特殊化策略在解答題中的應(yīng)用

馬先鋒

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些問(wèn)題用一般法解之會(huì)花費(fèi)較多的時(shí)間，并且思考、推理、演算較為費(fèi)勁，而運(yùn)用特殊化策略則會(huì)事半功倍，甚至有意想不到的效果.由于特殊化策略具有一定的技巧性，同時(shí)缺乏嚴(yán)密的推理論證，所以一直以來(lái)我們只將它用于解決選擇題和填空題，在解答題教學(xué)中會(huì)將它淡化.本文主要談?wù)勌厥饣呗栽诮獯痤}教學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】特殊化；功效；途徑オ

我們先來(lái)看2011年高考浙江卷理科22題：

設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)2玪n玿,a∈R.

（Ⅰ）若x=玡為y=f(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a.

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈(0,3玡］恒有f(x)≤4玡2成立（注：玡為自然對(duì)數(shù)）.

以下是標(biāo)準(zhǔn)答案的解答.

答案 （Ⅰ）略

（Ⅱ）①當(dāng)0

②當(dāng)1

ゝ(3玡)=(3玡-a)2玪n(3玡)≤4玡2,

解得3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡+2玡玔]玪n(3玡).

由f′(x)=(x-a)2玪n玿+1-a[]x.

令h(x)=2玪n玿+1-a[]x，則h(1)=1-a<0，h(a)=2玪n玿a>0，

且h(3玡)=2玪n(3玡)+1-a[]3玡≥2玪n(3玡)+1-3玡+2玡玔]玪n(3玡)[]3玡=2玪n3玡-1[]3玪n(3玡)>0.

又 h(x)在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，

∴函數(shù)h(x)在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為x0，

則1

從而，當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f′(x)>0；

當(dāng)x∈(x0,a)時(shí)，f′(x)>a；

當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

即f(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x0,a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.所以要使ゝ(x)≤4玡2對(duì)x∈(1,3玡］恒成立，只要f(x0)=(x0-a)2玪n玿0≤4玡2,(1)

f(3玡)=(3玡-a)2玪n(3玡)≤4玡2,(2)成立.

h(x0)=2玪n玿0+1-a[]x0=0，知a=2玪n玿0+x0.（3）

將（3）代入（1），得4x20玪n3x0≤4玡2，又x0>1，注意到函數(shù)x2玪n3玿在［1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，故1

再由（3）以及函數(shù)2x玪n玿+x在（1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，可得1

由（2）解得，3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡+2玡玔]玪n(3玡).

∴3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡.

綜上，a的取值范圍為3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡.

看到此解答過(guò)程，我們不禁感嘆其思路的復(fù)雜，非常人能夠做到.

下面談?wù)勎易鲞@題的一些想法：

若將不等式分離參數(shù)，化為x-2玡玔]玪n玿≤a≤x+2玡玔]玪n玿，由g(x)=x-2玡玔]玪n玿在x∈(0,3玡］單調(diào)遞增，得a≥g(3玡)=3玡-2玡玔]玪n3玡,令h(x)=x+2玡玔]玪n玿，則問(wèn)題等價(jià)于a≤h┆玬in(x)，﹉′(x)=1-玡玔]x玪n玿玪n玿, h′(x)的符號(hào)較難判斷，思路受阻.但若細(xì)心觀察，不難發(fā)現(xiàn)x=玡恰好是h′(x)的零點(diǎn)，這個(gè)零點(diǎn)對(duì)解題無(wú)關(guān)緊要的嗎？還是可以提供給我們更多的發(fā)現(xiàn)？能否以此為突破口，找到思路？由h′(x)=0，我們知道x=玡是它的極值點(diǎn)，那么是不是就是它的最大值點(diǎn)呢？這樣只需證明h′(x)單調(diào)遞增即可.而x∈(0,3玡］時(shí)，u（x）=x玪n玿玪n玿為增函數(shù)，所以h′(x)在(0,3玡］也為增函數(shù)，且h′(玡)=0，知x∈(0,玡)時(shí)，h′(x)<0，x∈(玡,3玡］時(shí)，h′(x)>0，故當(dāng)﹛=玡時(shí)，h(x)取極小值即最小值h(玡)=3玡.所以a≤3玡，所以a的取值范圍為3玡-2玡玔]玪n(3玡)≤a≤3玡.以上的解法妙處就在于從x=玡這個(gè)特殊值入手，找到了新思路.由此可見(jiàn)，這種特殊值法如果能夠運(yùn)用恰當(dāng)，它的功效將大大加強(qiáng).想到了這樣的解法，我又在思考，解法固然漂亮，但是不是只是靈光一現(xiàn)才能發(fā)現(xiàn)，可遇而不可求的呢？若不然，哪些問(wèn)題會(huì)想到用特殊化策略去解題？

一、特殊化策略的定義

特殊化策略,就是根據(jù)問(wèn)題所給的全部信息,通過(guò)觀察分析,選取包含在問(wèn)題中的某個(gè)特殊值,或某個(gè)特殊情形,得到并通過(guò)此特殊值（情形）的研究，給問(wèn)題的求解提供思路和幫助，進(jìn)而得到解決問(wèn)題的思想方法.這里所指的特殊化策略，它可以是數(shù)，也可以是特例、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊點(diǎn)等等.個(gè)性孕育在共性之中.人們總是首先認(rèn)識(shí)了許多不同事物的特殊屬性，然后才有可能更進(jìn)一步地抽象、概括、歸納出各種事物的共同本質(zhì).特殊化策略，正是特殊和一般的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的靈活運(yùn)用.它生動(dòng)地體現(xiàn)了認(rèn)識(shí)過(guò)程中以退為進(jìn)(退是為了更好地進(jìn))的思想方法.

