兩個二次代數(shù)曲面的3次GC¹階拼接研究及應(yīng)用

賀浩

【摘要】利用代數(shù)方法，探索了兩個二次代數(shù)曲面的3次GC1階拼接條件，得出一個充要條件的結(jié)論，并利用結(jié)論給出了實例，結(jié)合玀ATLAB軟件工具給出了球面和圓柱體沿截平面光滑拼接圖形.

【關(guān)鍵詞】代數(shù)曲面；光滑拼接；玀ATLABオ

1.引 言

設(shè)g1(x,y,z)=0,g2(x,y,z)=0分別為兩個二次曲面，1989年，獼.Warren［1］給出了一個新的幾何連續(xù)性定義：

定義1.1 設(shè)s(g1),s(g2)分別為過不可約空間曲線C的兩個代數(shù)曲面，關(guān)于C上的GC琸連續(xù)，若存在

（1）s(g1),s(g2)于C上除有限個點外光滑；

（2）鯝,B∈C［x,y,z］于C上不恒等于0,使得Ag1,Bg2于C上的k階偏微分商相等.

隨著后來學(xué)者的研究，獹roebner基方法和吳方法的提出，國內(nèi)外學(xué)者對于代數(shù)曲面之間的拼接進入一個新的階段，有了如下的一些定理的出現(xiàn).

定理1［1］ 設(shè)二次曲面S(g璱)與截平面S(h璱)交于不可約二次曲線，i=1,2,…,n，若存在多項式f，對于S(f)分別實現(xiàn)S(h璱)處與S(g璱)處實現(xiàn)GC琸拼接，則有

f∈∩∩…∩.(1.1)

并且f有表達式：

f=u璱g璱+a璱h﹌+1璱,i=1,2,…,n.(1.2)

其中玠eg(u璱)≤玠eg(f)-玠eg(g璱).

玠eg(a璱)≤玠eg(f)-(k+1).(1.3)

若存在這樣的f，則S(f)分別與S(g璱)在S(h璱)上GC琸光滑拼接的條件就是當(dāng)u璱在S(g璱,h璱)上不恒為零.

獼.Warren給出的結(jié)論給我們提供了很好的解決方法，理論上可以求出階數(shù)很高的光滑拼接，但是由于涉及大量的計算問題，不容易處理，在實際應(yīng)用中，對其要求也很低，希望過渡曲面是一個低次的曲面，吉林大學(xué)和西南交通大學(xué)的學(xué)者［3］對在控制曲面存在的情況下的低次拼接作出了理論研究，1994年，我國數(shù)學(xué)家吳文俊先生研究了兩個軸互相垂直的管道，在3次GC1光滑拼接曲面存在的條件.廣大學(xué)者之后展開了對特殊情況下的代數(shù)曲面低次拼接條件的探求.

本文主要是對兩個二次代數(shù)曲面的3次GC1階拼接條件的探討和應(yīng)用.

2.三次拼接曲面存在的充要條件計算

現(xiàn)在我們研究建立在兩個二次代數(shù)曲面上的3次GC1光滑拼接條件，設(shè)兩個代數(shù)曲面方程為：

g璱(x,y,z)=a﹊1獂2+a﹊2獃2+a﹊3獄2+a﹊4獂y+a﹊5獃z+a﹊6獂z+a﹊7獂+a﹊8獃+a﹊9獄+a﹊0=0(i=1,2).

從定理1知道，得到的過渡曲面f滿足f∈∩.

f=m1g1+n1h21=m2g2+n2h22.（2.1）

截平面方程為：

h璱(x,y,z)=c﹊1獂+c﹊2獃+c﹊3獄+c璱=0(i=1,2).（2.2）

由式（1.3）知：

玠eg(m璱)≤玠eg(f)-玠eg(g璱)=3-2=1,玠eg(n璱)≤┆玠eg(f)-(1+1)=3-2=1.

