傳遞矩陣法求解變厚度旋轉(zhuǎn)圓盤

陳偉 管婕妤

1.引 言

旋轉(zhuǎn)圓盤是化工機(jī)械中的重要零件之一，由于這些機(jī)械以每分鐘幾千轉(zhuǎn)至幾萬轉(zhuǎn)做高速旋轉(zhuǎn)，因此這些圓盤的強(qiáng)度問題備受人們關(guān)注.旋轉(zhuǎn)圓盤中的應(yīng)力與位移分析對圓盤的強(qiáng)度設(shè)計(jì)及結(jié)構(gòu)優(yōu)化有重要的實(shí)際意義.

關(guān)于旋轉(zhuǎn)圓盤的應(yīng)力分析與位移計(jì)算問題，國內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了研究［1-4］.在文獻(xiàn)［5］中曾以一節(jié)的篇幅來討論等厚度圓盤旋轉(zhuǎn)與變厚度圓盤旋轉(zhuǎn)的解析解，但對于厚度的變化不符合某一數(shù)學(xué)規(guī)律的圓盤，便無法得到其解析解.本文利用已有的簡單盤的應(yīng)力計(jì)算系數(shù)和邊界條件，建立待定常數(shù)的傳遞矩陣，求得應(yīng)力與位移，適用于任意輪廓的變厚度圓盤，方法簡便實(shí)用.

2.求解算法

將旋轉(zhuǎn)圓盤離散成若干個等厚度圓盤，如圖1所示，這些圓盤的厚度均不相等.對于每個等厚度圓盤，其應(yīng)力分量與位移由下式給出：

圖1 圓盤的離散化

σ﹔i=-3+μ[]8ρω2r2+A璱[]2+B璱[]r2.(1)

σ│萯=-1+3μ[]8ρω2r2+A璱[]2-B璱[]r2.(2)

u璱=-1-μ2[]8Eρω2r3+A璱r[]2E(1-μ)+B璱[]Er(1+μ).(3)

將最外面的等厚度圓盤視為第一個，應(yīng)力、位移分量表示為σ﹔1，σ│1,u1以此類推，采用由外面的圓盤向中心逐個計(jì)算的方法.對于第i+1個圓盤，其內(nèi)徑是第i個圓盤的外徑，根據(jù)同一界面處總徑向應(yīng)力和位移相等可得

h﹊+1σ﹔﹊+1=h璱σ﹔璱,u﹊+1=u璱,i=1,2…N-1.（4）

整理可得

1-μ[]2A﹊+1-(1+μ)N[]Na-ia2B﹊+1=1-μ[]2A璱-(1+μ)N[]Na-ia2B璱，

h﹊+1猍]2A﹊+1+h﹊+1狽[]Na-ia2B﹊+1=h璱[]2A璱+h璱N[]Na-ia2B璱+3+μ[]8ρω2N[]Na-ia2（h﹊+1-h璱).

每個圓盤的厚度取一個平均厚度，即h璱=t璱+t﹊+1猍]2,i=1,2…N-1，靠近中心處的圓盤的厚度取為h璑=t璑.其中，

t璱=C(N+1-i)a[]N琻,i=1,2，…，N.

聯(lián)立以上方程組求解后寫成傳遞矩陣形式，即

A﹊+1B﹊+1

=1-μ[]2+h璱(1+μ)[]2h﹊+1 N[]Na-ia2(h璱-h﹊+1）(1+μ)[]h﹊+1

N[]Na-ia2(1-μ)(h璱-h﹊+1)[]4h﹊+1 h璱(1-μ)[]2h﹊+1+1+μ[]2

.

A璱B璱

+ρω2Na-ia[]N2(3+μ)(1+μ)(h﹊+1-h璱)[]8h﹊+1

ρω2Na-ia[]N4(3+μ)(1-μ)(h﹊+1-h璱)[]16h﹊+1

邊界條件為在外邊界（r=a）時徑向應(yīng)力為零，可得

│要﹔1獆﹔=a=-3+μ[]8ρω2a2+A璱[]2+B璱[]a2=0在中心處的應(yīng)力分量為有限值，故B璑=0.

3.數(shù)值算例

一實(shí)心旋轉(zhuǎn)變厚度圓盤，其厚度h=cr-1，μ=0.3，劃分單元數(shù)N=20，為方便起見，將位移和應(yīng)力寫成如下形式:

﹗=αρω2a3[]E,σ璻=βρω2a2,σθ=β1ρω2a2,

就可以計(jì)算出各點(diǎn)的u,σ璻,σθ，式中各系數(shù)α,β,β1的精確解與本文解，如表1所示，再將三組數(shù)據(jù)比較.從表1可以看出，本文的近似解完全能夠獲得實(shí)際上足夠精確的結(jié)果.ケ1 α,β,β1本文解與精確解結(jié)果對比

r[]a[]α[]β[]β1

4.結(jié) 論

本文將變厚度勻速旋轉(zhuǎn)的圓盤離散化為若干個等厚度圓盤，利用簡單圓盤的應(yīng)力計(jì)算系數(shù)和變厚度盤的邊界條件，建立待定常數(shù)之間的傳遞矩陣，進(jìn)而求得旋轉(zhuǎn)變厚度盤的應(yīng)力與位移解.從實(shí)例精確解與本文解的對比可以看出，該方法計(jì)算簡潔方便、計(jì)算精度較高、計(jì)算量小，為計(jì)算具有任意輪廓的變厚度旋轉(zhuǎn)圓盤的應(yīng)力與位移提供了較為精確的解法.