例談化歸法例談化歸法

何昊 韋華全 梅述兵

【摘要】化歸方法是中學(xué)數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.把未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一類比較容易解決的問題中去，獲得原問題解答的一種手段和方法.應(yīng)用化歸方法解題常常分為兩步：第一步解決原問題的一個(gè)特殊情況.第二步將原問題化歸為特殊問題.

【關(guān)鍵詞】化歸原則；化歸方法；化歸應(yīng)用オ

一、引 言

匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎·彼得(Rosza Peter)在她的名著《無窮的玩藝》一書中寫過這樣一個(gè)有趣的事例:“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水，你應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”正確的回答是：“在水壺中放上水，點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上.”接著羅莎又提出第二個(gè)問題：“假設(shè)所有的條件都不變，只是水壺中已有了足夠的水，這時(shí)你應(yīng)該怎樣去做?”對(duì)此，人們往往回答說：“點(diǎn)燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上.”但羅莎認(rèn)為這并不是最好的回答，因?yàn)椤爸挥形锢韺W(xué)家才這樣做，而數(shù)學(xué)家則會(huì)倒去壺中的水，并且聲稱我已經(jīng)把后一問題化歸成先前的問題了”.

二、化歸的定義

“化歸”，從字面上看，可理解為轉(zhuǎn)化、歸結(jié)的意思.數(shù)學(xué)方法論中所論及的“化歸”方法是指數(shù)學(xué)家們把所要解決的原有問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個(gè)問題*，再通過問題*的求解，把解得的結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得解.這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法.

利用化歸法解決問題的過程可以簡單地用框圖表示（見右圖）.

三、化歸的應(yīng)用

1.通過條件的變換實(shí)現(xiàn)化歸

例1 大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了一個(gè)有趣的問題.書中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”

這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭,從下面數(shù)有94只腳.求籠中各有幾只雞和兔？

解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成了“獨(dú)角雞”，每只兔就變成了“雙┙磐謾.

這樣，（1）雞和兔的腳的總數(shù)就由94只變成了47只；

（2）如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1.

因此，腳的總只數(shù)47與總頭數(shù)35的差，就是兔子的只數(shù)，即47－35＝12（只）.

顯然，雞的只數(shù)就是35－12＝23（只）了.

2.通過問題的變換實(shí)現(xiàn)化歸

例2 在邊長為4的正方形內(nèi)，任意放置5個(gè)點(diǎn)，求證其中必存在兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于22.

分析 首先我們注意到距離22這個(gè)數(shù)值，它使我們聯(lián)想到邊長為2的正方形的對(duì)角線長.在邊長為2的正方形中，任意兩點(diǎn)間的距離都不大于對(duì)角線的長22.從而原問題可轉(zhuǎn)化為：證明在原條件下，至少有兩個(gè)點(diǎn)落在同一個(gè)邊長為2的正方形中.如圖，我們將邊長為4的正方形分成四個(gè)邊長為2的正方形，從而問題又轉(zhuǎn)化為：在圖中的四個(gè)邊長為2的正方形中放置5個(gè)點(diǎn)，至少有兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)正方形內(nèi)（含邊界）.而這個(gè)問題是直觀明確的，因而問題得證.

3.通過圖形變換實(shí)現(xiàn)化歸

例3 已知矩形的面積公式,求：

（1）平行四邊形的面積公式；

（2）三角形面積公式；

（3）多邊形面積公式.

分析 （1)由于掌握了矩形的面積公式,因而可以應(yīng)用割補(bǔ)法,將鰽BCD轉(zhuǎn)化為與之等級(jí)的矩形AEFD,從而得到平行四邊形的面積公式（圖（玜））.

（2）由（1）得到平行四邊形的面積公式，于是應(yīng)用拼接法，將一個(gè)與已知△FGH全等的三角形與之拼接成平行四邊形FGHK，從而得到三角形面積公式（圖（玝））.

(3）由(2）我們知道了三角形的面積公式，于是將多邊形分割為若干個(gè)三角形，各三角形的面積之和即為多邊形的面積（圖（c））.

4.通過數(shù)量關(guān)系的變換實(shí)現(xiàn)化歸

例4 已知△ABC的三邊為a，b，c，且a2+b2+ヽ2=゛b+猘c+bc，試判斷△ABC的形狀.

解 ∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,

∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc.

即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.

∴a=b，a=c，b=c.

∴△ABC為等邊三角形.

四、化歸的作用

1.化生疏為熟悉

數(shù)學(xué)的習(xí)題是海量的，沒有人可以做完所有的題目.對(duì)于碰到的那些表面上生疏的習(xí)題，我們先不要埋頭解題，而是想想可不可以運(yùn)用化歸的思想，將它們轉(zhuǎn)化為我們熟悉類型的題目，多回想，多聯(lián)系，不經(jīng)意間或許你會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).

2.化復(fù)雜為簡單

大廈，不是一夜而起，它需要用磚一塊一塊堆積起來.對(duì)于那些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，它也是由簡單的問題結(jié)合在一起產(chǎn)生的.我們可以利用化歸的思想，反其道而行，將難題抽絲剝繭，轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)簡單的問題，最終通過解答每一個(gè)簡單的小問題，從而達(dá)到解決難題的目的.

3.化抽象為直觀

抽象——數(shù)學(xué)最美的地方，正因?yàn)檫@個(gè)最美，讓很多學(xué)生苦惱不堪，甚至使學(xué)生喪失了對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛.對(duì)于那些抽象的問題，學(xué)生從內(nèi)心上就開始畏懼，更別談如何解決這些抽象的問題.然而化歸的思想應(yīng)用，可以讓我們?cè)诔橄笈c直觀之間架設(shè)了一座橋梁，將抽象化為直觀，降低解題的難度.

五、化歸方法解題的注意點(diǎn)

1.牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)是運(yùn)用化歸方法解題的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、知識(shí)結(jié)構(gòu)完整是實(shí)現(xiàn)順利化歸的基礎(chǔ).只有牢固的基礎(chǔ)知識(shí)作為依托，才可以在解題的過程中靈活地轉(zhuǎn)化，不至于思維堵塞、混亂.

2.注意化歸的等價(jià)關(guān)系，保證邏輯上的正確性

化歸包括等價(jià)化歸和非等價(jià)化歸.等價(jià)化歸要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果既是充分的又是必要的，以保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果為原題的結(jié)果.

3.注意化歸的多次性與多向性

化歸的過程往往是復(fù)雜的，主要表現(xiàn)在多次性與多向性兩方面，多次性即從原問題的化歸并不總是一步就到位的，往往需要經(jīng)過問題Ⅰ、問題Ⅱ……

結(jié) 論

化歸方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種分析問題解決問題的基本思想方法.在解題過程中，我們有意識(shí)地運(yùn)用這種思想，這對(duì)解題能力、思維能力的提高起到重要的作用但并非萬能的方法，并不是所有的問題都可以通過化歸得到解決的.化歸思想的成功應(yīng)用是以“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”為前提的.因此，我們不能停留在化歸的分析，而必須有創(chuàng)新的精神，不斷地進(jìn)行新的研究，在研究中獲得新方法、新理論.

【參考文獻(xiàn)】オ

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