巧用圓的平面幾何性質(zhì)處理解幾問題

張海青

“圓”是一個特殊的圖形，它有許多重要的性質(zhì).在解析幾何中，涉及直線和圓的有關(guān)問題時，若能抓住題設(shè)中圖形特征和數(shù)量關(guān)系，充分利用平面幾何中圓的有關(guān)性質(zhì)，常常可以得到簡捷而巧妙的解法.現(xiàn)舉以下幾例來說明.

1.巧用“垂徑定理”

例1:已知A（3，0）是圓x+y=25內(nèi)的一個定點，以A為直角頂點作直角三角形ABC，且點B、C在圓上，試求BC中點M的軌跡方程.

分析：B、C都為圓上的動點，若設(shè)出B、C的坐標，引進角參數(shù)，將導(dǎo)致繁復(fù)的運算.如果注意到由“垂徑定理”可知OM⊥BC（O為原點），再結(jié)合∠CAB=90°，|AM|=|BM|=|CM|=|BC|，即可迅速解題.

解：設(shè)M（x，y），連接OC，OM，MA，

則由“垂徑定理”，

∵M為BC的中點

∴OM⊥BC

∴|OM|+|MC|=|OC|

∵在直角三角形ABC中，|AM|=|BM|=|CM|=|BC|

∴|OM|+|AM|=|OC|

即x+y+（x-3）+y=25（圖1）

∴M點的軌跡方程為x+y-3x-8=0.圖1

2.巧用“切割線長定理”

例2：已知直線y=mx（m∈R）與圓C：x+y-6x+5=0相交于兩點P、Q，則?=.

分析：將直線方程代入到圓方程（x-3）+y=4中，進行消元，利用韋達定理解題，運算較繁.注意到向量與方向相同，用“切割線長定理”來解題，可得以下兩種簡解.

解法一：過原點O作圓的切線，設(shè)切點為M、N，

則由“切割線長定理”知，|OP|?|OQ|=|OM|=|OC|-4=5

∵向量與方向相同，∴?=|OP|?|OQ|=5.

解法二：圓C與x軸有兩個交點A（1，0）、B（5，0）

∵向量與方向相同，

∴由“切割線長定理”知，?=|OP|?|OQ|=|OA|?|OB|=5.

3.巧用“相交弦定理”

例3：已知f（x）=（x+2002）（x-2003）圖像與x軸交于兩點A、B，與y軸交于一點C，過A、B、C三點作一圓，則該圓與y軸的另一個交點D的坐標為.

分析：若寫出圓的方程再求點D的坐標，將會導(dǎo)致繁復(fù)的運算.注意到A、B兩點的指標分別為（-2002，0）、（2003，0），而點C的坐標為（0，-2002?2003），根據(jù)“相交弦定理”可得：|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，所以|OD|=1，從而D（0，1）.

例4：過原點O且方向向量為（m，1）的直線L與圓C：（x-1）+y=4相交于兩點P、Q，則?=?搖?搖?搖?搖 ?搖?搖?搖?搖.

分析：圓C與x軸交于兩點A（-1，0）、B（3，0）.利用“相交弦定理”得|OA|?|OB|=|OP|?|OQ|，因而|OP|?|OQ|=3.注意到向量與方向相反，則?=-|OP|?|OQ|=-3.

4.巧用圓心角、圓周角等的性質(zhì)

例5：設(shè)直線L：3x+4y+m=0與圓C：x+y+x-2y=0相交于P、Q兩點，則當m為何值時，OP⊥OQ？

解：如圖2，因圓C：x+y+x-2y=0過原點O，則∠POQ是圓C的圓周角，且為直角.根據(jù)“圓中90°的圓周角所對的弦是直徑”可知PQ為圓C的直徑，即直線3x+4y+m=0過圓心C（-，1），代入直線L方程得：3×（-）+4×1+m=0，∴m=-.（圖2）

圖2

例6：橢圓+=1的焦點為F、F，點P在橢圓上，當∠FPF為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是.

圖3

解：以FF為直徑作圓x+y=5，與橢圓+=1聯(lián)立，解得兩曲線交點的橫坐標分別為-和.由“圓中同一條弦所對的圓周角小于它所對的圓內(nèi)角”這一性質(zhì)可知，點P在橢圓的AB或CD弧線（如圖3，在輔助圓內(nèi)）上時，∠FPF為鈍角，故點P橫坐標的取值范圍是-＜x＜.

例7：如圖4，平面直角坐標系中，給定y軸正半軸上兩點A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），試在x軸正半軸上求一點C，使∠ACB取得最大值.

解：設(shè)C是x軸正半軸上一點，在△ABC中，由正弦定理，有sin∠ACB=，其中R是△ABC的外接圓的半徑.

可見，當R取最小值時，∠ACB取得最大值.

在過A、B兩定點且與x軸正向有交點C的諸圓中，當且僅當點C是與x軸的切點時，半徑最小.故切點C即為所求.

由切割線定理，得OC=OA?OB=ab，

∴OC=x=，即點C的坐標為（，0）時，∠ACB取得最大值.

由以上幾例可以看出，在解決與圓有關(guān)的問題時，充分挖掘圓的幾何性質(zhì)，再將幾何條件代數(shù)化，既可以迅速獲得解題途徑，又可以減少解析幾何的運算量.