設(shè)m璱，n璱分別為下式：

m璱(x,y,z)=m﹊1獂+m﹊2獃+m﹊3獄+m﹊4=0(i=1,2),

n璱(x,y,z)=n﹊1獂+n﹊2獃+n﹊3獄+n﹊4=0(i=1,2).（2.3）

將（2.2）（2.3）代入m璱g璱+n璱h2璱中得：

m璱g璱+n璱h2璱=(m﹊1猘﹊1+n﹊1猚2﹊1)x3+(m﹊2猘﹊2+n﹊2猚2﹊2)y3+(m﹊3猘﹊3+n﹊3猚2﹊3)z3+(m﹊1猘﹊4+m﹊2猘﹊1+2n﹊1猚﹊1猚﹊2+n﹊2猚2﹊1)x2y+(m﹊1猘﹊6+m﹊3猘﹊1+2n﹊1猚﹊1猚﹊3+n﹊3猚2﹊1)x2z+(m﹊1猘﹊2+m﹊2猘﹊4+2n﹊2猚﹊1猚﹊2+猲﹊1猚2﹊2)y2x+(m﹊2猘﹊5+m﹊3猘﹊2+2n﹊2猚﹊2猚﹊3+n﹊3猚2﹊2)y2z+(m﹊1猘﹊3+m﹊3猘﹊6+2n﹊3猚﹊1猚﹊3+n﹊1猚2﹊3)z2x+(m﹊2猘﹊3+m﹊3猘﹊5+2n﹊3猚﹊2猚﹊1+猲﹊2猚2﹊3)z2y+(m﹊1猘﹊7+m﹊2猘﹊1+2n﹊1猚﹊1猚璱+n﹊4猚2﹊1)x2+(m﹊2猘﹊8+m﹊4猘﹊2+2n﹊2猚﹊3猚璱+n﹊4猚212)y2+(m﹊3猘﹊9+m﹊2猘﹊1+2n﹊3猚﹊3猚璱+猲﹊3猚2﹊3)z2+(m﹊1猘﹊8+m﹊2猘﹊7+m﹊4猘﹊4+2n﹊1猚﹊3猚璱+2n﹊4猚﹊1猚﹊2+2n﹊2猚﹊1猚璱)xy+(m﹊2猘﹊9+m﹊3猘﹊8+m﹊4猘﹊5+2n﹊2猚﹊3猚璱+2n﹊3猚﹊3猚璱+2n﹊4猚﹊2猚﹊3)yz+(m﹊1猘﹊9+m﹊3猘﹊7+m﹊4猘﹊6+2n﹊1猚﹊3猚璱+2n﹊3猚﹊1猚璱+2n﹊4猚﹊1猚﹊3)xz+(m﹊1猘﹊5+m﹊2猘﹊6+m﹊3猘﹊4+2n﹊1猚﹊2猚﹊3+2n﹊2猚﹊1猚﹊3+2n﹊3猚﹊1猚﹊2)xyz+(m﹊1猘﹊0+m﹊4猘﹊7+n﹊1猚2璱+2n﹊4猚﹊1猚璱)x+(m﹊2猘﹊0+m﹊4猘﹊8+n﹊2猚2璱+2n﹊4猚﹊3猚璱)y+(m﹊3猘﹊0+m﹊4猘﹊9+n﹊3猚2璱+2n﹊4猚﹊3猚璱)z+m﹊4猘﹊0+n﹊4猚2璱.

由（1.2）知：m1g1+n1h21=m2g2+n2h22.要使其成立，即使上式的x,y,z為未知數(shù)的等式系數(shù)相等，故可以得到一個關(guān)于

m﹊1,m﹊2,m﹊3,m﹊4,n﹊1,n﹊2,n﹊3,n﹊4(i=1,2)的系數(shù)方程式，如下：

(m11猘11+n11猚211)-(m21猘21+n21猚221)=0，

(m12猘12+n12猚212)-(m22猘22+n22猚222)=0，

(m13猘13+n13猚213)-(m23猘23+n23猚223)=0,

(m14猘10+n14猚21)-(m24猘20+n24猚22)=0,

(m11猘14+m12猘11+2n11猚11猚12+n12猚211)-(m21猘24+m22猘21+2n21猚21猚22+n22猚221)=0.

(m11猘16+m13猘11+2n12猚11猚13+n13猚211)-(m21猘26+m23猘21+2n21猚21猚23+n23猚221)=0.

(m11猘12+m12猘14+2n12猚11猚12+n11猚212)-(m21猘22+m22猘24+2n22猚21猚22+n21猚222)=0.

