下面的定義.

定義6:大數(shù)定律：若ξ，ξ，…ξ，…是隨機變量序列，如果存在常數(shù)列α，α，…使對任意的實數(shù)ε＞0，有p（|-α|＜ε）=1成立，則稱隨機變量序列{ξ}服從大數(shù)定律.

如果隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ存在，方差為Dξ，對于任意給定的正實數(shù)ε，我們有這樣的感覺，方差Dξ與p（|ξ-Eξ|＞ε）存在著某種關系，即p（|ξ-Eξ|＞ε）隨著Dξ的增大而增大，我們把這個感覺嚴格化就得到下面的契貝曉夫不等式.

2.契貝曉夫不等式

對任意的隨機變量ξ，若Eξ=a，又Dξ存在，則對任意的正數(shù)ε，有P（|ξ-a|≥ε）≤.

證明:（1）設ξ是一個連續(xù)型隨機變量，密度函數(shù)為p（x），則

P（|ξ-a|≥ε）

=?蘩p（x）dx≤?蘩p（x）dx≤?蘩（x-a）p（x）dx

=

（2）設ξ是一個離散型隨機變量，ξ的分布列為p，則有

P（|ξ-a|≥ε）

=p（x）≤p（x）≤（ξ-a）p（x）

=

證畢

契貝曉夫不等式的另一種形式：對任意的隨機變量ξ，若Eξ=a，又Dξ存在，則對任意的正數(shù)ε，有P（|ξ-a|＜ε）=1-P（|ξ-a|≥ε）＞1-.

證明：1=P（Ω）=P（|ξ-a|≥ε）+P（|ξ-a|＜ε）P（|ξ-a|≥ε∪|ξ-a|＜ε）

所以P（|ξ-a|＜ε）=1-P（|ξ-a|≥ε）＞1-

證畢

說明：契貝曉夫不等式的轉(zhuǎn)化形式在應用中比較靈活，有時比契貝曉夫不等式用起來更加方便.

3.契貝曉夫不等式的應用

（1）契貝曉夫不等式在概率估計中的應用.

契貝曉夫不等式在概率估計中的應用主要包括兩類：一是用于用常規(guī)方法不可以求出其準確概率的情況；二是用于雖然可以求出其準確概率，但我們只需要它的大致范圍即可的情況.另外還有一點需要注意的是，在我們利用契貝曉夫不等式估計概率時，它所在的區(qū)間必須是對稱區(qū)間.

例1:設隨機變量x的方差為2，估計P（|x-Ex|≥2）的概率.

解：利用常規(guī)方法我們無法求出P（|x-Ex|≥2）的概率.所以我們只有應用契貝曉夫不等式，即

P（|x-Ex|≥2）≤=.

在契貝曉夫不等式給出的估計式中我們只需要知道方差Dξ及數(shù)學期望Eξ兩個數(shù)字特征就夠了，因而使用起來是比較方便的，但是也正因為它沒有完整地用到隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律——分布函數(shù)或密度函數(shù)，所以一般說來它給出的估計是比較粗糙的且存在較大的誤差.下面我們給出一個例題來說明這個問題.

例2:若ξ是服從N［a，σ］分布的隨機變量，求P（|ξ-a|≥3σ）.

解：利用契貝曉夫不等式得

P（|ξ-a|≥3σ）≤=≈0.11

然而它的準確解為

P（|ξ-a|≥3σ）

=1-p（|ξ-a|≤3σ）

=1-?蘩dx

≈1-0.997≈0.003.

比較這兩者的結(jié)果，我們不難知道契貝曉夫不等式給出的估計的確粗糙一些.

（2）契貝曉夫不等式在定理證明中的應用，特別是在大數(shù)定律證明中的應用.

例3:利用契貝曉夫不等式可以證明：隨機變量ξ的方差Dξ=0的充分必要條件是ξ取某個常數(shù)值的概率為1，即p（ξ=a）=1.

證明：充分性，顯然.

必要性，設Dξ=0，則Eξ存在，于是有

0≤p（|ξ-Eξ|＞0）=p{（|ξ-Eξ|≥）}≤p（|ξ-Eξ|≥）

≤=0

由此可知

p（|ξ-Eξ|＞0）=0

從而

p（|ξ-Eξ|=0）=1

故結(jié)論成立.

在貝努里試驗中，當n很大時，頻率會逐漸穩(wěn)定到概率.這里的逐漸穩(wěn)定不同于我們數(shù)學分析中的逐漸穩(wěn)定——極限，所以在概率論中=p是不成立的.這就要求我們采用其他形式來求出這個概率.我們知道當n很大時，（|-p|≥ε）發(fā)生的可能性趨向于零（在這里我們還是取ε是大于零的任意實數(shù)）.我們把上面的感覺給出嚴格的數(shù)學定義，就是下面的貝努里大數(shù)定律.

例4:（貝努里大數(shù)定律）設u是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（0＜p＜1），則對任意的ε＞0，有

p（|-p|＜ε）=1.

證明：令

ξ=1，在第i次試驗中A出現(xiàn)（1≤i≤n）ξ=0，在第i次試驗中A不出現(xiàn)（1≤i≤n）

則ξ，ξ，…ξ是n個相互獨立的隨機變量，且

Eξ=p，Dξ=p（1-p）=pq（1≤i≤n）

而

u=ξ

于是

-p==

由契貝曉夫不等式有

p（|-p|≥ε）=p（|ξ-E（ξ）|≥nε）

≤

又由獨立性可知

D（ξ）=Dξ=npq

從而有

p（|-p|≥ε）≤=→0

即

p（|-p|＜ε）=1.

貝努里大數(shù)定律所要求的條件比較嚴格，需要明確地知道n，p，q.下面我們給出條件較為寬松的契貝曉夫不等式，它不需要知道方差的準確值，只需知道方差有界即可.

例5:（契貝曉夫大數(shù)定律）設ξ，ξ…是一列兩兩不相關的隨機變量，又設它們的方差有界，即存在常數(shù)c＞0，使Dξ≤c，i=1，2…，則對任意的ε＞0，有

p（|-|＜ε）=1.

證明:根據(jù)契貝曉夫不等式，有

p（|-|≥ε）≤

=

因為{ξ}兩兩不相關，且由它們的方差有界即可得到

D（ξ）=Dξ≤nc

從而有

p（|-|≥ε）≤→0（n→∞）

從而有

p（|-|＜ε）=1

通過定義我們雖然可以判斷一個隨機變量序列是否服從大數(shù)定律，但是應用起來很不方便.我們不禁要問：有沒有一個定理可以直接判斷一個隨機變量序列是否服從大數(shù)定律呢？回答是肯定的，那就是馬爾可夫大數(shù)定律.

例6：（馬爾可夫大數(shù)定律）設ξ，ξ，…ξ是隨機變量序列，若有→0，n→∞，則有p（|-|＜ε）=1.

證明：利用契貝曉夫不等式

1≥p（|-|＜ε=p（|-E（）|＜ε）

≥1-

=1-

由假設知

→0

右端趨于1，于是

p（|-|＜ε）=1.

本文成功地利用契貝曉夫不等式簡潔快速地給出某些特殊事件發(fā)生的概率.本文僅解決了一維隨機變量時的情況，我們還將繼續(xù)考慮多維隨機變量的情況.

參考文獻:

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