對(duì)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的思考

趙正強(qiáng)

摘要： 數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基本元素，概念的形成過程能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，是生活的高度抽象概括，是學(xué)生知識(shí)發(fā)展的源泉，同時(shí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知能力、歸納推理等思維能力有著重要意義。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)摒棄機(jī)械系記憶概念的教學(xué)法，重視概念的產(chǎn)生背景及生成過程，使學(xué)生自然而然地產(chǎn)生概念，應(yīng)用概念，在探索中發(fā)現(xiàn)、發(fā)展、創(chuàng)新地應(yīng)用概念。

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)

選修1-1中有一道習(xí)題：“水波的半徑以50m/s的速度擴(kuò)張，當(dāng)半徑為250cm時(shí)，水波面的圓面積的膨脹率是多少？”本題學(xué)生拿到后感到很困惑，無從下手，似乎與本節(jié)內(nèi)容無關(guān)，原因是水波半徑以50cm/s速度度擴(kuò)張與圓面積的膨脹率之間關(guān)系，學(xué)生想不到，水波半徑擴(kuò)張速度與水波圓面積膨脹率相對(duì)于哪一個(gè)變量（時(shí)間t），更是想不透。這兩個(gè)問題充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的重要性，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生過程：平均變化率—瞬時(shí)變化率—導(dǎo)數(shù)。

概念教學(xué)往往容易被忽視，一些師生認(rèn)為掌握解決問題的工具和方法就夠了，忽視了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是不斷建立各種數(shù)學(xué)概念的過程。高中新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷?！倍獙?shí)現(xiàn)這一目標(biāo)就要求數(shù)學(xué)教育工作者在教學(xué)過程中讓學(xué)生經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)和反思的過程，而不是將單一的知識(shí)，純粹的技巧和方法硬性地塞給學(xué)生，再通過機(jī)械重復(fù)的勞動(dòng)去強(qiáng)化。這種做法大大抹殺了學(xué)生學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性和主動(dòng)性，也違背了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)和宗旨，不符合新課程改革的精神，是極不可取的。

下面筆者就導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)談?wù)勛约旱目捶?。?dǎo)數(shù)是抽象的概念，經(jīng)歷平均變化率到瞬時(shí)變化率到導(dǎo)數(shù)的概念，使學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)的概念的實(shí)際背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)思想及其用法。首先構(gòu)建平均變化率的概念，列舉我們?nèi)粘Ｉ钪邢⑾⑾嚓P(guān)的實(shí)例，如：登山、游覽車、氣溫變化等。這些實(shí)例學(xué)生都有生活經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際感受，登山在某段陡峭的山路爬山的感覺比較吃力，游覽車從高處向下時(shí)人會(huì)感到驚險(xiǎn)刺激，這些現(xiàn)象體現(xiàn)了變化速度比較快，從而引出了平均變化率的概念，顯得自然且學(xué)生易懂。平均變率是一個(gè)量的增量與另一個(gè)增量的比值，是兩個(gè)變量增量之間的比值，這個(gè)比值的絕對(duì)值的大與小，體現(xiàn)變化速度的快與慢。再回到教材，既然是變量的關(guān)系，就可利用函數(shù)數(shù)學(xué)工具進(jìn)行研究，通過圖像直觀地體會(huì)平均變化率，最后通過量化計(jì)算平均變化率。回到登山問題，山勢陡峭時(shí)為何感到吃力，原因是高度變化量與水平距離的變化量比值大，也就是平均變化率大。同樣可以用平均變化率來解釋游覽車、氣溫變化等問題。體現(xiàn)教學(xué)源于生活、高于生活、服務(wù)于生活的理念。

平均變化率是引出導(dǎo)數(shù)的重要鋪墊。先通過大量的實(shí)際應(yīng)用實(shí)例，如速度、膨脹率、效率、增長率來理解平均變化率，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均變化率的粗糙而不精確性。如何才能夠精確地表達(dá)某一位置變化率呢？由此引入瞬時(shí)變化率。瞬時(shí)變化率事實(shí)上就是極限的思想，學(xué)生沒有這部分知識(shí)，如何用初等數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確表達(dá)這一過程呢？我們采取無限逼近的思想，自變量增量無限趨近于零，但不等于零時(shí)，平均變化率趨向的那一個(gè)值。如位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率就是速度，速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率就是加速度。在教學(xué)過程中注重幾何直觀，反復(fù)用圖形去認(rèn)識(shí)和感受瞬時(shí)變化率，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。學(xué)生對(duì)瞬時(shí)變化率認(rèn)識(shí)清晰后，導(dǎo)數(shù)概念就不難理解了。通過這樣的教學(xué)過程，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)有了深刻的認(rèn)識(shí)，它不只是深?yuàn)W的理論，而是實(shí)際生活的提煉，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活而服務(wù)于生活，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，從而更加熱愛數(shù)學(xué)。

由平均變化率到瞬時(shí)變化率到導(dǎo)數(shù)概念這樣一個(gè)自然流程，把微積分內(nèi)容變得簡單化，易于理解。這是新課程改革的一大成就，是成功的數(shù)學(xué)概念教學(xué)法。在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)后再來研究本篇開頭的習(xí)題，自然就不難了。水波半徑以50cm/s過度擴(kuò)張的是水波半徑對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，而水波半徑與面積具有函數(shù)關(guān)系，而要求的水波圓面積膨脹率就是水波圓面積對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，從而建立了膨脹率與水波半徑擴(kuò)張速度之間的關(guān)系。這個(gè)問題在概念的指引下輕松地得到了解決。這樣的問題教材涉及很多，解法大致相同。

數(shù)學(xué)的概念教學(xué)是教學(xué)中的難點(diǎn)，高中數(shù)學(xué)必修1中還有一些抽象的概念，如函數(shù)的概念，函數(shù)單調(diào)性的概念等，使高一學(xué)生感到非常困惑，好多學(xué)生因此數(shù)學(xué)成績一落千丈。關(guān)鍵是教師沒有認(rèn)真地研究概念教學(xué)法，對(duì)生活中函數(shù)實(shí)例不重視，不是從實(shí)例中抽象出函數(shù)的概念，沒有抓住概念的本質(zhì)，而是將概念硬塞給學(xué)生，這樣學(xué)生在解決問題時(shí)自然就無從下手。還有，要對(duì)復(fù)雜的概念給予分解，比如函數(shù)的單調(diào)性可分解為：一個(gè)大前提加上三句話。大前提是函數(shù)的定義域，三句話是：（1）定義域子區(qū)間I上任取x，x，且x