非線性規(guī)劃模型在產(chǎn)品組合中的應(yīng)用

尹聰春

［摘要］ 非線性規(guī)劃是具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。非線性規(guī)劃是20世紀(jì)50年代才開始形成的一門新興學(xué)科。70年代又得到進(jìn)一步的發(fā)展。非線性規(guī)劃在工程、管理、經(jīng)濟(jì)、科研、軍事等方面都有廣泛的應(yīng)用，為最優(yōu)設(shè)計(jì)提供了有力的工具。本文主要介紹用Excel規(guī)劃求解工具制作的非線性規(guī)劃模型來解決經(jīng)濟(jì)管理中的產(chǎn)品組合問題。

［關(guān)鍵詞］ 非線性規(guī)劃； 模型； 產(chǎn)品組合； 應(yīng)用

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 08. 065

［中圖分類號(hào)］F272［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A［文章編號(hào)］1673 - 0194（2012）08- 0096- 02

1非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型

對(duì)實(shí)際規(guī)劃問題作定量分析，必須建立數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型首先要選定適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)變量和決策變量，并建立起目標(biāo)變量與決策變量之間的函數(shù)關(guān)系，稱之為目標(biāo)函數(shù)。然后將各種限制條件加以抽象，得出決策變量應(yīng)滿足的一些等式或不等式，稱之為約束條件。非線性規(guī)劃問題的一般數(shù)學(xué)模型可表述為求未知量ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，使?jié)M足約束條件：

ｇｉ（ｘ１，…，ｘｎ） ≥ ０ ｉ ＝ １，…，ｍ

ｈｊ（ｘ１，…，ｘｎ） ＝ ０ｊ ＝ １，…，ｐ

并使目標(biāo)函數(shù)ｆ（ｘ１，…，ｘｎ）達(dá)到最小值（或最大值）。其中：諸ｇｉ和諸ｈｊ都是定義在ｎ維向量空間Ｒｎ的某子集Ｄ（定義域）上的實(shí)值函數(shù)，且至少有一個(gè)是非線性函數(shù)。

上述模型可簡(jiǎn)記為：

ｍｉｎ ｆ（ｘ）

ｓ．ｔ． ｇｉ（ｘ） ≥ ０ ｉ ＝ １，…，ｍ

ｈｊ（ｘ） ＝ ０ ｊ ＝ １，…，ｐ

其中ｘ ＝ （ｘ１，…，ｘｎ）屬于定義域Ｄ，符號(hào)ｍｉｎ表示“求最小值”，符號(hào)ｓ．ｔ．表示“受約束于”。

定義域Ｄ中滿足約束條件的點(diǎn)稱為問題的可行解。全體可行解所成的集合稱為問題的可行集。對(duì)于一個(gè)可行解ｘ*，如果存在ｘ*的一個(gè)鄰域，使目標(biāo)函數(shù)在ｘ*處的值ｆ（ｘ*）優(yōu)于（指不大于或不小于）該鄰域中任何其他可行解處的函數(shù)值，則稱ｘ*為問題的局部最優(yōu)解（簡(jiǎn)稱局部解）。如果ｆ（ｘ*）優(yōu)于一切可行解處的目標(biāo)函數(shù)值，則稱ｘ*為問題的整體最優(yōu)解（簡(jiǎn)稱整體解）。

２關(guān)于Ｅxcel規(guī)劃求解

“規(guī)劃求解”是一組命令的組成部分，這些命令有時(shí)也稱作假設(shè)分析 （假設(shè)分析：該過程通過更改單元格中的值來查看這些更改對(duì)工作表中公式結(jié)果的影響。例如，更改分期支付表中的利率可以調(diào)整支付金額。）工具。借助“規(guī)劃求解”，可求得工作表上某個(gè)單元格（被稱為目標(biāo)單元格）中公式 （公式：?jiǎn)卧裰械囊幌盗兄?、單元格引用、名稱或運(yùn)算符的組合，可生成新的值。公式總是以等號(hào) （＝） 開始。）的最優(yōu)值?！耙?guī)劃求解”將對(duì)直接或間接與目標(biāo)單元格中公式相關(guān)聯(lián)的一組單元格中的數(shù)值進(jìn)行調(diào)整，最終在目標(biāo)單元格公式中求得期望的結(jié)果?！耙?guī)劃求解”通過調(diào)整所指定的可更改的單元格（可變單元格）中的值，從目標(biāo)單元格公式中求得所需的結(jié)果。在創(chuàng)建模型過程中，可以對(duì)“規(guī)劃求解”模型中的可變單元格數(shù)值應(yīng)用約束條件 （約束條件：“規(guī)劃求解”中設(shè)置的限制條件?？梢詫⒓s束條件應(yīng)用于可變單元格、目標(biāo)單元格或其他與目標(biāo)單元格直接或間接相關(guān)的單元格。），而且約束條件可以引用其他影響目標(biāo)單元格公式的單元格。

使用“規(guī)劃求解”可通過更改其他單元格來確定某個(gè)單元格的最大值或最小值。使用規(guī)劃求解的操作方法為：

在“工具”菜單上，單擊“規(guī)劃求解”。

如果“規(guī)劃求解”命令沒有出現(xiàn)在“工具”菜單中，則需要安裝“規(guī)劃求解”加載宏 （加載項(xiàng)：為 Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ Ｏｆｆｉｃｅ 提供自定義命令或自定義功能的補(bǔ)充程序。）程序。操作方法：

