關(guān)于一階微分方程各類(lèi)解法的研究

王曉玲

一、一階微分方程類(lèi)型

一個(gè)微分方程，首先應(yīng)掌握方程類(lèi)型的判別，因?yàn)椴煌?lèi)型的方程有不同的解法，同一個(gè)方程也可能屬于多種不同的類(lèi)型，同時(shí)也有多種不同的解法，我們則應(yīng)該選擇較易求解的方法.對(duì)于一階微分方程，通?？砂凑湛煞蛛x變量的方程、一階線性方程、齊次方程的順序進(jìn)行.

一階微分方程的一般形式為F(x,y,y′)=0或y′=f(x,y).

其中最基本的類(lèi)型是變量可分離的方程和一階線性方程，而齊次方程可通過(guò)變量替換也可轉(zhuǎn)化為變量可分離的方程.

二、一階微分方程變量可分離類(lèi)型解法

1.一般變量可分離方程

一般的，如果一個(gè)一階微分方程能寫(xiě)成g(y)玠珁=ゝ(x)玠玿 （1）

的形式，就是說(shuō)，能把微分方程寫(xiě)成一端只含有y的函數(shù)和玠珁，另一端只含有x的函數(shù)和玠玿，那么原方程就稱(chēng)為可分離變量的微分方程.假定方程（1）中的函數(shù)ゞ(y)和f(x)是連續(xù)的，設(shè)y=h(x)是方程（1）的解，將它代入到（1）中得到恒等式

g［h(x)］h′(x)玠玿=f(x)玠玿.

將上式兩端積分，并由y=h(x)引進(jìn)變量y，得

А襣(y)玠珁=∫f(x)玠玿.И

設(shè)G（y）及F（x）依次為g(y)和f(x)的原函數(shù)，于是有

G（y）=F(x)+C.（2）

因此，方程（1）的解滿(mǎn)足關(guān)系（2）.反之，如果y=H（x）是由關(guān)系式（2）所確定的隱函數(shù)，那么在g(y)≠0的條件下，y=H(x)也是方程（1）的解，事實(shí)上，由隱函數(shù)的求導(dǎo)法可知，當(dāng)g(y)≠0時(shí)，

H′(x)=F′(x)[]G′(y)=f(x)[]g(y).

這就表示函數(shù)y=H(x)滿(mǎn)足方程（1）.所以，如果已分離變量的方程（1）中，g(y)和f(x)是連續(xù)的，且g(y)≠0,那么（1）式兩端積分后得到的關(guān)系式（2）就用隱式給出了方程（1）的解，（2）式就叫做微分方程（1）的隱式解.又由于關(guān)系式（2）中含有任意常數(shù)，因此（2）式所確定的隱函數(shù)是方程（1）的通解，所以（2）式叫作微分方程（1）的隱式通解.

2.齊次方程

如果一階微分方程可化成玠珁[]玠玿=hy[]x的形式，那么就稱(chēng)為這樣的方程為齊次方程.

在齊次方程玠珁[]玠玿=hy[]x中，引進(jìn)新的未知數(shù)u=y[]x，就可以把它轉(zhuǎn)化為可分離變量的方程求解，然后把u代回，便得所給齊次方程的通解.

三、一階線性方程類(lèi)型的解法

方程玠珁[]玠玿+p(x)y=q(x) （3）

叫做一階線性微分方程，因?yàn)樗鼘?duì)于位置函數(shù)y及其導(dǎo)數(shù)是一次方程.如果q(x)=0,則方程稱(chēng)為齊次的；如果不等于零，則稱(chēng)為非齊次的.

1.積分因子法

將上面一階線性方程的兩邊同時(shí)乘以積分因子

u=e∫p(x)玠玿.

則上式改寫(xiě)為e∫p(x)玠玿y′=q(x)e∫p(x)玠玿.

積分便可得到通解方程為

ye∫p(x)玠玿=А要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C.

2.公式法

此方法過(guò)于固定，適用場(chǎng)合有限，有時(shí)需要自己分析處理轉(zhuǎn)換后方可應(yīng)用.根據(jù)非齊次方程的通解公式為

y=e-∫p(x)玠玿ИА要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C，

相應(yīng)的齊次方程的通解為y=Ce-∫p(x)玠玿.

將相應(yīng)的函數(shù)和數(shù)值帶入，即可得到方程的通解.

3.常數(shù)變易法

常數(shù)變易法是解一階線性方程常用的方法，先用分離變量法求相應(yīng)的齊次方程的通解為

y=Ce-∫p(x)玠玿.（4）

然后將C換成ｘ的未知函數(shù)ｕ（ｘ），即作變換

y=ue-∫p(x)玠玿В則玠珁[]玠玿=u′e-∫p(x)玠玿-up(x)e-∫p(x)玠玿.

將上式都帶入原式（3），得

u′e-∫p(x)玠玿-up(x)e-∫p(x)玠玿+p(x)ue-∫p(x)玠玿=q(x).ゼ磚′e-∫p(x)玠玿=q(x),u′=q(x)e∫p(x)玠玿.

兩端積分，得u=А要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C.

將此式代回（4）式，即得到非齊次線性方程的通解為

y=e-∫p(x)玠玿ИА要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+C.

改為兩項(xiàng)之和形式y(tǒng)=e-∫p(x)玠玿ИА要q(x)e∫p(x)玠玿И玠玿+e-∫p(x)玠玿C.

由此可知，一階非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解之和.

四、變量交換型的解法

當(dāng)一階微分方程的形式如下

玠珁[]玠玿=h(y)[]p(y)x+q(y).

則可通過(guò)改變自變量和因變量的方式來(lái)求解微分方程，交換后得

玠玿[]玠珁=p(y)[]h(y)x+q(y)[]h(y).

這可以看作以ｙ為自變量，ｘ為因變量的一階線性方程，然后再用上面介紹的方法即可求出方程的通解.

5.結(jié)束語(yǔ)

本文介紹一些一階微分方程各類(lèi)解法的研究.文章開(kāi)始我們主要介紹幾類(lèi)一階微分方程類(lèi)型，主要基本的類(lèi)型是變量可分離的方程和一階線性方程兩種，然后分別對(duì)兩種類(lèi)型方程的求解作了詳細(xì)敘述.其中變量交換型是屬于特殊類(lèi)型，不怎么常見(jiàn)但方法比較固定.希望本文對(duì)一階微分方程解法的研究，對(duì)以后人們成功解決一階微分方程問(wèn)題起到一個(gè)很大的幫助.