單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限關(guān)系探討

魯亞男 張永平

摘要： 本文通過對函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限之間的關(guān)系的研究，得到結(jié)論：對于在分段點(diǎn)處的單側(cè)鄰域內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)的函數(shù)，如果其導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限存在的話，則其單側(cè)導(dǎo)數(shù)就等于導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限.從而給出了一個在滿足上述情況下的求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處單側(cè)極限的方法——直接講分段點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)即可.但必須注意的是，上述條件是充分非必要條件，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限不存在時，不能用此方法來運(yùn)算.反例見本文中例2.

關(guān)鍵詞： 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)極限關(guān)系探討

常見的分段函數(shù)由于它在除分段點(diǎn)外的小區(qū)間內(nèi)的每段函數(shù)都是初等函數(shù)，因此，它們在這些小區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)，可導(dǎo)的.而要研究整個分段函數(shù)在其定義域內(nèi)是否連續(xù)，可導(dǎo)，關(guān)鍵要看它在分段點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.其中，連續(xù)性的判別相對較簡單，而分段點(diǎn)處可導(dǎo)性的判別就要用到單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義，通常情況下，這類問題相對復(fù)雜.在學(xué)生中易出現(xiàn)的錯誤是直接將分段點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)求分段導(dǎo)數(shù)，從而判斷在該點(diǎn)處是否可導(dǎo).對于這種做法，有時結(jié)果上是正確的，但缺少必要的理論基礎(chǔ).下面主要針對分段點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性進(jìn)行討論.

1.有關(guān)定理

定理1：若函數(shù)f（x）在[x，x+δ上連續(xù)，在（x，x+δ）內(nèi)可導(dǎo)，并且導(dǎo)函數(shù)的右極限存在，則f（x）在x處的右導(dǎo)數(shù)存在，且

f′（x）=f′（x）……（1）

證明：因?yàn)閒（x）在[x，x+δ）上連續(xù)，在（x，x+δ）內(nèi)可導(dǎo)

所以任取x∈（x，x+δ），有f（x）在[x，x]上連續(xù)，在（x，x）內(nèi)可導(dǎo)

由拉格朗日中值定理，得至少？堝ξ∈（x，x），使得=f′（ξ）

因?yàn)棣巍剩▁，x），所以當(dāng)x→x時，有ξ→x，于是，對上式兩邊同時取極限，得=f′（ξ）=f′（ξ）=f′（x）

又因?yàn)閒′（x）=

所以有f′（x）=f′（x）

定理2：若f（x）在（x-δ，x]上連續(xù)，在（x-δ，x）內(nèi)可導(dǎo)，并且導(dǎo)函數(shù)的左極限存在，則f（x）在點(diǎn)x處的左導(dǎo)數(shù)存在，且f′（x）=f′（x）……（2）

推論：若函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（x）在a，b處單側(cè)連續(xù)，則有

f′（a）=f′（x）|=f′（a）……（3）

f′（b）=f′（x）|=f′（b）……（4）

即此時函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)的值與導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的值相等，此推論給出了一個求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的單側(cè)導(dǎo)數(shù)的教為簡便的方法——將分段點(diǎn)直接代入導(dǎo)函數(shù)即可.

2.應(yīng)用舉例

例1.已知f（x）=sinx，x<0x，x≥0，求f′（x）.

解：當(dāng)x<0時，f′（x）=cosx

當(dāng)x>0時，f′（x）=1

當(dāng)x=0時，因?yàn)閒（x）在點(diǎn)0的左，右鄰域內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)

所以，有f′（0）=1=1，f′（0）=cosx=1

于是，有f′（0）=f′（0）=f′（0）=1，所以，f′（x）=cosx，x<01，x≥0.

但值得注意的是，上述結(jié)論的條件是充分不必要的，當(dāng)函數(shù)的條件不滿足時，仍需要用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，如例2.

例2.已知f（x）=xsin，x≠00，x=0，求f′（0）.

解：由定義知，f′（0）===xsin=0

所以，f′（0）=f′（0）=f′（0）=0

而當(dāng)x≠0時，f′（x）=2xsin-cos；當(dāng)x=0時，f′（x）=0

顯然f′（x）不存在（因?yàn)?是f′（x）的震蕩間斷點(diǎn)）

所以，此題中只能用定義來求導(dǎo)，而不能用本文的結(jié)論來做.

3.結(jié)論

本文給出了函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限之間的關(guān)系，找到了單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在的一個充分條件，從而得到了求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的一個簡便方法.