一道中考數(shù)學試題的演變過程帶給我們的點滴思考

金穎 段丹華

在研究大量的中考數(shù)學試題的過程中，讓我真正的感受到深入研究一道題對老師、對學生的價值. 下面僅就２０08年泰州市中考數(shù)學試題第２５題的研究過程，看一道題的發(fā)生和發(fā)展，也許會給大家一點啟示和借鑒.

１． 試題呈現(xiàn)

２００８年５月１２日１４時２８分四川汶川發(fā)生里氏８．０級強烈地震．某市接到上級通知，立即派出甲、乙兩個抗震救災小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點４８０千米的災區(qū)．乙組由于要攜帶一些救災物資，比甲組晚出發(fā)１．２５小時（從甲組出發(fā)時開始計時）．圖1中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程ｙ甲（千米）、ｙ乙（千米）與時間ｘ（小時）之間的函數(shù)關(guān)系對應的圖像．請根據(jù)圖像所提供的信息，解決下列問題：

（１）由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了小時；

（２）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災區(qū)．請問：甲組的汽車在排除故障時，距出發(fā)點的路程是多少千米？

（３）為了保證及時聯(lián)絡(luò)，甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不超過２５千米，請通過計算說明，按圖像所表示的走法是否符合約定．

試題分析

此題是２００８年泰州的中考試題，主要是利用圖像提供的信息解決行程問題. 行程問題反映的是路程、時間和速度的關(guān)系問題. 它具有一定的典型性、示范性和遷移性，有較高的應用價值. 類比上述問題我們可以將其改編成研究工作量、工作時間和工作效率的問題. 所以將上述問題改編成如下試題.

２． 試題變式１

甲、乙兩個小組進行工作，他們的總工作量是４８０件，甲組人員到齊就開工，乙組人員到齊比甲組晚１．２５小時開始工作，圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的工作量ｙ甲、ｙ乙與時間ｘ（小時）之間的函數(shù)圖像如圖2所示．請根據(jù)圖像所提供的信息，解決下列問題：

（１）解釋ＡＢ線段的實際意義 ．

（２）求甲組和乙組完成相同工作量時的時間．

（３）甲、乙兩組在第一次完成相同工作量時約定，以后兩組工作量之差不超過２５件，這樣才能保證同時送貨，請通過計算說明，按圖像所表示的完成工作是否符合規(guī)定．

變式１分析

變式１是在２００８年泰州的中考試題的基礎(chǔ)上，沒有改變圖像，只是將內(nèi)容的呈現(xiàn)形式做了相應的調(diào)整，但其主體的數(shù)量關(guān)系并沒有改變，讓學生能進一步體會、理解此圖像提供的信息，學會從繁雜的題目中抓住其要考查的數(shù)學本質(zhì)，將其真正的內(nèi)化理解并達到舉一反三的目的. 進一步把圖像進行適當改變再賦予新的問題情境提出相應的問題，又設(shè)計了以下內(nèi)容．

３． 試題變式２

甲、乙兩組同時加工一批零件，乙組工作中有一次停產(chǎn)檢修，兩組各自剩余工作量ｙ（件）與時間ｘ（時）的函數(shù)圖像如圖3所示，從開始工作時計時.

（1）直接寫出甲、乙兩組各自的工作量.

（2）求甲組剩余工作量ｙ與ｘ的函數(shù)關(guān)系式.

（3）求甲、乙兩組剩余工作量相同時的ｘ值.

（4）工作３小時后，當甲組剩余工作量比乙組剩余工作量多２０件時，甲組想通過提高工作效率，保證與乙組同時完成工作，甲組每小時要比原來多生產(chǎn)多少件？

變式２分析

變式２是將變式１的圖像進行了１８０°的旋轉(zhuǎn)后適當調(diào)整，賦予新的意義后提出相應的問題，這樣設(shè)計本題的難度大大提高，學生在解決問題時思維層面上要出現(xiàn)跳躍，雖然題目很好但卻難以達到考查學生的目的．因此把題目３的圖像又進行了調(diào)整，旋轉(zhuǎn)１８０°后得到變式３．

４． 試題變式３

甲、乙兩組工人同時加工某種零件，乙組工作中有一次停產(chǎn)更換設(shè)備，更換設(shè)備后，乙組的工作效率是原來的２倍．兩組各自加工零件的數(shù)量y（件）與時間x（時）的函數(shù)圖像如圖4所示．

（１）求甲組加工零件的數(shù)量ｙ與時間x之間的函數(shù)關(guān)系式．

（２）求乙組加工零件總量a的值．

（３）甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱，每夠３００件裝一箱，零件裝箱的時間忽略不計，求：經(jīng)過多長時間恰好裝滿第一箱？再經(jīng)過多長時間恰好裝滿第二箱？

變式３分析

變式３是長春市２０１１年中考試題. 這道題的情境符合生活實際，問題的表述更加科學規(guī)范，最后一問涉及分類討論，具有一定的區(qū)分度. 從這道中考試題的演變過程，讓我們看到了數(shù)學的魅力，不僅能幫我們解決生活中的問題，還會讓我們思維更加縝密，視角更加開闊.

學數(shù)學離不開做題，怎樣做題卻是值得每位一線教師深思的. 我們不應該僅僅停留在解題層面，而更應該研究它，要知道它是從哪里來要到哪里去，并挖掘出它的本質(zhì)是什么，找到其考查的數(shù)學思想方法. 數(shù)學思想方法是解決數(shù)學問題的靈魂，是形成數(shù)學能力、數(shù)學意識的橋梁，是靈活運用數(shù)學知識、技能的關(guān)鍵. 在解數(shù)學綜合題時，尤其需要用數(shù)學思想方法來統(tǒng)帥，去探求解題思路，優(yōu)化解題過程，驗證所得結(jié)論，這就要求教師在平時教學時要加強數(shù)學方法、解題技巧、數(shù)學思想方面的訓練，使學生形成數(shù)學能力，在落實基礎(chǔ)知識的前提下，能更加靈活地駕馭中考試題.