二、特殊化策略的思維過(guò)程

特殊化策略的思維過(guò)程，一般有下面的兩種順序表示：

1.問(wèn)題的一般值（情形）→特殊值（情形）→特殊值（情形）的解決→問(wèn)題的解決

解析 我們拿到一個(gè)一般問(wèn)題，當(dāng)很難入手時(shí)或常規(guī)方法較麻煩時(shí)，先將其特殊化處理，尋求出特殊化得到的結(jié)論或得到新發(fā)現(xiàn)，再通過(guò)類比、歸納，得到一般性問(wèn)題的解決.

2.問(wèn)題思路受阻→發(fā)現(xiàn)特殊值（情形）→以特殊值（情形）找到思路→問(wèn)題的解決

某些復(fù)雜的問(wèn)題，我們一般法處理會(huì)很麻煩或難以進(jìn)行，這時(shí)看到存在的一個(gè)特殊值（情形），并以此為突破口，找到特殊值（情形）對(duì)整個(gè)問(wèn)題的解決的聯(lián)系，從而找出問(wèn)題的解決思路.

三、特殊化策略在解答題中應(yīng)用的類型

根據(jù)特殊與一般之間的辯證關(guān)系，特殊寓于一般之中，但有別于一般.特殊有一般的共性，但有其個(gè)性.而我們用特殊化策略就是要用特殊的情況來(lái)代替一般的情況，這樣就要求我們?cè)趯で筇厥庵捣ㄇ蠼鈺r(shí)既要用好它的個(gè)性，更要用它包含在一般性問(wèn)題中的共性來(lái)解題.一般來(lái)說(shuō)，我們用特殊化策略應(yīng)用到解答題中，主要有以下五種類型：

1.用特殊值探求值，再論證完備性

波利亞說(shuō)：“我們可從一個(gè)命題的極端情形來(lái)證實(shí)它存在的可能性”.（例外證明規(guī)律）我們高中數(shù)學(xué)中的有些題，在用一般法解出答案過(guò)程比較費(fèi)時(shí)，若用特殊值直接求出值，再證明它的完備性，就會(huì)減少化簡(jiǎn)變形的過(guò)程.

例1 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=--2瑇+b[]2﹛+1+a是奇函數(shù)，求a,b的值.

此題用常規(guī)思路由f(-x)=-f(x)解關(guān)于x的恒等式，過(guò)程較煩.

若取特殊值，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得

f(0)=0，即-1+b[]2+a=0，解得b=1，ゴ傭有f(x)=-2瑇+1[]2﹛+1+a.

又 由f(-1)=-f(1)知，-1[]2+1[]1+a=--2+1[]1+a，解得゛=2.

ァ鄁(x)=-2瑇+1[]2(2瑇+2).再檢驗(yàn)完備性，f(-x)=-2-x+1[]2(2-x+1)=-1+2瑇[]2(1+2瑇)=-f(x)，

故結(jié)論成立.過(guò)程要簡(jiǎn)化得多.

2.用特殊值探求結(jié)論是否成立

對(duì)于某些探索性問(wèn)題，如果直接從一般情況去處理，會(huì)很難得到答案.但如果從特殊情況入手，可能很快就能得出結(jié)論是否成立.這時(shí)我們可以根據(jù)特殊與一般的關(guān)系，若結(jié)論不成立，則一般情況一定不成立，即問(wèn)題得以解決；若此結(jié)論成立，我們可以再對(duì)一般情況進(jìn)行證明.

例2 設(shè)f(x)滿足f(x1)+f(x2)=2fx1+x2[]2fx1-x2[]2，且ゝπ玔]2=0，試問(wèn)f(x)是否為周期函數(shù)？并證明你的結(jié)論.

分析 由題設(shè)條件，聯(lián)想余弦函數(shù)的性質(zhì)，與函數(shù)y=玞os玿類比，可猜想f(x)為周期函數(shù)，且周期為2π.對(duì)猜想的結(jié)論的正確性需進(jìn)一步論證.

證明 對(duì)任意實(shí)數(shù)x，由題設(shè)有

f(x+π)+f(x)=2fπ玔]2+x猣π玔]2=0，

∴f(x+π)=-f(x)，

從而有f(x+2π)=f［f(x+π)+π］=-f(x+π)=f(x)，

∴f(x)是以2π為周期的周期函數(shù).

