八元數(shù)上矩陣行列式的一種定義及幾個性質(zhì)

王丹

摘要： 本文采用代數(shù)余子式的方法，給出八元數(shù)矩陣行列式的定義，本定義不需規(guī)定結合方式，運算比較簡單，具有較好的運算性質(zhì).但是，與實數(shù)、復數(shù)，以及四元數(shù)的相應的情形比較，如此定義的行列式，其所具備的運算性質(zhì)較少.本文給出了一種新的八元數(shù)行列式的定義，它們具備了盡可能多的運算性質(zhì).

關鍵詞： 八元數(shù)矩陣行列式定義性質(zhì)

設任意一個八元數(shù)x∈O，都可以表示為x=x+xe+xe+xe+xe+xe+xe+xe，其中x，x，x，x，x，x，x，x∈R，八元數(shù)的加法是所對應相加，乘法由文［1］中乘法表完全由確定.由于八元數(shù)O的乘法既不滿足交換律又不滿足結合律，如何在八元數(shù)O上定義n階矩陣A的行列式|A|，使其運算盡可能簡單，盡量少選擇（或不選擇）運算順序，性質(zhì)的滿足盡可能多，而當A一般數(shù)域P上n階矩陣時，|A|等于取至于不同的行與不同的列的n個數(shù)乘積的代數(shù)和.文［1］作者在文［1］中指出文［2］給出八元數(shù)矩陣行列式的定義的不足.文［1］首先規(guī)定了八元數(shù)乘法的左右結合積：

“約定n個有序八元數(shù)x，x，…，x，x的左結合積為（（…（（xx）x）…）x）x，類似定義n個八元數(shù)x，x，…，x，x的右結合積.”

再利用n階對稱群［3］給出矩陣行列式如下的定義：

“設A∈O，即A為以八元數(shù)為元素的n階矩陣.設S是n文字的對稱群，設σ=（i，i…i）∈S，σ=（j，j，…j）∈S與其對應的n個元素a，a，…，a共有n!種不同次序的排列，其所有排列的左結合積之和，記為〈a，a，…，a〉，同樣其所有排列的右結合積之和，記為〈a，a，…，a〉.以τ（σ）代表σ=（i，i，…，i）的反序數(shù)，τ（σ）代表σ=（j，j，…，j）的反序數(shù).易知τ（σ）和τ（σ）與其對應的n個元素〈a，a，…，a〉a，a，…，a的乘積的次序與結合方式無關.令

〈a，a，…，a〉=〈a，a，…，a〉+〈a，a，…，a〉

我們定義|A|如下：

|A|=（-1）〈a，a，…，a〉.”

顯然此定義滿足了較多行列式運算性質(zhì)，對性質(zhì)的證明也不困難.但是運算較復雜，因為一個n階行列式展開后是2（n!）項的代數(shù)和，而每一項又是n個元素的乘積，這給實際運算八元數(shù)行列式帶來了困難.

以下采用代數(shù)余子式的方法，給出八元數(shù)矩陣行列式的一種定義，本定義不需規(guī)定結合方式，具有與文［1］中的定義相同的性質(zhì)，運算比文［1］中的定義要簡單得多，而這些性質(zhì)的證明都是非常容易的.

一、八元數(shù)矩陣行列式的定義

設A=aa…aaa…a…………aa…a

是八元數(shù)O上的n階矩陣，它的n階行列式

|A|=aa…aaa…a…………aa…a=（aA+Aa）

其中A=（-1）M，M是在A中劃去元素a所在的第i行與第j列，剩下的（n-1）個元素按原來的排法構成一個n-1階行列式

a… aa …a…… …… ……a …aa …aa …aa …a…… …… ……a… aa …a

稱為元素a的余子式，A=（-1）M稱為元素a的代數(shù)余子式.

例如：|a|=a

aaaa=（aa+aa-aa-aa-aa-aa+aa+aa）=（aa-aa-aa+aa）

顯然若A是實數(shù)域、復數(shù)域、四元數(shù)上的n階矩陣，則detA=|A|.

二、八元數(shù)矩陣行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1：若A是八元數(shù)O上n階矩陣，則|A|=|A|.

證明：當n=2時，

|A|=aaaa=（aa-aa-aa+aa）=aaaa=|A|.

即當n=2時性質(zhì)1成立.假設對于所有n-1階八元數(shù)矩陣行列式，性質(zhì)1都成立.

對于n階行列式

aa…aaa…a…………aa…a=（aA+Aa）

這里的A都是n-1的行列式，由歸納假設，性質(zhì)1對于所有n階八元數(shù)行列式都成立

性質(zhì)2：若把八元數(shù)上n（n＞1）階行列式中兩行（列）互換，則行列式改變符號.即

（i）（j）aa …a…… ……aa…a…… ……aa…a…… ……aa …a=-aa…a…………aa …a…………aa …a…………aa…a（j）（i）

證明：當n=2時，

aaaa=（aa+aa-aa-aa-aa-aa+aa+aa）=（aa-aa-aa+aa）

=-（-aa+aa+aa-aa）

=-aaaa

所以，當n=2時性質(zhì)2成立.假設對于所有小于n階八元數(shù)矩陣行列式，性質(zhì)2都成立.再看n階的情況，首先考慮交換相鄰的情況，不妨設第s行與第s+1行交換，設

D= aa… a ……… … aa… aaa…a …… … … a a … a=（aA+Aa）

= aa … a …… … …aa…a a a … a ……… … aa… a=（a+a）

所以

=［（a+a）+（a+a）+a（+a）+（a+a）］

因為（i=1，…，s-1，s+2，…，n，j=1，2，…，n）都是n-1階的行列式，由歸納假設，有=-A，而=-，

從而（a+a）=-（aA+Aa）.

即=-D

交換不相鄰的兩行，總可以通過交換相鄰兩行來實現(xiàn).事實上：設第r行與第s（1＜r＜s）交換，這時可將第r行通過s-r次相鄰交換變到第s行，這時符合改變了s-r次，再將第s行通過s-r+1次相鄰交換可變到第r行，這時符合改變了s-r+1次，因此第r行與第s交換是經(jīng)過2（s-r）+1次的相鄰交換得到的，符合改變了2（s-r）+1次.

從而性質(zhì)2成立.

本文給出的代數(shù)余子式的方法來定義八元數(shù)上矩陣行列式不需規(guī)定結合方式，且具有與文［1］中的定義相同的性質(zhì)，運算比文［1］中的定義要簡單得多，而其中性質(zhì)1、性質(zhì)2較其證明相對容易.且運算比較簡單，而且可以滿足行列式相關性質(zhì).但在如何在八元數(shù)O上定義n階矩陣A的行列式|A|，以及在解決八元數(shù)上n（n＞1）階矩陣的行列式不能化為上（下）三角形行列式來計算的問題上仍需作進一步的探討.

參考文獻：

［1］李興民，袁宏.八元數(shù)矩陣行列式的定義及其性質(zhì)［J］.數(shù)學學報，2008（5）.

［2］Li.X.M.，Li.L.，Octonionicdeterminants，preprint

［3］BaezJohnC.TheOctonionis.BullAmerMathSoc2002.39.