淺談常見(jiàn)遞推數(shù)列的類型及解法

周勇 曹建中 黃秋燕

【摘要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn),而求數(shù)列通項(xiàng)公式又是該問(wèn)題的難點(diǎn)，本文總結(jié)了高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的幾種由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的解法.

【關(guān)鍵詞】遞推數(shù)列;通項(xiàng)公式

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，雖然在教學(xué)大綱中只有12個(gè)課時(shí)，但是在高考試題卷面中約占總分的8%~11%.由于數(shù)列問(wèn)題最終歸結(jié)為對(duì)通項(xiàng)公式的研究，故數(shù)列通項(xiàng)公式的求解是數(shù)列中最基本和最重要的問(wèn)題，也是高考對(duì)數(shù)列問(wèn)題考查的熱點(diǎn)之一.近年的出題形式為先給定數(shù)列的初始項(xiàng)和數(shù)列通項(xiàng)的遞推關(guān)系式，要求解出通項(xiàng)公式.由于求解方法需要靈活的變形技巧，學(xué)生遇到此類問(wèn)題常常感到困難而無(wú)從下手.筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，以數(shù)學(xué)高考試題中涉及的數(shù)列和平時(shí)教學(xué)中所遇到的典型的數(shù)列為例，總結(jié)介紹幾種常見(jiàn)的通項(xiàng)公式的類型和解法，供讀者參考.

類型一 等差型數(shù)列:已知a1和a﹏+1-a璶=f(n)，求a璶.

解法 使用累加法（即逐項(xiàng)相加法），再使用相關(guān)公式進(jìn)行求解.即a璶=(a璶-a﹏-1)+(a﹏-1-a﹏-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).

讀者可嘗試求解以下三道難度不大的試題：

①（2008天津）已知數(shù)列{a璶}中,a1=1,a﹏+1-a璶=1[]3﹏+1(n≥1),則┆玪im猍]n→+∞a璶=.

②在數(shù)列{a璶}中,a1=1,a﹏+1=a璶+2n-1(n≥1),求a璶.

③（2008江西）在數(shù)列{a璶}中,a1=2,a﹏+1=a璶+┆玪n1+1[]n ,則a璶=.

類型二 等比型數(shù)列:已知a1和a﹏+1猍]a璶=f(n)，求a璶.

解法 使用累乘法（即逐項(xiàng)相乘法）求解，即a璶=a璶[]a﹏-1·a﹏-1猍]a﹏-2·…·a3[]a2·a2[]a1·a1(n≥2).

例1 已知a1=1，a﹏+1=2n-1[]2n+1a璶(n≥1).求a璶.

解 由a﹏+1=2n-1[]2n+1a璶(n≥1)知a﹏+1猍]a璶=2n-1[]2n+1(n≥1)，故a璶=2(n-1)-1[]2(n-1)+1·2(n-2)-1[]2(n-2)+1·…·2×2-1[]2×2+1·2×1-1[]2×1+1a1=2n-3[]2n-1·2n-5[]2n-3·…·3[]5·1[]3·1=1[]2n-1(n≥1).

類型三 線性遞推數(shù)列：已知a1和a﹏+1=pa璶+q(其中p,q為常數(shù)，且pq≠0,p≠1),求a璶.

解法 使用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為p的等比數(shù)列后再求a璶，即把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：a﹏+1-k=p(a璶-k)，可求得k=q[]1-p，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

例2 （2006重慶）在數(shù)列{a璶}中，若a1=1,a﹏+1=2a璶+3(n≥1)，求a璶.

解 由a﹏+1=2a璶+3(n≥1),設(shè)a﹏+1-k=2(a璶-k)，變形得a﹏+1=2a璶-k，與原式a﹏+1=2a璶+3對(duì)比系數(shù)可知﹌=-3，故a﹏+1+3=2(a璶+3)(n≥1)，變形為a﹏+1+3[]a璶+3=2(n≥1)，即數(shù)列{a璶+3}是首項(xiàng)為a1+3，公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知a璶+3=(a1+3)·2﹏-1=2﹏+1(n≥1)，故a璶=2﹏+1-3(n≥1) .

類型四 指數(shù)遞推數(shù)列：已知a1和a﹏+1=pa琿璶(p,q為常數(shù)且p>0,a璶>0)，求a璶.

解法 對(duì)遞推等式左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為類型三，再進(jìn)行求解.

例3 已知數(shù)列{a璶}的各項(xiàng)均為正數(shù)且滿足,a1=1,a﹏+1=4a3璶(n≥1),求a璶.

解 由a﹏+1=4a3璶對(duì)等式左右兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得玪g玜﹏+1=玪g(4a3璶)=3玪g玜璶+2玪g2,令b璶=玪g玜璶,則b﹏+1=3b璶+2玪g2(n≥1)，再使用類型三中的待定系數(shù)解法，即可解得b璶=(3﹏-1-1)玪g2，即玪g玜璶=(3﹏-1-1)玪g2，故a璶=3┆﹏-1-1(﹏≥1).

類型五 分?jǐn)?shù)遞推數(shù)列：已知a1和a﹏+1=pa璶+r[]a璶+q(p,q,r為常數(shù)且pq≠0)，求a璶.

解法 （1）當(dāng)r=0時(shí),兩邊取倒數(shù)可求出通項(xiàng).

