一類四邊形問題的解題策略

顧棟明

美國數(shù)學邀請賽（AIME)試題新穎別致、內(nèi)容廣泛、靈活性強，是公認的既適應大眾學生，又不失為較好區(qū)分度考查學生能力的好題.正因為AIME的這種優(yōu)越性，其中尤以平幾題的這種命題風格，正在影響著我國的中考、高考選學內(nèi)容平幾題的命題，本文以AIME中有關特殊四邊形形式出現(xiàn)的題目為例，試談這類題的解題策略，以求對現(xiàn)實的教學有一定的借鑒意義.

一、要重視利用特殊四邊形的性質(zhì)，尤其是與題中已知與所求直接關聯(lián)的元素所擁有的性質(zhì)

例1 正方形AIME的邊長為10，等腰三角形GEM的底是EM，若△GEM與正方形AIME的公共部分的面積為80，求△GEM的底邊EM上的高.（2008年第26屆獳IME）

圖 1分析 如圖1所示，設等腰△GEM底邊上的高為h，GE和GM分別交AI于點B，C，有△GEM與正方形AIME的公共部分的面積為80，又注意到S┨菪蜝CME=S△GEM-S△GBC及AI∥EM，得到△GEM∽△GBC，故有h-10[]h=BC[]10，BC=10h-100[]h，則80=1[]2h-1[]210h-100[]h(h-10),化簡，求得﹉=25.

圖 2例2 如圖3所示，六邊形ABCDEF被分成5個菱形P,Q,R,S,T.菱形P,Q,R,S是全等的，面積都為2006,令K為菱形T的面積，已知K是正整數(shù)，試求K的所有可能值的個數(shù).（2006年第24屆獳IME）

分析 在本題中，首先想到的是要用已知四個全等的菱形面積數(shù)據(jù)去求另一菱形的面積，考慮到菱形面積的求法：一是一邊與其邊上的高乘積的一半，二是其對角線的乘積的一半，據(jù)此探索.

如圖所示，作菱形T的對角線，設Z是其交點，X，Y是菱形P和菱形T的公共頂點，Y在AB上，設YZ=x,XY=z,則2006=FX·YZ=zx,故z=2006[]x.

則K=1[]2·(2YZ)·(2XZ)=1[]2·2x·(2z2-x2)=2x2006[]x2-x2=8024-4x4.

因為8024=89，所以有89個正的x使得8024-4x4是一個正整數(shù)的平方，因此K一共有89個可能的值.

在本題求解中，充分利用了菱形各邊相等與菱形對角線互相垂直平分等性質(zhì)，如菱形AFXY中，F(xiàn)X=XY；如菱形XYWG中，YG⊥XW，且XZ=ZW，YZ=ZG.

二、要善于運用特殊四邊形的性質(zhì)，構建起關系式，并且能注意到元素間的替代與轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)解題的順暢進行

例3 如圖3，正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且△AEF是等邊三角形，另有一小正方形以B為頂點，各邊分別與ABCE的各邊平行，且有一頂點在線段AE上，若小正方形的邊長為a-b[]c，其中a，b，c均為正整數(shù)，且b不能被任何素數(shù)的平方整除，試求a+b+c的值.（2006年第24屆獳IME）

分析 此題是依賴于大正方形的邊長求小正方形的邊長，目標找出兩者的聯(lián)系.若設小正方形的邊長為x，則利用已知構建起含有x的等式，嘗試解之.

圖 3如圖所示，設小正方形為BQPO，點Q在線段AB上.設BQ=x，則QP=x，〢Q=獂玹an75°.因此1=AQ+QB=﹛（玹an75°+1）=（3+3）x，故x=1[]3+3=3-3[]6.所以a+b+c=12.

由于，我國現(xiàn)行教材關于玹an75°的值為非要求學生掌握的特殊角值，本題也可不用玹an75°的三角法求解，借助相似三角形的比例式與勾股定理關系式，建立方程求解.

或者，為避開玹an75°非特殊角值，可將等邊三角形AEF改為頂角為30°的等腰三角形（或敘述為AE，AF是∠DAB的三等分線），這時，小正方形的邊長a-b[]c形式變?yōu)閍-b[]c,試求a+b+c的值.

當然，本題也可演變?yōu)橐韵滦问剑旱冗吶切蜛BC邊長為2，等腰直角三角形DEF的頂點D在BC的中點上，邊EF平行BC，另有一小正方形GHJK的一邊與EF重合，另兩頂點K，J分別在AB，AC邊上，試求小正方形的邊長.

例4 如圖4，在長方形ABCD中，AB=12，BC=10.點E，F(xiàn)在長方形ABCD內(nèi)，且滿足BE=9,DF=8，BE∥DF，EF∥AB，直線BE與線段AD相交，線段EF的長度可表示為mn-p的形式，其中m,n,p都是正整數(shù)，且n不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除.求m+n+p.（2011年第29屆獳IME）

圖 4分析 如圖4所示，設BE與AD交于G，DF與BC交于H，EF分別交AD于M，交BC于N，過E作EK⊥AB于K，過F作FJ⊥CD于J.

因為BG∥DF，DM∥BN，有△DFM∽△GEM∽△BEN，于是，DF[]BE=DM[]BN，8[]9=DM[]BN，8+9[]9=DM+BN[]BN=CN+BN[]BN=BC[]DN，BN=9[]17BC=90[]17.在玆t△EBK中，

BK=BE2-EK2=BE2-BN2=92-90[]172=27[]1721.

同理可得，DJ=24[]1721.

所以，EF=NE+MF-MN=BK+DJ-AB=27[]1721+24[]1721-12=321-12，故有m+n+p=36.

三、要充分挖掘特殊四邊形隱含的相關性質(zhì)，其中不添置適當?shù)妮o助線，將其性質(zhì)顯性化后，搭建起已知與所求之間的橋梁，幫助解題

例5 如圖5所示，將一張長方形紙ABCD中頂點為B的一角折起來，使得頂點B與AD邊上的點B′重合，設折痕為EF，其中E點在AB邊上，F(xiàn)點在CD邊上，已知AB=8，〣E=17，CF=3，長方形ABCD的周長為n[]m，其中m,n為互素的正整數(shù)，試求m+n的值.（2004年第22屆獳IME） 圖 5

分析 注意到折疊產(chǎn)生了以EF為對稱軸的軸對稱圖形，有〣′E=狟E=17.在玆t△EAB′中，由勾股定理求得AB=15；連接BB′，有〦F⊥狟B′，作FG∥CB交AB于G，顯然有GE=17-3=14，△EGF∽△B′AB.故FG[]BA=GE[]AB′，解得〧G=70[]3.所以，長方形ABCD的周長為70[]3+25×2=290[]3，則m+n=293.

關于圖形的折疊與旋轉(zhuǎn)是近年中考題中命題概率高的一個趨向，它將靜態(tài)的平面圖形置于一定的運動變化中，在不同的對稱中，蘊含了相等、全等、垂直、平行、相似等眾多關系，考查學生的觀察、分析能力.本題的關鍵是利用軸對稱的關系，找到△EGF∽△B′AB.

本題的另一解法是：設長方形對邊AD=BC=x,B′D2+DF2=B′F2=B′C′2+C′F2=BC2+CF2,即有(x-15)2+(25-3)2=x2+32,求得x=70[]3.