再析等差數(shù)列的前_N項和

武興暉

摘要： 教材討論了等差數(shù)列的前N項和（后稱部分和）的兩種形式，又進行了簡要的拓展.本文從另一角度著眼列出另一種形式，通過比較分析討論它們在應用上的差異，為選取最優(yōu)解法提供參考.

關鍵詞： 部分和首尾式首差式一般式中位式

等差數(shù)列的部分和是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是后續(xù)學習的基礎知識.我們在教材的基礎上進行歸納，提出等差數(shù)列部分和的四種表達形式并對其進行命名，通過理論分析和實例解答，更清晰地認識等差數(shù)列部分和的本質特點，更靈活巧妙地處理有關問題.

一、提出

等差數(shù)列的特點在于所有相鄰項等距，教材通過倒序相加法得到公式S■=（a■+a■）n/2（1），稱之為首尾式.我們又把數(shù)列通項公式代入首尾式，整理得S■=na■+■n（n-1）d（2），稱之為首差式.[1]接著，我們把（2）整理成關于n的二次式：S■=An■+Bn（其中A=■d，B=a■-■d）（3），稱之為一般式.

教材主要用首末項或首項公差來表示部分和，在教研中，我們試圖用中間項來考查它.由于部分和的項數(shù)有奇數(shù)和偶數(shù)之分，我們分開考慮：當n為奇數(shù)時，（a■+a■）/2就是數(shù)列中間項，代入（1），得S■=a■·n=a■·n；當n為偶數(shù)時，中間有兩項，由等差數(shù)列性質知：（a■+a■）/2等于兩中間項的平均數(shù)，同樣可得S■=a■·n=■（a■+a■）·n.現(xiàn)在我們把情況統(tǒng)一起來：當N為奇數(shù)時，中間項即等差數(shù)列中位數(shù)；當N為偶數(shù)時，中間兩項平均數(shù)即數(shù)列中位數(shù)，此數(shù)不是數(shù)列中的項，我們理解為“虛項”.這樣，公式可統(tǒng)一為S■=a■·n（4），稱之為中位式.在使用時出現(xiàn)虛項我們求前后項算術平均數(shù)即可.

我們把首尾式、首差式、一般式和中位式通稱為等差數(shù)列部分和的四種表達形式.它們分別從不同角度刻畫了等差數(shù)列部分和的特征.

二、比較

雖然幾種形式可以互相轉化，但都有其自身特點，在應用上也各有千秋.

從刻畫的角度看，（1）側重于首尾項，即首尾項平均數(shù)乘以項數(shù)；（2）側重于項間距即公差，形式較為復雜；（3）側重于S■和項數(shù)n的函數(shù)關系；（4）表示為數(shù)列中位數(shù)與項數(shù)的積，簡潔，明了.

這些特點決定了它們在應用上的不同效果，在一般的計算中（1）、（2）應用較多，但有較多項數(shù)條件時用（1）方便，出現(xiàn)公差時可考慮（2）；（3）反映的是函數(shù)關系，在討論最值等問題時用著方便，由于（2）反應數(shù)列基本元素的關系，一般還要與（2）結合使用，當然有時也用不等式處理；（4）形式很簡潔，若出現(xiàn)判斷中間項關系時，可能有特別的效果.

三、應用

鑒于上面的分析，我們從一些典型例題來討論它們應用上的差異.這里主要突出（3）和（4）在理解與解題上的特殊效果.

例1：討論：（1）若等差數(shù)列項數(shù)2n+1（n∈N■），則S■=（2n+1）a■，且S■-S■=a■，S■/S■=（n+1）/n.（2）若等差數(shù)列項數(shù)2n（n∈N■），則S■-S■=nd，且S■/S■=a■/a■.[2]

解析：（1）項數(shù)特點：1，2，3… n（前n項），n+1，（后n項）n+2，…2n+1.

令：奇列（n+1項）：a■+a■+a■+…+a■=S■

偶列（n項）：a■+a■+a■+…+a■=S■

由公式（4）得：

當n為偶數(shù)時，S■=（n+1）a■×0.5=（n+1）a■，

S■=na■×0.5=■（a■+a■）·n=na■（偶列中虛項，卻是原數(shù)列的項）.

當n為奇數(shù)時，S■=■（a■+a■）（n+1）=（n+1）a■（奇列中虛項，卻是原數(shù)列的項），S■=na■.

∴S■=S■+S■=（2n+1）a■，且S■-S■=a■，S■/S■=（n+1）/n.

（2）項數(shù)特點：1，2，3… n（前后各n項），n+1，n+2，…2n.

