對高二一則物理實驗的測量方法和誤差分析

劉文橋

【摘要】本文對學(xué)生進(jìn)行分組實驗過程中提出的問題，積極創(chuàng)設(shè)情景與條件，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，對所提問題，從理論上和物理思想方法上給予了詳細(xì)的討論和定量分析，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和發(fā)散思維與實踐能力。

【關(guān)鍵詞】測量方法 誤差分析 伏安法 伏阻法 安阻法 等效電源法

【中圖分類號】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0113-02

在做“測定電源電動勢和內(nèi)阻”實驗時，勤學(xué)好問的學(xué)生會問：課本中的實驗所用電路其電流表相對電源而言采用了“外接法”（研究對象是電源，相對電源安培表接在了伏特表外面，故稱為“外接法”），為何不用“內(nèi)接法”呢？有的學(xué)生根據(jù)教材中的例題會進(jìn)一步聯(lián)想：除了學(xué)生分組實驗介紹的方法外還有其它方法嗎？這對高二的學(xué)生來說能提出這樣的問題，實在是難能可貴。要回答這些問題，需先從“測定電源電動勢和內(nèi)阻”實驗原理和實驗誤差產(chǎn)生的原因分析談起。

我們知道，電源電動勢（高內(nèi)阻伏特表可直接近似測量電源電動勢）和內(nèi)阻不可以直接測量，但電源通過導(dǎo)線向外電路輸出了電壓、電流和電能，在外電路是純電阻的情況下又遵循閉合電路歐姆定律，而在外電路可直接測量（或確定）的物理量有三個：輸出電壓U、輸出電流I和外電阻R，三者又遵循歐姆定律，知道其中兩個物理量，可求出第三個物理量，因此只要直接測出（或已知）電源外電路三個物理量中在不同外電阻時任意兩個物理量共兩組，再根據(jù)閉合電路歐姆定律建立兩個方程，聯(lián)立可求出電動勢E和內(nèi)阻r。根據(jù)所測量（或已知）的外電路中物理量組合的不同，我們把測量方法分別叫“伏安法”、“伏阻法”和“安阻法”，下面分別討論其測量原理、方法、電路和誤差分析。

一、測量原理和方法及電路

（一）伏安法

1.測量原理和方法：“伏安法”測電源電動勢和內(nèi)阻就是用伏特表和安培表分別測出電源在連接不同外電阻時電源的輸出電壓和電流共兩組，再根據(jù)閉合電路歐姆定律E=U+Ir，列出兩個方程：E=U1+I1r，E=U2+I2r，可求得E=■，r=■。也可測出多組用作圖法求解E和r。

2．測量電路：

圖1、圖2是“伏安法”測電源電動勢和內(nèi)阻的兩種接法，相對電源而言分別叫安培表“外接法”和“內(nèi)接法”，如果兩表都是理想的電表，那么用圖1、圖2測量時測量結(jié)果是一樣的，都不存在系統(tǒng)誤差，兩種測量電路沒有本質(zhì)差別；如果兩表不是理想的電表，則用圖1、圖2測定待測電源電動勢和內(nèi)阻都存在實驗誤差，而且偏大偏小不同，圖1是由伏特表分流引起的、圖2是由安培表分壓引起的。（下面再分析）

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（二）伏阻法

1.測量原理和方法：“伏阻法”測電源電動勢和內(nèi)阻就是用兩個阻值已知的定值電阻（或電阻箱），單刀雙擲開關(guān)與電源構(gòu)成閉合電路，用伏特表測出外電阻分別為R1、R2時的路端電壓U1和U2，即有E=U1+■r，E=U2+■r，可得E=■U1U2，r=■R1R2。

2．測量電路：

圖3是“伏阻法”測電源電動勢和內(nèi)阻的電路圖，由于流過定值電阻的電流為I=U/R，這里相當(dāng)于用U/R代替了圖1中的安培表所測的電流，故“伏阻法”本質(zhì)上與圖1一樣，相對于電源而言相當(dāng)于安培表接在伏特表外面；若伏特表不是理想的電表，則誤差產(chǎn)生的原因與圖1一樣，都是由于伏特表分流引起的。

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（三）安阻法

1. 測量原理和方法：“安阻法”測電源電動勢和內(nèi)阻就是用兩個阻值已知的定值電阻（或電阻箱）和單刀雙擲開關(guān)與電源構(gòu)成閉合電路，用安培表測出外電阻分別為R1、R2時的輸出電流I1和I2，即有E=I1（R1+r），E=I2（R2+r），可得E=■I1I2，r=■。

2．測量電路：

圖4是“安阻法”測電源電動勢和內(nèi)阻的電路圖，由于加在定值電阻上的電壓為U=I·R，這里相當(dāng)于用I·R代替了圖2中的伏特表所測的電壓，故“安阻法”本質(zhì)上與圖2一樣，相對于電源而言相當(dāng)于安培表接在伏特表里面；若安培表不是理想的電表，則誤差產(chǎn)生的原因與圖2一樣，都是由于安培表分壓引起的。

二、誤差分析

在實際測量中，由于測量電表都不是理想電表，伏特表由于存在內(nèi)阻有分流作用，安培表由于存在內(nèi)阻有分壓作用，因此測量誤差總是存在的。又通過以上分析可以看出，由于在“伏阻法”中相當(dāng)于用U/R代替了圖1中電流表的讀數(shù)，在“安阻法”中相當(dāng)于用I·R代替了圖2中伏特表的讀數(shù)，因此后兩種測量方法誤差產(chǎn)生的原因都可以歸結(jié)到第一種方法——伏安法的兩種接法中。所以下面的誤差分析僅討論“伏安法”中兩種接法誤差產(chǎn)生的原因。“伏安法” 測電源電動勢和內(nèi)阻的誤差分析通常有三種方法：1.解方程組法；2.等效電源法；3.圖像法。限于篇幅下面僅定量討論前兩種方法。

