變式教學設計例談

陳桂芬

變式教學是在數(shù)學活動過程中，通過有層次的推進，使學生分步解決問題，積累多種活動經驗．通俗的理解，變式教學就是指變換問題的條件和結論，變換問題的形式，而不變換問題的本質，使本質的東西更全面，使學生不迷戀于事物的表象，而能自覺地從本質看問題，同時使學生學會比較全面地看問題，使學生在習題的變換中，尋求以不變應萬變的解題方法，從而達到舉一反三的功效.

下面結合具體的案例設計，談談如何進行變式教學設計. 例題 人教版七年級上冊第７３頁數(shù)學活動１（１），如圖１所示，用火柴棍拼成一排由三角形組成的圖形，如果圖形中含有２，３或４個三角形，分別需要多少根火柴棍？如果圖形中含有ｎ個三角形，需要多少根火柴棍？

解析 每次增加的基本圖形如圖２所示，即每增加一個三角形，就增加兩根火柴，如果把第一個三角形看作是（１＋２）根，那么含有２個三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ５（根），含有３個三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ７（根），含有４個三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ９（根），含有ｎ個三角形需要火柴1 += （１ ＋ ２ｎ）根．

點評 這類問題的基本規(guī)律是，火柴總棒數(shù) ＝ 基本圖形棒數(shù) × ｎ ＋ （原圖形棒數(shù) － 基本圖形棒數(shù)）．

變式１ 改變圖形，規(guī)律不變

例１ 如圖3是一組有規(guī)律的圖案，第１個 圖案由４個基礎圖形組成，第２個圖案由７個基礎圖形組成……第ｎ（ｎ是正整數(shù)）個圖案中由個基礎圖形組成．

解析 每次增加的圖形如圖4所示，所以第ｎ（ｎ是正整數(shù)）個圖案中由３ｎ ＋ （４ － ３） ＝ （３ｎ ＋ １）個基礎圖形組成的．

例２ 如圖5，用圍棋子按下面的規(guī)律擺圖形，則擺第ｎ個圖形需要圍棋子的枚數(shù)是．

解析 第１個圖形有５枚棋子，每次增加的圖形如圖6所示，它含有３枚棋子，所以第ｎ（ｎ是正整數(shù)）個圖形需要３ｎ ＋ （５ － ３） ＝ （３ｎ ＋ ２）枚棋子．

本題組設計說明：本題組的目的１，是運用變式教學培養(yǎng)學生的化歸能力. 以上2題與課本題相比，只是改變了圖形，但其規(guī)律沒有變．特別是例１與課本題相比，更是如出一轍.目的２，是運用變式教學，確保學生參與教學活動的持續(xù)的熱情．課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與情況，這就首先要求學生有參與意識. 通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能夠喚起學生的好奇心和求知欲，因而能夠產生主動參與的動力，保持其參與教學活動的興趣和熱情.

變式２ 圖形不變，改變所求結論

例3如圖7，這是由邊長為１的等邊三角形擺出的一系列圖形，按這種方式擺下去，則第ｎ個圖形的周長是 .

解析 第一個三角形的周長是３，之后的每一個圖形都比前一個圖形的周長增加１，所以第ｎ個圖形的周長是ｎ ＋ （３ － １） ＝ ｎ ＋ ２．

例4 （人教七上課本Ｐ６１頁第１０題）觀察下圖并填表：

解析 根據(jù)圖形及表格中的已知數(shù)據(jù)可知，第一個圖形的周長是５ａ，之后每增加一個圖形，其周長增加３ａ，所以第５個圖形的周長為１７ａ，第６個圖形的周長為２０ａ…… 第ｎ個圖形的周長是３ｎａ ＋ （５ａ － ３ａ） ＝ ３ｎａ ＋ ２ａ ＝ （３ｎ ＋ ２）ａ．

本題組設計說明：本題組的目的１，是運用變式教學培養(yǎng)學生的化歸能力. 例4與課本原題相比，圖形不變，而把求火柴棍數(shù)目變?yōu)榍髨D形的周長，其規(guī)律與課本原題類似，即第ｎ個圖形的周長 ＝ 每次增加的周長 × ｎ ＋（原圖形周長 － 每次增加的周長）. 但要提醒學生注意，圖形內部的邊不能當作圖形的邊長來計算周長. 目的２，是運用變式教學，培養(yǎng)學生思維的廣闊性．思維的廣闊性是發(fā)散思維的又一特征．思維的狹窄性表現(xiàn)在只知其一，不知其二，稍有變化，就不知所云．反復進行一題多變的訓練，是幫助學生克服思維狹窄性的有效辦法．現(xiàn)在課本中，有一部分例題的“想一想”是把例題進行變式訓練的，我們可以利用它們切實培養(yǎng)學生思維的廣闊性.