令：奇列（n項）：a■+a■+a■+…+a■=S■

偶列（n項）：a■+a■+a■+…+a■=S■

由公式（4）得：

當n為偶數(shù)時，S■=na■×0.5=■（a■+a■）n=na■（奇列中虛項，卻是原數(shù)列的項）

S■=na■×0.5=■（a■+a■）n=na■（偶列中虛項，卻是原數(shù)列的項）

當n為奇數(shù)時，S■=a■×0.5×n=na■

S■=na■×0.5=na■

∴S■-S■=nd，且S■/S■=a■/a■.

說明：根據(jù)項數(shù)的特點，我們考慮用中間項來表示部分和，而當奇列偶列項數(shù)是偶數(shù)時，出現(xiàn)的虛項恰好是原數(shù)列中的項，所以條件中n的奇偶性對結果表達沒影響，加深了我們對中間項與部分和關系的認識.當然用（1）也很好，我們可以從其他角度看看效果怎樣.

例2：設{a■}是等差數(shù)列，且S■=m，S■=n，求：S■.[3]

解1：設S■=Ax■+Bx（x∈N■）

則Am■+Bm=n （1）

An■+Bn=m（2）

由（1）、（2），得A（m■-n■）+B（m-n）=n-m

∵m≠n，A（m+n）+B=-1

故A（m+n）■+B（m+n）=-（m+n）

即S■=-（m+n）

解2：不妨設m>n，有等差數(shù)列性質

s■-s■=a■+a■+…+a■+a■=n-m=■（m-n）（a■+a■）

∴a■+a■=a■+a■=2（n-m）/（m-n）=-2

∴S■=■（m+n）（a■+a■）=-（m+n）

說明：這里用一般式解可謂另辟行經(jīng)，效果很好，解2結合數(shù)列性質和（1）也較好，其他方法應該是很繁，可以實踐一下.

例3：已知兩個等差數(shù)列{a■}，{b■}，它們的前n項和分別是S■，T■，若S■/T■=（7n+2）/（n+3），求a■/b■.

解1：等差數(shù)列部分和S■=An■+Bn=An（n+B/A），由已知，可令S■=（7n+2）kn，T■=（n+3）kn

∴a■=S■-S■=（7×2+2）k×5-（7×4+2）k×4=65k

b■=T■-T■=（5+3）k×5-（4+3）k×4=12k

∴a■/b■=65k/12k=65/12

解2：由等差數(shù)列部分和公式（4），得

a■/b■=a■×9/（b■×9）=S■/T■=（7×9+2）/（9+3）=65/12

說明：解1把條件還原為部分和一般式的形式，再用數(shù)列自身部分和與其項的關系代入求解；解2由中位式得解，因為中位式反映中位數(shù)項與部分和的關系，我們可把所求項當做部分和項數(shù)的中項，解法簡潔而巧妙.其他方法則較復雜.

例4：設等差數(shù)列{a■}的前n項和為S■，已知a■=12，且S■>0，S■<0.（1）求公差范圍；（2）問前幾項和最大，并說明理由.

解1：（1）∵S■>0，S■<0

由等差數(shù)列部分和公式（4），得

a■×12=（a■+a■）/2×12>0

a■×13<0

∴a■+a■>0

a■<0

又∵a■=12∴a■=a■+3d=12+3d，a■=a■+4d=12+4d

∴（12+3d+12+4d）>0

12+4d<0

得-24/7

（2）由等差數(shù)列部分和公式（3），得：S■=An■+Bn，又a■=12

∴A=■d，B=a■-■d=a■-2d-■d=12-2.5d

即S■=■dn■+（12-2.5d）n

上式理解為二次函數(shù)，則對稱軸n=2.5-12/d

∵-24/7

∴-1/3<1/d<-7/24

∴6<2.5-12/d<6.5

由于與對稱軸最近的整數(shù)只有6，因此前6項的和最大.

說明：（1）問用公式（4），（2）問用公式（3），可見它們有著不同的特征，這里見證了應用上的不同效果.

通過以上幾個例子，我們可以看到這四種表達形式自身的特點，在不同的問題中，表現(xiàn)出解法可行性和繁簡程度的不同，實踐中若能選擇恰當?shù)男问奖憧梢赃_到特殊的解題效果.

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修5[M].人民教育出版社，2004.

[2]薛金星.高中總復習全解：數(shù)學[M].陜西人民教育出版社，2004（5）.

[3]姬翠萍.高中學習輔導與訓練：高一數(shù)學[M].新世界出版社，2005（6）.

[4]周沛耕.怎樣學好高中數(shù)學[M].科學出版社龍門書局，2006（1）.