滲流網(wǎng)絡(luò)中馬爾科夫過程的研究

王亞娟

【摘要】本文主要研究了玓琩上伯努利滲流開簇和網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)行為，得到了大數(shù)定理和大偏差定理等極限理論.由于不能直接在滲流開簇上定義馬爾科夫過程，故本文在無序的滲流網(wǎng)絡(luò)中定義了馬爾科夫過程.并在此基礎(chǔ)上研究了滲流網(wǎng)絡(luò)中的馬爾科夫鏈大偏差理論，并給出了大偏差定理的速率函數(shù)的顯示表達.

【關(guān)鍵詞】滲流網(wǎng)絡(luò);馬爾科夫過程;極限定理オ

一、邊滲流與點滲流

1.什么是滲流

滲流是許多實際問題的抽象，比如，水在有孔介質(zhì)中的逾滲、火勢的蔓延等都可以用滲流模型來描述，他們關(guān)心的是在給定空間上一些隨機分布對象的連通性問題，考慮二維正方形網(wǎng)格上的滲流問題，我們可以以某個概率p隨機地占據(jù)網(wǎng)格上的點或邊，當兩個被占據(jù)的點或邊相接觸時，我們就稱其為連通的，互相連通在一起的所有點或邊的集合稱為連通集合.很顯然地，當概率p較小時，網(wǎng)格上只會有一些孤立的小的集合，而當p較大時(極限情況下p=1)，則會形成連通網(wǎng)格邊界的無限大集合，研究發(fā)現(xiàn)，無限大集合的出現(xiàn)是一個典型的連續(xù)相變問題，對無限大的網(wǎng)格，存在著一個臨界滲流概率p璫.當pp璫，則會存在一個無限大集合，網(wǎng)格是可以滲流的.

2.滲流的數(shù)學(xué)模型

我們用數(shù)學(xué)語言來闡述究竟什么是滲流，考慮圖G=(V,E)，V為頂點集，E為其所有邊所構(gòu)成的集合，設(shè)所有邊獨立地以概率p開通，1-p閉合，則所有開邊構(gòu)成G的一個隨機子圖.上面的問題歸結(jié)為在這個隨機子圖中是否存在一條由開邊構(gòu)成的連接中央點和邊緣的連通分支，圖G的一條路是指G的一個頂點序列:v1，v2，…，使得對所有的i≥1，v璱和v﹊+1在G中相鄰.一條路稱為是開路，如果構(gòu)成它的所有邊{v璱，v﹊+1獇都是開的.用開路相連的點組成的連通集合稱為開簇.假設(shè)A，B糣，則A蹷表示存在開路連接A中某個頂點和B中的某個頂點.通常如果記號不會產(chǎn)生混淆，以u躹代表事件{u}躿v}.包含頂點v的開簇C(v)是所有可以被開路與v連接的頂點全體.即

C(v)={u∈v:u躹}.

假設(shè)G是無限圖，以O(shè)代替中央點，以P璸表示相應(yīng)的概率測度，滲流理論的一個中心問題就是考慮滲流概率

θ（p）=P璸{0堋迃=P璸{|C（0）|=∞}.

這就是獺ammersley［1］等人最早研究的邊滲流模型，與邊滲流相對應(yīng)的是點滲流，即所有的邊是確定開通的，但點卻獨立地開或閉分別以相應(yīng)的概率p或1-p.一個開路此時指其上的所有點都是開的.

二、滲流網(wǎng)絡(luò)上的馬爾科夫鏈

1.引 言

不論是Haggstrom研究的Dac模型還是隨機著色模型［2］，其共同點都是將隨機過程定義在滲流開簇上，且同一開簇上個體的行為是一致的.眾所周知，馬爾科夫過程是隨機過程理論中具有良好性質(zhì)的隨機模型，可以用來刻畫很多現(xiàn)實模型，但是，如何在滲流開簇上來定義馬爾科夫過程呢?到目前為止，我們對滲流開簇的幾何形狀還知之甚少，滲流開簇的分布也是雜亂無章的，定義馬爾科夫過程，必然要有時間或空間的次序. 本文，我們擯棄以往直接在滲流開簇上定義過程的方法，而是按照距離原點的遠近來重新劃分滲流網(wǎng)絡(luò)中的頂點，將格點B璶分劃為Γ0,Γ1,…,Γ璶相應(yīng)于序列Γ璶,n≥0，我們定義一個齊次馬爾科夫鏈，使得在同一Γ璳上的個體的行為是一致的.因而從某種程度上來說，這樣所構(gòu)造的模型比獶ac模型更一般化.

2.主要結(jié)果

設(shè){X璶,n≥0}是取值于狀態(tài)空間S={1，2，…，m}的遍歷鏈，P=(p﹊j)﹎×m是其不可約轉(zhuǎn)移矩陣，π=(π（1）,π（2）,…，π（m）)是馬爾科夫鏈{X璶,n≥0}的平穩(wěn)分布.設(shè)玃﹊0和E﹊0分別是概率分布和數(shù)學(xué)期望，這里P﹊0被定義為

P﹊0（A）=А篇﹊∈AP﹊0i,P（玐0=i0）=1.

定理1 設(shè)μ=А篇琺﹌=1Иπ(k)f(k)和a>μ，則在條件概率測度玃0意義下，對幾乎所有的ω∈Ω0，┆玪im猲→∞1[]n玪ogP﹊0(S璶≥b璶a)=-I(a).

這里，I(a)=玸up珄(ac(p)δ-А要10И玪ogρ(δc(p)玠玿┆玠-1玠玿}(δ>0)，

且ρ(x)表示矩陣P(x)=(p﹊j猠﹛f(j))﹎×m的玃erron睩robenius特征值，x∈R是實數(shù).

定理2 設(shè)S璶=А篇琻﹌=0Е錨璳f(X璳),則在條件概率測度P0意義下，對幾乎所有的│亍濕Ω0，當n→∞時，我們有

S璶-ES璶[]Var(S璶)→N(0,1).

這里N(0,1)表示標準正態(tài)分布.

由定理1可知，速率函數(shù)I(a)是與滲流密度參數(shù)ρ有關(guān)的，且定理1的結(jié)論可以推廣到更一般的形式，不必拘泥于滲流環(huán)境下，如果存在參數(shù)γ>0和a≥1以及兩個正實數(shù)序列{b璶,n≥1}和{γn,n≥1}，使得當n→∞時，有

b璶~n琣,γ璶~n゛-1

成立，則對于1[]b璶А苙[]k=1Е錨璳f(X璳)

的大偏差，我們同理有它的速率函數(shù)

I(a)=玸up珄(yγδ-А要10И玪ogρ(δ)γx゛-1玠玿}(δ>0).

三、結(jié)束語

對于滲流網(wǎng)絡(luò)上的馬爾科夫鏈，我們研究了其大偏差定理，豐富了大偏差理論.一般來說，經(jīng)典的大偏差理論關(guān)心的是獨立隨機變量序列和其前n項的算術(shù)平均，而我們則研究了形如b璶/S璶規(guī)范和的大偏差定理，這是對經(jīng)典大偏差理論的充實.此外，我們還給出了一類非齊次馬爾科夫鏈的大偏差理論和其速率函數(shù)的顯示表達.オ

【參考文獻】オ

［1］Broadbent,S.R.and Hammersley,J.M.Percolation processes［M］.Cambridge Philos.Soc.53 629-645,1957.

［2］Haggstrom,O.Coloring percolation clusters at random ［J］.Stochastic Processes Appl.96 213-242,2001.