變式３ 圖形變復雜，但規(guī)律類似

例5 如圖９，用圍棋子按下面的規(guī)律擺圖形，則擺第ｎ個圖形需要圍棋子的枚數(shù)是 （ ）.

Ａ． ５ｎＢ． ５ｎ － １Ｃ． ６ｎ － １Ｄ． ２ｎ２ ＋ １

解析 通過觀察知，第１個圖案有５枚棋子；第２個圖案有１１枚棋子，即增加了６枚；第３個圖案有１７枚棋子，即又增加了６枚；所以第ｎ個圖案有６ｎ ＋ （５ － ６） ＝ （６ｎ － １）枚棋子． 答案選Ｃ.

本題組設計說明：本題組的目的１，是運用變式教學培養(yǎng)學生的化歸能力．上題改變了圖形，看似較復雜，但仔細分析，其規(guī)律與課本題是類似的，即第ｎ個圖形需用的棋子數(shù) ＝ 每次增加的棋子數(shù) × ｎ ＋ （原圖形棋子數(shù) － 每次增加的棋子數(shù)）．目的２，是運用變式教學，培養(yǎng)學生思維的深刻性. 注意從事物之間的聯(lián)系的矛盾上來理解事物的本質，在一定程度上可克服和減少思維中的絕對化而呈現(xiàn)的思維僵化及思維惰性. 教師通過不斷變換命題的條件，引申拓廣，產生一個個既類似又有區(qū)別的問題，使學生產生濃厚的興趣，培養(yǎng)了思維的深刻性.

變式４ 圖形更復雜，需創(chuàng)新應用

例6 如圖１０所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n（n是大于０的整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是．

解析 第１個圖形是三角形，它只有三個頂點上有黑色棋子，棋子的個數(shù)共３個；第２個圖形是四邊形，不僅四個頂點處有黑色棋子，邊上還有（每邊上各增加１個），棋子的個數(shù)是４ ＋ １ × ４ ＝ ２ × ４；第３個圖形是五邊形，不僅五個頂點處有黑色棋子，邊上還有（每邊上各增加２個），黑色棋子的個數(shù)是５ ＋ ２ × ５ ＝ ３ × ５.

即規(guī)律如下：

第１個圖形黑色棋子的個數(shù)是３ ＝ １ × ３，

第２個圖形黑色棋子的個數(shù)是４ ＋ １ × ４ ＝ ２ × ４，

第３個圖形黑色棋子的個數(shù)是５ ＋ ２ × ５ ＝ ３ × ５，

……

∴第ｎ個圖形黑色棋子的個數(shù)是ｎ（ｎ ＋ ２）.

本題組設計說明：本題組的目的１，是運用變式教學培養(yǎng)學生的化歸能力. 本題圖形更加復雜些，其解題方法及規(guī)律與課本題類似，但又不盡相同，需要在原有方法、規(guī)律的基礎上進行進一步地探索、創(chuàng)新．目的２，是運用變式教學，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性. 著名的數(shù)學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個. ”數(shù)學教學中由一個基本問題出發(fā)，運用類比、聯(lián)想、特殊化和一般化的思維方法，探索問題的發(fā)展變化，可使我們發(fā)現(xiàn)問題的本質. 因此，我們可以運用變式教學，讓學生克服思維的心理定式，變中求進，進中求通，拓展學生的創(chuàng)新空間．

此案例，本人在班上實際教學時效果很好，學生學習興趣很高，積極參與，課堂很活躍．開展變式教學，有利于學生對數(shù)學知識與方法的化歸，達到以不變應萬變的目的. 同時，也有利于學生對實際問題的動態(tài)處理，克服思維和心理定式，實現(xiàn)創(chuàng)新目標. 總而言之，運用變式教學可以達到舉一反三的功效，從而提高教學效率．