在“工具”菜單上，單擊“加載宏”。

如果在“當(dāng)前加載宏”列表框中沒有所需加載宏 （加載項(xiàng)：為 Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ Ｏｆｆｉｃｅ 提供自定義命令或自定義功能的補(bǔ)充程序。），請(qǐng)單擊“瀏覽”按鈕，再找到該加載宏。

在“當(dāng)前加載宏”框中，選中待裝載的加載宏旁邊的復(fù)選框，再單擊“確定”。

3案例資料

某公司生產(chǎn)和銷售甲乙兩種產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)一個(gè)單位需要工時(shí)為４和８，用電量５ kW和６ kW，需要原材料１０ kg和５ kg。公司可提供的工時(shí)為３２０，可提供的用電量為２６０ kW，可提供的原材料為４３０ kg。兩種產(chǎn)品的單價(jià)與銷量之間存在負(fù)的線性關(guān)系，分別為ｐ１＝３ １００ － ５５ｑ１， ｐ２ ＝ ３ ３５０－ ８５ｑ２ 。當(dāng)原料用量≥３２０ kg時(shí)，供應(yīng)商提供的原料價(jià)格從１８０元降為１６０元。假設(shè)兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)１個(gè)單位，總固定成本１０ ０００元，試在Ｅｘｃｅｌ中建立產(chǎn)品組合非線性規(guī)劃模型，并且按如下要求操作：計(jì)算需要的工時(shí)、用電量、原材料和利潤(rùn)；用規(guī)劃求解工具求解兩種產(chǎn)品的最優(yōu)生產(chǎn)量和總利潤(rùn)最大值。并用控件表示出兩種產(chǎn)品產(chǎn)量不同組合情況下的利潤(rùn)變化情況。

4模型建立

（1） 計(jì)算各項(xiàng)指標(biāo)

在ＳＨＥＥＴ １工作表中將已知各項(xiàng)指標(biāo)填入相關(guān)單元格中，并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。如圖１所示。

Ｂ１５ ＝ Ｃ１０ ＋ Ｄ１０ － Ｃ１３ － Ｃ１２ － Ｄ１２。

（2） 進(jìn)行規(guī)劃求解

單擊“工具”菜單上的“規(guī)劃求解”，在彈出的 “規(guī)劃求解參數(shù)” 對(duì)話框中作如圖２的設(shè)置。

在“設(shè)置目標(biāo)單元格”框中單擊，然后選擇利潤(rùn)單元格（單元格 Ｃ１４），在“可變單元格”框中單擊，指向區(qū)域 Ｃ６：Ｄ６，該區(qū)域?yàn)閮煞N產(chǎn)品的產(chǎn)量。

添加約束：?jiǎn)螕簟疤砑印卑粹o，在“添加約束”對(duì)話框中，在標(biāo)記為“單元格引用位置”的框中單擊，選擇區(qū)域Ｃ６：Ｄ６，從對(duì)話框中部的列表中選擇“＞＝”，在標(biāo)記為“約束值”的框中輸入０；選擇區(qū)域Ｅ３：Ｅ５，從對(duì)話框中的列表中選擇“＜＝”，在標(biāo)記為“約束值”的框中單擊，選擇單元格區(qū)域Ｆ３：Ｆ５。在“添加約束”對(duì)話框中單擊“添加”，以輸入需求約束即可。

在“規(guī)劃求解選項(xiàng)”對(duì)話框中輸入所有可變單元格都為非負(fù)值的約束，通過單擊“規(guī)劃求解參數(shù)”對(duì)話框中的“選項(xiàng)”按鈕可打開該對(duì)話框。

選擇“采用線性模型”和“假定非負(fù)”選項(xiàng)，然后單擊“確定”。

注意：選擇“假定非負(fù)”選項(xiàng)可確保規(guī)劃求解只考慮每個(gè)可變單元格都采用非負(fù)值的可變單元格組合。

選擇“采用線性模型”的原因是產(chǎn)品組合問題是一種稱為線性模型的特殊規(guī)劃求解問題。

單擊“規(guī)劃求解選項(xiàng)”對(duì)話框中的“確定”后，返回到主“規(guī)劃求解”對(duì)話框，單擊“求解”按鈕即可，這樣，規(guī)劃求解會(huì)迅速找出最佳解決方案，如圖３所示。需要選擇“保存規(guī)劃求解解決方案”以將最佳解決方案值保留在電子表格中。

5添加控件

根據(jù)圖表向?qū)?，做一直方圖。打開“窗體”控件，添加兩個(gè)滾動(dòng)條，一個(gè)與甲產(chǎn)品鏈接，一個(gè)與乙產(chǎn)品鏈接，其控件參數(shù)的設(shè)置最終結(jié)果如圖4所示。

6小結(jié)

利用Ｅｘｃｅｌ規(guī)劃求解工具不僅可以解決產(chǎn)品組合問題，還可以求解資金管理、運(yùn)輸管理、選址規(guī)劃等。