(m12猘15+m13猘12+2n12猚12猚13+n13猚212)-(m22猘25+m23猘22+2n22猚22猚23+n23猚222)=0.

(m11猘13+m13猘16+2n13猚11猚13+n11猚213)-(m21猘23+m23猘26+2n23猚21猚23+n21猚223)=0.

(m12猘13+m13猘15+2n13猚12猚11+n12猚213)-(m22猘23+m23猘25+2n23猚22猚21+n22猚223)=0.

(m11猘17+m12猘11+2n11猚11猚1+n14猚211)-(m21猘17+m22猘21+2n21猚21猚2+n24猚221)=0.

(m12猘18+m14猘12+2n12猚13猚1+n14猚212)-(m22猘28+m24猘22+2n22猚23猚2+n24猚222)=0.

(m12猘18+m14猘12+2n12猚13猚1+n14猚212)-(m22猘28+m24猘22+2n22猚23猚2+n24猚222)=0.

(m13猘19+m12猘11+2n13猚13猚1+n13猚213)-(m23猘29+m22猘21+2n23猚23猚2+n23猚223)=0.

(m11猘18+m12猘17+m14猘14+2n11猚13猚1+2n14猚11猚12+2n12猚11猚1)-(m21猘28+m22猘27+m24猘24+2n21猚23猚2+2n24猚21猚22+2n22猚21猚2)=0,

(m12猘19+m13猘18+m14猘15+2n12猚13猚1+2n13猚13猚1+2n14猚12猚13)-(m22猘29+m23猘28+m24猘25+2n22猚23猚2+2n23猚23猚2+2n24猚22猚23)=0,

(m11猘19+m13猘17+m14猘16+2n11猚13猚1+2n13猚11猚1+2n14猚11猚13)-(m21猘29+m23猘27+m24猘26+2n21猚23猚2+2n23猚21猚2+2n24猚21猚23)=0,

(m11猘15+m12猘16+m13猘14+2n11猚12猚13+2n12猚11猚13+2n13猚11猚12)-(m21猘25+m22猘26+m23猘24+2n21猚22猚23+2n22猚21猚23+2n23猚21猚22)=0,

（m11猘10+m14猘17+n11猚21+2n14猚11猚1)-(m21猘20+m24猘27+n21猚22+2n24猚21猚2)=0,

（m12猘10+m14猘18+n12猚21+2n14猚13猚1)-(m22猘20+m24猘28+n22猚22+2n24猚23猚2)=0,

（m13猘10+m14猘19+n13猚21+2n14猚13猚1)-(m23猘20+m24猘29+n23猚22+2n24猚23猚2)=0.

以上得到一個關(guān)于m﹊1,m﹊2,m﹊3,m﹊4,n﹊1,n﹊2,n﹊3,n﹊4(i=1,2)這16個未知數(shù)，20個獨立方程組成的齊次線性方程組.其系數(shù)是關(guān)于g璱,h璱(i=1,2)中系數(shù)常量.設(shè)上式的系數(shù)矩陣為M，若要上式存在非零解，則M的秩小于16.

結(jié)論 兩個二次代數(shù)曲面沿平面截口的3次GC1拼接時，3次拼接曲面存在的充要條件是上述齊次線性方程組的系數(shù)組成的矩陣M的秩小于16.

3.三次拼接曲面存在的應(yīng)用

我們給出一個球面方程和一個圓柱方程：

g1(x,y,z)=x2+y2+z2-4,g2(x,y)=x2+y2-1.（3.1）

其對應(yīng)的截平面分別是：

h1=z-1,h2=z-2.（3.2）

經(jīng)過將對應(yīng)系數(shù)代入上述齊次線性方程組和（2.1），得到一個滿足三次拼接條件的一個低次曲面f(x,y,z)=-2z3+x2+y2+8z2-8z-1=0.

通過玀ATLAB軟件的計算實現(xiàn)了3次光滑拼接，如圖所示：

拼接效果圖

4.小 結(jié)

本文探討了實現(xiàn)3次GC1階拼接的充要條件，并進行了實例演示，從圖上可以看到，拼接曲面將圓柱體和球面實現(xiàn)了光滑拼接，從而說明了3次GC1階低次拼接的可取性和合理性.

ァ靜慰嘉南住開

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