例4 （2008陜西）已知數(shù)列{a璶}的首項(xiàng)a1=3[]5,a﹏+1=3a璶[]2a璶+1(n≥1),求{a璶}的通項(xiàng)公式.

解 由a﹏+1=3a璶[]2a璶+1,兩邊取倒數(shù)，得

1[]a﹏+1=1[]3·1[]a璶+2[]3.ナ褂么定系數(shù)法，得1[]a﹏+1-1=1[]31[]a璶-1.

故數(shù)列1[]a璶-1是以1[]a1-1為首項(xiàng),1[]3為公比的等比數(shù)列,

∴1[]a璶-1=1[]a1-1·1[]3﹏-1=2·1[]3琻,

故a璶=3琻[]3琻+2(n≥1).

（2）當(dāng)r≠0時(shí),可先轉(zhuǎn)換為上一種問(wèn)題,即消去分子中的r,再構(gòu)造成等差或等比數(shù)列求解.

例5 在數(shù)列{a璶}中,a1=2,a﹏+1=2a璶+1[]a璶+2,求a璶.

解 用待定系數(shù)法,令a﹏+1+α=p(a璶+α)[]a璶+2,對(duì)比系數(shù)法則有p-α=2,pα-2α=1葒=1,p=3或α=-1,p=1.當(dāng)α=-1,p=1時(shí),a﹏+1-1=a璶-1[]a璶+2 ,令a璶-1=b,則有b﹏+1=b璶[]b璶+3變成了上一種形式,兩邊取倒數(shù)即可求得゛﹏+1=2[]3琻-2+1(n≥1).

同樣α=1,p=3也可以求出,結(jié)果一樣.

類型六 二階遞推數(shù)列：已知a1,a2和a﹏+2=pa﹏+1+qa璶(p,q為常數(shù)且pq≠0)，求a璶.

解法 常用待定系數(shù)法將原遞推式化為a﹏+2-αa﹏+1=│(a﹏+1-sa璶)，其中α+β=p,αβ=-q，從而轉(zhuǎn)化為新數(shù)列{a﹏+1-αa璶}求解.

例6 已知數(shù)列{a璶}中,a1=1,a2=5,a﹏+2=5a﹏+1-6a璶,求a璶.

解 可設(shè)a﹏+2+α·a﹏+1=β(a﹏+1+α·a璶)，移項(xiàng)與原遞推關(guān)系式對(duì)比系數(shù)葒-α=5,

α·β=-6葒=-2,

β=3或α=-3,

β=2.

即a﹏+2-2a﹏+1=3(a﹏+1-2a璶).……(1)

或a﹏+2-3a﹏+1=2(a﹏+1-3a璶).…………(2)

由(1)知,數(shù)列{a﹏+1-2a璶}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,則a﹏+1-2a璶=3琻.………(3)

由(2)知,數(shù)列{a﹏+1-3a璶}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,則a﹏+1-3a璶=2琻.………(4)

由(3)-(4)，得,a璶=3琻-2琻.

類型七 混式遞推數(shù)列：已知a1和a﹏+1=pa璶+f(n)(p為常數(shù)且p(p-1)≠0）,求a璶.

解法 常常是兩邊同除以p﹏+1轉(zhuǎn)化為等差型數(shù)列.

例7 （2008全國(guó)改編）在數(shù)列{a璶}中，a1=1,a﹏+1=2a璶+2琻(n≥1),求{a璶}的通項(xiàng)公式.

解 由a﹏+1=2a璶+2琻兩邊同除以2﹏+1，得

a﹏+1猍]2﹏+1=a璶[]2琻+1[]2，

故數(shù)列a璶[]2琻是以a1[]21即是1[]2為首項(xiàng),1[]2為公差的等差數(shù)列,

∴a璶[]2琻=1[]2+(n-1)·1=2n-1[]2,故a璶=n·2﹏-1(n≥1).

例8 （2007天津改編）在數(shù)列{a璶}中，a1=2,a﹏+1=4a璶-3n+1(n≥1),求{a璶}的通項(xiàng)公式.

解 由a﹏+1=4a璶-3n+1兩邊同除以4﹏+1，得

a﹏+1猍]4﹏+1=゛璶[]4琻+1-3n[]4﹏+1，令b璶=a璶[]4琻 ，

則b﹏+1=b璶+1-3n[]4﹏+1，

移項(xiàng)可得b﹏+1-b璶=1-3n[]4﹏+1，由此想到等式

b璶=(b璶-b﹏-1)+(b﹏-1-b﹏-2)+…+(b2-b1)+b1=1-3(n-1)[]4琻+1-3(n-2)[]4﹏-1+…+1-3·1[]42+1[]2=n[]4琻+1[]4（這里部分求和要用到錯(cuò)位相減法），即a璶[]4琻=n[]4琻+1[]4，故゛璶=猲+4﹏-1(n≥1).

遞推數(shù)列求解數(shù)列通項(xiàng)公式的類型很多，本人只是總結(jié)了常見(jiàn)的幾種簡(jiǎn)單遞推數(shù)列的類型和解法，希望能為數(shù)列內(nèi)容的復(fù)習(xí)提供一些幫助，不足之處懇請(qǐng)大家批評(píng)指正.