（一）解方程組法

1．采用安培表“外接法”實驗電路如圖1所示，誤差產(chǎn)生在于伏特表的分流作用；若考慮了伏特表的分流作用，則列出的方程式應(yīng)為：

E=U1+(I1+■r) E=U2+(I2+■r)

E和r是真實值，可解得：

E=■r=■

與前面不計伏特表內(nèi)阻可列方程為：

E測=U1+I1r測，E測=U2+I2r測

可解得： E測=■，r測=■。

再對比整理可得測量值和真實值的關(guān)系：

E測=■E＜Er測=■r＜r

說明電源內(nèi)阻的測量值相當(dāng)于是伏特表的內(nèi)阻RV與電源內(nèi)阻r的并聯(lián)值；電動勢的測量值是外電阻斷路時實際伏特表的測量讀數(shù)，即外電阻斷路時電源對伏特表的輸出電壓。可見無論是電源電動勢還是內(nèi)阻，實驗測量結(jié)果比真實值都偏小。

2．采用安培表“內(nèi)接法”實驗電路如圖2所示，誤差產(chǎn)生在于安培表的分壓作用；若考慮了安培表的分壓作用，則列出的方程式應(yīng)為：

E=U1+I1（r+RA）E=U2+I2（r+RA）

E和r是真實值，可解得：

E=■， r=■-RA

與前面不計安培表內(nèi)阻可列方程為：

E測=U1+I1r測，E測=U2+I2r測

可解得：E測=■，r測=■。

再對比可得測量值和真實值的關(guān)系：

E測=Er測= r+RA＞r

說明內(nèi)阻的測量值相當(dāng)于是安培表的內(nèi)阻RA與電源內(nèi)阻r的串聯(lián)值；電動勢的測量值等于真實值。

(二)等效電源法

1．理論依據(jù)

根據(jù)閉合電路歐姆定律，我們知道；U=E－Ir，I=E/（R+r），當(dāng)電源以外電阻R無窮大時（即電路斷開），回路電流為零，此時的路端電壓等于電源電動勢（I=0時U=E）；當(dāng)外電阻R=0時（即電源被短路），電動勢與短路電流的比值為電源的內(nèi)阻（R=0時，r=E/r短）。

2．等效電源

等效電源：把已知電源與部分定值電阻串聯(lián)或并聯(lián)在一起而形成的部分電路，對外構(gòu)成一個等效電源，如圖5、圖6所示。

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說明：E為電源的電動勢，r為電源的內(nèi)阻，R為串聯(lián)（或并聯(lián)）的電阻，虛線框內(nèi)為等效電源，E′為等效電源的電動勢，r′為等效電源的內(nèi)阻。

等效電源的電動勢：等效電源開路時，兩極間的路端電壓等于等效電源的電動勢。如圖5中E′=E，圖6中E′=■E。

等效電源的內(nèi)阻：等效電源短路時（即用導(dǎo)線直接把等效電源的兩極連接），等效電源的電動勢與短路電流的比值。如圖5中短路電流i短=■，所以r′=R+r；圖6中短路電流i短=■（R被短路），所以r′=■。

3．誤差分析

用“伏安法”測電源電動勢和內(nèi)阻的實驗，伏特表測路端電壓，安培表測回路電流，由于兩表都有內(nèi)阻，必然對實驗結(jié)果造成一定的誤差。若采用安培表“外接法”即圖1作為實驗電路時，可以把圖1、圖3中虛線框內(nèi)的伏特表和電源等效為一個新電源，安培表所測為等效電源的回路電流，根據(jù)E=U+Ir，可知計算結(jié)果為等效電源的電動勢和內(nèi)阻，因此分析誤差只需將等效電源的電動勢和內(nèi)阻與真實電源進(jìn)行比較即可。設(shè)伏特表內(nèi)阻為RV，安培表內(nèi)阻為RA，電源電動勢為E，內(nèi)阻為r，等效電源的電動勢為E′，等效電源的內(nèi)阻為r′，則有：r′=■＜r， E′=■E＜E，E′、r′即為測量值，可見無論是電源電動勢還是內(nèi)阻，實驗測量結(jié)果比真實值都偏小。

若采用安培表“內(nèi)接法”即圖2作為實驗電路時，則可以把圖2、圖4中虛線框內(nèi)的安培表和電源等效為一個新電源，有E′=E、r′=r+RA＞r?？梢?，實驗測量結(jié)果電源電動勢等于真實值，內(nèi)阻比真實值偏大。

通過以上分析可知，采用安培表“外接法”，測量的系統(tǒng)誤差來源于伏特表的分流作用，選用器材時應(yīng)選用高內(nèi)阻的伏特表。一般情況下，由于伏特表的內(nèi)阻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電源內(nèi)阻，故盡管測得的電動勢和內(nèi)阻都有誤差，但誤差都較小，因而一般實驗時都采用圖1、3,即安培表“外接法”進(jìn)行測量。若采用安培表“內(nèi)接法”，測量的系統(tǒng)誤差來源于安培表的分壓作用，在一般情況下RA與r相差不是很大，用此測量電路進(jìn)行測量盡管電動勢的測量準(zhǔn)確，但內(nèi)阻測量誤差過大，權(quán)衡利弊，所以在學(xué)生分組實驗中一般采用安培表“外接法”，即采用圖1電路圖進(jìn)行實驗。