也談數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

張學(xué)峰

數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通俗地說就是代數(shù)與幾何相結(jié)合的思想。著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)缺少形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@句話說明了“數(shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的。我們?cè)谘芯俊皵?shù)”的時(shí)候，往往要借助于“形”，在探討“形”的性質(zhì)時(shí)，又往往離不開“數(shù)”.

縱觀近年來的高考，融“數(shù)”和“形”于一體的試題屢見不鮮.目前我們使用的新課本，不再把數(shù)學(xué)課劃分為“代數(shù)”、“幾何”，而是綜合為一門數(shù)學(xué)課，這樣更有利于“數(shù)”與“形”的結(jié)合.因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要做好“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類比、發(fā)掘，剖析其所具有的幾何模型，這對(duì)于幫助學(xué)生深化思維，擴(kuò)展知識(shí)，提高能力都有很大的幫助.

綜合教學(xué)內(nèi)容，從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，使學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合思想，并使之成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的工具，是我在數(shù)學(xué)教學(xué)中著力追求的目標(biāo).

1.在函數(shù)方面的運(yùn)用

例1：（利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)圖像）已知函數(shù)y=f（x）的圖像如圖1（甲）所示，y=g（x）的圖像如圖1（乙）所示，則函數(shù)y= f（x）·g（x）的圖像可能是圖中的（？搖？搖 ）

圖1（甲） 圖1（乙）

AB CD

解析：首先從f（x）與g（x）都是偶函數(shù)，可知函數(shù)y= f（x）·g（x）也是偶函數(shù)，故首先排除A、D.另外從兩個(gè)函數(shù)圖像對(duì)比可以看出，在區(qū)間（-1，0）∪（0，1）上，f（x）>0，而g（x）<0，則f（x）·g（x） <0，故排除B，正確答案為C.

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)圖像解決有關(guān)函數(shù)性質(zhì)問題，這是一類?？汲Ｐ碌念}目類型，要善于用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題、分析問題，避免走彎路.

2. 在不等式方面的運(yùn)用

例2：當(dāng)1b.

解析：直接證明有困難，稍作變形，情況如何？將a>b兩邊取對(duì)數(shù)，即證（b-1）lga>（a-1）lgb.由于b-1>0，a-1>0，于是改寫成>，再變形，上式即為>.

表達(dá)式讓我們聯(lián)想到斜率公式.若設(shè)f（x）=lgx，考慮到1.

點(diǎn)評(píng)：有些幾何圖形，并不是一眼就能從題設(shè)條件中看透的.只有在逐步變化過程中，本質(zhì)才能暴露出來.同時(shí)，“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，又必須具備敏銳的觀察力和豐富的聯(lián)想類比的能力.表達(dá)式要與斜率公式掛鉤，其中-lg1架設(shè)了橋梁.由轉(zhuǎn)化為幾何圖形還要有一次創(chuàng)造性的飛躍，“執(zhí)果索因”的分析過程，是解決本題的“金鑰匙”.

3. 在解析方面的運(yùn)用

例3：已知點(diǎn)列P（a，b）滿足P（，-1），且a=，b=-（n∈N）.

（1）寫出過點(diǎn)P，P，P的圓M的方程；

（2）判斷點(diǎn)P（n≥4）與圓M的位置關(guān)系；

（3）若P（x，y）是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.

解析：（1）由題意得：P（1，），P（，-），顯然P，P，P到原點(diǎn)的距離相等.故圓M的方程為x+y=.

（2）由點(diǎn)P（，-），易得P（，）.顯然P（，）在圓M上，故猜想點(diǎn)P（n≥4）在圓M上，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.

① 當(dāng)n=4時(shí)，P（，）在圓M上.

②假設(shè)點(diǎn)P在圓M上（k≥4），即a+b=，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

a+b=（）+（）===，

∴點(diǎn)P在圓M上.故當(dāng)n≥4時(shí)，點(diǎn)P（n≥4）均在圓M上.

（3）表示圓M上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)A（0，）連線的斜率的取值范圍，由數(shù)形結(jié)合可得其范圍為（-∞，]∪[，+∞）.

cos∠POM===？圯R=R=·，同理得R=·（），R=·（）…故這些球的體積之和V=（）[1+（）+（）+…]=.

利用數(shù)形結(jié)合的思想可以避開復(fù)雜的運(yùn)算過程，從而提高解題速度與準(zhǔn)確性.