評(píng)析 這是一道結(jié)論探索性問(wèn)題.通過(guò)聯(lián)想、類比，猜測(cè)出結(jié)論，然后進(jìn)行論證.

3.用特殊值探求解題思路

“善于‘退足夠地‘退.‘退到最原始而不失去重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”(華羅庚語(yǔ))對(duì)于那些解題思路不易被發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，可先解決簡(jiǎn)單的特例，充分挖掘、提煉其解決過(guò)程的本質(zhì)內(nèi)涵，只要對(duì)特例看透了，鉆研深刻，復(fù)雜問(wèn)題便迎刃而解.

例3 試求平面上n條直線最多能把平面分成多少塊區(qū)域？

分析 由“最多”可假定這n條直線兩兩相交，且任何三條直線不交于一點(diǎn).

設(shè)n條直線最多把平面分成的區(qū)域數(shù)為f(n)，則f(1)=1，f(2)=4，f(3)=7，歸納：f(2)=f(1)+2，f(3)=f(2)+3.

為什么f(2)比f(wàn)(1)多2塊?為什么f(3)比f(wàn)(2)多3塊?

通過(guò)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的回答，我們能從中悟出：當(dāng)平面內(nèi)增加一條直線l璶時(shí)，直線l璶與前n-1條直線共有n-1個(gè)交點(diǎn)，這n-1個(gè)交點(diǎn)，把l璶分成n段，而每一段把它所在的平面塊一分為二即增加一塊，共增加n塊，即得遞推關(guān)系：

f(1)=2,n=1,

f(n)=f(n-1)+n,n≥2,

由此遞推關(guān)系，得

f(n)=f(1)+［f(2)-f(1)］+［f(3)-f(2)］+…+［f(n)-猣(n-1)］=2+2+3+…+n=n2+n+1[]2.這個(gè)解法是完全可靠的，不必再加證明.

4.用特殊值證明否定性的命題

根據(jù)一般與特殊的關(guān)系，一般成立特殊必成立；反之，若特殊不成立，則一般必不成立.故在證明一些否定性命題或否定命題的結(jié)論時(shí)，?？煽紤]用特殊值法.

例4 設(shè){a璶},{b璶}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，ヽ璶=猘璶+b璶，證明：{c璶}不是等比數(shù)列.

證明 設(shè){a璶},{b璶}的公比分別為q1,q2（q1≠q2）,欲證數(shù)列{c璶}不是等比數(shù)列，只需證明c1,c2,c3不成等比數(shù)列即可.

由c22-c1c3=(a2+b2)2-(a1+b1)(a3+b3)=(a1q1+b1q2)2-(a1+b1)(a1q21+b1q22)=…=-a1b1(q1-q2)2≠0.

ス蔯1,c2,c3不成等比數(shù)列，所以{c璶}不是等比數(shù)列.

5.用特殊值發(fā)現(xiàn)新思路

“極端情形具有啟發(fā)性.”(波利亞語(yǔ))有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，在常規(guī)方法較難求解或非常復(fù)雜的情況的時(shí)候，若發(fā)現(xiàn)所求對(duì)象中的某些特征，并應(yīng)用這些特征來(lái)啟發(fā)新思路，可能會(huì)給解題帶來(lái)意想不到的效果.例如本文開(kāi)頭所舉的２０１１年高考數(shù)學(xué)浙江卷理２２題，就屬于這種類型.

當(dāng)然，在用特殊值法解決解答題時(shí)還要注意以下幾點(diǎn)：（1）前提：所取的特殊值應(yīng)該滿足題設(shè)條件.（2）作用：所取的特殊值能使解答題的求解過(guò)程簡(jiǎn)化或提供幫助和思路.（3）方法：用所取的特殊值去找到一般情況的求解思路，或用所取的特殊值為問(wèn)題的解決發(fā)現(xiàn)新思路.

另外，在解答題中用特殊值法我們主要的目的是通過(guò)研究特殊值，找到一般值解決的突破口.所以在解題教學(xué)中既要培養(yǎng)這樣的意識(shí)，但必須要理清特殊與一般之間的辯證關(guān)系，防止用特殊值代替一般值來(lái)解答，同時(shí)也要避免在解題中走極端，做題總是去考慮特殊情形，而忽略通性通法的掌握.但解題還是要以常規(guī)方法作為解題的基本手段和鋪墊，熟悉和理解能用特殊化策略解題的類型，在通性通法撐握的前提下，追求更為快速簡(jiǎn)便的特殊化值法解題.

當(dāng)然特殊化策略作為一種常見(jiàn)思想方法，它在解答題的應(yīng)用可能還不止這些.但我們?cè)跀?shù)學(xué)解答題討論與研究中，若能根據(jù)題型運(yùn)用特殊化策略，能從問(wèn)題的特殊情形出發(fā)，常能起到啟迪思維、簡(jiǎn)化過(guò)程、優(yōu)化步驟、去偽存真、培養(yǎng)能力之功效.