淺談含參數(shù)問題求參數(shù)取值范圍的幾種方法

崔啟

通過多年的高考試卷看，求參數(shù)的取值范圍問題一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn).考生有時(shí)會感到難度較大，以至于得分不高.經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，探求了一些解決含參數(shù)問題的有效方法.敘述如下.

一、分離參數(shù)法

所謂分離參數(shù)法也就是將參數(shù)與未知量分離于表達(dá)式的兩邊，然后根據(jù)未知量的取值范圍情況決定參數(shù)的范圍.這種方法可避免分類討論的麻煩，使問題得到簡單明快的解決.

例1 已知函數(shù)g(x)=x2-ax+4=0在［2，4］有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解 ∵函數(shù)g(x)=x2-ax+4在［2，4］上有零點(diǎn)，ァ嚳匠蘥(x)=x2-ax+4=0在［2，4］有實(shí)根.

ゼ捶匠蘟=x+4[]x在［2，4］有實(shí)根.

チ頵(x)=x+4[]x，則a的取值范圍等同于函數(shù)f(x)在［2,4］上的值域.

び ∵f′(x)=1-4[]x2=(x-2)(x+2)[]x2≥0在［2，4］上恒成立，

∴f′(x)在［2，4］上單調(diào)遞增.

∴f(2)≤ゝ(x)≤f(4)，即4≤ゝ(x)≤5，∴4≤a≤5.

當(dāng)然此題還有其他的解法在此不給予說明.

二、主參換位法

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度.可把變元與參數(shù)換個(gè)位置，即把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，再結(jié)合其他知識（轉(zhuǎn)化為一次或二次函數(shù)等問題即利用構(gòu)造函數(shù)的思想），往往會取得出奇制勝的效果.

例2 若對于任意a∈(-1,1］，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于0，求x的取值范圍.

分析 此題若把它看成a的二次函數(shù)，由于a,x都要變，則函數(shù)的最小值

很難求出，思路受阻.若視a為主元，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次函數(shù)，則給解題帶來轉(zhuǎn)機(jī).

解 設(shè)g(a)=(x-2)a+x2-4x+4，把它看成關(guān)于a的直線，

由題意知，直線恒在橫軸下方.

所以g(-1)≥0,

g(1)>0.解得x<1或x=2或x≥3.

例3 若不等式2x-1>m(x2-1)對滿足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范圍.

解 設(shè)f(m)=m(x2-1)-(2x-1)，對滿足|m|≤2的m，f(m)<0恒成立，

∴f(-2)<0,

f(2)<0.∴-2（x2-1）-（2x-1)<0,

2(x2-1)-(2x-1)<0.

解得-1+7[]2

例4 對于（0，3）上的一切實(shí)數(shù)x,不等式(x-2)m<2x-1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 一般的思路是求x的表達(dá)式，利用條件求m的取值范圍.但求x的表達(dá)式時(shí)，兩邊必須除以有關(guān)m的式子，涉及對m討論，顯得麻煩.

解 若設(shè)f(x)=(x-2)m-(2x-1)=(m-2)x+(1-2m)，把它看成是關(guān)于x的直線，由題意知直線恒在x軸的下方.

所以f(0)≤0,

f(3)≤0.解得1[]2≤m≤5.

三、數(shù)形結(jié)合法

某些含參不等式恒成立問題，既不能分離參數(shù)求解，又不能主參換位轉(zhuǎn)為某個(gè)變量的一次或二次函數(shù)時(shí)，則可采用數(shù)形結(jié)合法，往往能迅速而簡捷地找到解題途徑.對于解含參不等式恒成立問題，我們可以先把不等式（或經(jīng)過變形后的不等式）兩端的式子分別看成兩個(gè)函數(shù)，且畫出兩函數(shù)的圖像，然后通過觀察兩圖像（特別是交點(diǎn)時(shí)）的位置關(guān)系，從而列出關(guān)于含參數(shù)的不等式.

例5 若不等式3x2-玪og璦x<0在x∈0,1[]3內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 由題意知：3x2<玪og璦x在x∈0,1[]3內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)y=3x2和y=玪og璦x的圖像，觀察兩函數(shù)圖像，當(dāng)x∈0,1[]3時(shí)，若a>1函數(shù)y=玪og璦x的圖像顯然在函數(shù)y=3x2圖像的下方，所以不成立；

當(dāng)0猘≥1[]27.綜上得：1>a>1[]27.

數(shù)學(xué)的深?yuàn)W復(fù)雜性在于數(shù)學(xué)問題的千變?nèi)f化，參數(shù)問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強(qiáng).這就要求我們要以變應(yīng)變，在解題過程中，要根據(jù)具體的題設(shè)條件，認(rèn)真觀察題目中不等式的結(jié)構(gòu)特征，從不同的角度、不同的方向加以分析探討，從而選擇適當(dāng)方法快速而準(zhǔn)確地解出.當(dāng)然除了以上的方法外，還有許多其他的方法，值得一提的是，各種方法之間并不是彼此孤立的.因此，系統(tǒng)地掌握參數(shù)問題的解題方法，無疑會對學(xué)生今后學(xué)習(xí)及培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題等方面有很大的幫助.