由一道高考題看圓與橢圓的類比

張博

【摘要】類比推理是近幾年高考的一個熱點內(nèi)容，既考查學(xué)生的推理論證能力，又考查學(xué)生的發(fā)散思維，進一步促進學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的提高，這樣可以使較難的題目迎刃而解.本文通過一道高考題來看解析幾何中圓與橢圓性質(zhì)的類比.

【關(guān)鍵詞】圓;橢圓;類比推理

近幾年江蘇省高考數(shù)學(xué)在解析幾何方面的考查基本上堅持從圓與橢圓的性質(zhì)入手，本文就圓與橢圓有關(guān)的性質(zhì)類比試舉幾例與同學(xué)們共賞.

一、高考賞析

（江蘇2011高考第18題（3））如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，MN分別是橢圓x2[]4+y2[]2=1的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P,A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B.設(shè)直線PA的斜率為k.對任意的k>0，求證：PA⊥PB.

證明 設(shè)P(x1,y1）,〣（x2,獃2),則x1>0,x2>0，x1≠x2,A(-x1,-y1),〤(x1,0).

設(shè)直線PB,AB的斜率分別為k1,k2，因為C在直線AB上，

ニ以k2=0-(-y1)[]x1-(-x1)=y1[]2x1=k[]2，

ゴ傭鴎1k+1=2k1k2+1=2y2-y1[]x2-x1·y2-(-y1)[]x2-(-x1)+1=2y22-2y21[]x22-x21+1=(x22+2y22)-(x21+2y21)[]x22-x21=4-4[]x22-x21=0，

因此k1k=-1，所以㏄A⊥PB.

點評 本題利用橢圓的性質(zhì)使得過程較為簡潔，實際上本題中橢圓具有如下性質(zhì)：k〣A·k〣P=-1[]2，請同學(xué)們思考橢圓方程的a2,b2與直線BA,BP斜率乘積有何聯(lián)系？是如何想到的呢？這是一種巧合嗎？下面我們帶著這些問題作進一步探究.

二、類比探究

唯物辯證法告訴我們：“任何事物的存在都不是孤立的，它必與其他事物有著必然的聯(lián)系.”由平面幾何圓的性質(zhì)我們知道：（1）圓的直徑所對的圓周角為直角，即圓上任意一點（除直徑兩端點外）與圓直徑兩端點的連線所在直線的斜率（設(shè)斜率存在）之積為定值-1.類比到橢圓能否得到：橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一點與經(jīng)過橢圓中心的弦的兩個端點（除這兩點外）的連線斜率（設(shè)斜率存在）之積為定值呢？

解析 設(shè)A(x1,y1),P(x0,y0),則x1≠x0，B(-x1,-y1).

設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.

因為點A,P在橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上，

所以y21=b2-b2x21[]a2，y20=b2-b2x20[]a2.

從而k1·k2=y0-y1[]x0-x1·y0-(-y1)[]x0-(-x1)=y20-y21[]x20-x21=b2-b2x20[]a2-b2-b2x21[]a2[]x20-x21=-b2[]a2.

結(jié)論1 橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一點與經(jīng)過橢圓中心的弦兩個端點（除這兩點外）的連線斜率（設(shè)斜率存在）之積為定值-b2[]a2.

三、探究延伸

圓與橢圓中是否還存在其他類似的結(jié)論，下面將圓中的類似性質(zhì)類比到橢圓中，再進行探究.

（2）圓中：平分弦的直徑垂直于弦.類比橢圓中：過橢圓中心平分橢圓弦的直線與弦所在直線的斜率（設(shè)斜率存在）之積是否為定值呢？

解析 設(shè)A(x1,y1），B（x2,y2)，(x1≠x2,y1≠y2),中點㏄(x0,獃0).

因為點A,B在橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)即b2x2+a2y2=a2b2上,

所以b2x21+a2y21=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2.

兩式相減得：

゜2(x1+獂2)(x1-x2)+a2(y1+y2）（y1-y2)=0,

所以k〢B=y1-y2[]x1-x2=-b2[]a2·x1+x2[]y1+y2=-b2[]a2·1[]k㎡P.ゼ磌〢B·k㎡P=-b2[]a2.

結(jié)論2 過橢圓中心平分橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)弦的直線的斜率與弦所在直線的斜率（設(shè)斜率存在）之積是定值-b2[]a2.

ィ3）圓中：過切點的直徑垂直于圓的切線.類比橢圓中：橢圓上任一點與橢圓中心的連線的斜率與該點處切線的斜率（設(shè)斜率存在）之積是否為一定值呢？

先看蘇教版數(shù)學(xué)教材必修2第105頁第7題：已知圓C的方程是x2+y2=r2，求證：經(jīng)過圓C上一點㎝(x0,獃0)的切線方程是﹛0x+獃0y=r2.類比到橢圓我們能得到：過橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一點M(x0,y0)的切線方程是x0x[]a2+y0y[]b2=1.（請同學(xué)們自行完成，提示應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法）

解析 設(shè)橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一點M(x0,y0)，由上述結(jié)論可知：以點M為切點的切線斜率為k=-b2x0[]a2y0，又k㎡M=y0[]x0，所以k·k㎡M=-b2x0[]a2y0·y0[]x0=-b2[]a2.

結(jié)論3 橢圓x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一點與橢圓中心的連線所在直線的斜率與該點處切線的斜率（設(shè)斜率存在）之積是定值-b2[]a2.把圓中的性質(zhì)類比到橢圓中，在中學(xué)數(shù)學(xué)有著廣泛應(yīng)用，由于其性質(zhì)和圓類似，所以應(yīng)用十分方便.有興趣的同學(xué)可以嘗試能否把上述結(jié)論類比到雙曲線和拋物線中呢？

四、創(chuàng)新賞析

如圖,設(shè)點P是橢圓E:x2[]4+y2=1上的任意一點(異于左、右頂點A,B).設(shè)直線PA,PB分別交直線l:x=10[]3與點M,N,求證:㏄N⊥狟M.

證明 設(shè)P(x0,y0),由已知A(-2,0)，B(2,0),

設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k2.

因為點P在橢圓x2[]4+y2=1上，

所以，y20=1-x20[]4.

從而k1·k2=y0-0[]x0-(-2)·y0-0[]x0-2=y20[]x20-4=1-x20[]4[]x20-4=-1[]4.

直線PA的方程為y=k1(x+2)，令x=10[]3，得M10[]3,16k1[]3.

所以k〣M·k2=16k1[]3-0[]10[]3-2·k2=4k1·k2=-1，

即㏄N⊥狟M.

用類比的觀點學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可使分散的知識得到集中，孤立的知識得到統(tǒng)一，這對于我們構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)有著重要意義.

【參考文獻】

吳玉梅.如何使得類比推理的結(jié)論更加合理.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（17）.