常見帶根式的函數(shù)最值的解法

錢健

【摘要】求函數(shù)最值的方法很多，特別是帶根式的函數(shù)最值問題更要講究解法，其中的關(guān)鍵是如何巧妙靈活地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.

【關(guān)鍵詞】根式函數(shù);最值;等價轉(zhuǎn)化

眾所周知，求函數(shù)最值是高中數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，其中有一種題型值得我們注意，那就是帶根式的函數(shù)最值問題，由于這種題型特殊的結(jié)構(gòu)，所以我們在解題過程中要注意充分利用式子的特征，巧妙靈活地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將不熟悉的變成熟悉的，將抽象的變成具體的，化腐朽為神奇.本文就此作一點探討，供大家參考.

1.單調(diào)性

例1 求函數(shù)f(x)=x+1+x-1的最小值.

解析 函數(shù)定義域為［1,+∞)，利用函數(shù)單調(diào)性易見函數(shù)在x=1時有最小值2.

2.分子有理化

例2 求函數(shù)f(x)=x+1-x-1的最大值.

解析 函數(shù)定義域為［1,+∞)，巧添分母1將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)=x+1-x-1[]1，然后再分子有理化得f(x)=(x+1-x-1)(x+1+x-1)[]x+1+x-1=2[]x+1+x-1,由于分母的最小值為2,所以f(x)的最大值為2.

3.換元法

例3 求函數(shù)f(x)=x-x-1的最小值.

解析 函數(shù)定義域為［1,+∞)，令t=x-1，則x=﹖2+1,f(t)=t2-t+1(t≥0)，易知最小值為3[]4.

例4 求函數(shù)f(x)=x+1-x2的最小值、最大值.

解析 函數(shù)定義域為［-1,1］，設(shè)x=玞osα,α∈［0,π］,

則y=玞osα+1-玞os2α，

化簡得y=玞osα+玸inα=2玸inα+π玔]4,α∈［0,π］,

所以y┆玬in=-1,y┆玬ax=2.

4.平方法

例5 求函數(shù)f(x)=3-x+x-1的最大值.

解析 函數(shù)定義域為［1,3］，注意到式子的特征，將等號兩邊同時平方得y2=2+2(3-x)(x-1)=2+2-x2+4x-3,x∈［1,3］,設(shè)t=-x2+4x-3,x∈［1,3］,易知t┆玬ax=1,則y┆玬ax=2.

5.不等式法

例6 求函數(shù)f(x)=3-x+x-1的最大值.

解析 函數(shù)定義域為［1,3］，可以利用基本不等式a+b[]2≤a2+b2[]2得

3-x+x-1[]2≤(3-x)2+(x-1)2[]2=1，サ鼻醫(yī)齙眡=2時取“=”，所以y┆玬ax=2.

例7 求函數(shù)f(x)=3-x+2x-2的最大值.

解析 函數(shù)定義域為［1,3］，利用柯西不等式(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)得

(3-x+2x-2)2≤［12+(2)2］［(3-x)2+(x-1)2］=6,所以y┆玬ax=6.

6.數(shù)形結(jié)合法

例8 求函數(shù)f(x)=x2-2x+5+x2-6x+25的最小值.

解析 原函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)=(x-1)2+(0-2)2+(x-3)2+(0-4)2,可以理解為直角坐標(biāo)系中點P(x,0)到點A（1,2)與點P(x,0)到點B（3,4)的距離之和，即

y=﹟PA|+獆PB|,根據(jù)圖像特點，求出點A關(guān)于x軸的對稱點A′(1,-2)，則原函數(shù)的最小值為y┆玬in=|A′B|=(3-1)2+(4+2)2=210.

7.導(dǎo)數(shù)法

例9 求函數(shù)f(x)=x(x-3),x∈［0,2］的最小值.

解析 f′(x)=3(x-1)[]2x,y=f(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，在［0,1］上單調(diào)遞減，y┆玬in=-2.

通過上述例題，容易看出解決此類問題的關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，尋找最佳的方法.在教學(xué)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生重視對基本方法的學(xué)習(xí)和掌握，學(xué)會運用簡單的觀點分析、處理、解決問題，提高學(xué)生的解題能力.