新課程下高中數(shù)學解題中的化歸方法教學探析

李長偉

數(shù)學解題中的化歸思想方法就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將未知問題通過變換使之轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的數(shù)學問題，進而達到解決問題的一種方法.一般地，是將復雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題，甚至轉(zhuǎn)化為人們所熟知的具有既定解決方法和程序的問題，最終求得原問題的解決.

目前解題教學中，教師關心的往往是每個題目的各種不同方法的解答或證明，一個例題總要給好幾種解法，結(jié)果對同一問題的解法越來越多，也越來越巧，教師備課時就不再是認真地仔細鉆研教材，落實好教材中所體現(xiàn)的通用解法，而是翻閱各種復習資料、雜志去尋求巧法妙解，無形中忽視了基本技能、基本方法的訓練，削弱了對數(shù)學基本思想方法的啟迪和訓練.

一、挖掘教材中實現(xiàn)化歸方法的因素

數(shù)學思想是教材體系的靈魂，它支配著整個教材.化歸思想方法融入數(shù)學教材的基礎知識之中，并不像定義、定理、公式、法則那樣具體.由于教材邏輯體系的限制，不能完整地表達數(shù)學知識中的化歸思想方法，教師要把隱含于具體知識中的化歸思想方法明朗化、清晰化，這樣既有利于教師的教也有利于學生學習掌握.化歸方法在高中數(shù)學教材中出現(xiàn)的頻數(shù)相當大，滲透在高中階段的代數(shù)、幾何的教學中.

在立體幾何中，定義、定理及問題的解決基本體現(xiàn)、應用了化歸思想.化歸的手段常常是通過平移、旋轉(zhuǎn)、作截面、側(cè)面展開等，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的問題而加以解決.在代數(shù)中，如解方程問題，無論是無理方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程，還是分式方程，都是通過同解變形轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程后求解的；不等式的處理也是如此，把高次不等式、分式不等式、無理不等式轉(zhuǎn)化為一元一次或一元二次不等式來求解；又如復數(shù)間的運算是轉(zhuǎn)化為實數(shù)間的運算來進行的.

二、明確轉(zhuǎn)化原理，把握轉(zhuǎn)化策略

數(shù)學是一個有機整體，它的各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透，使之構(gòu)成了縱橫交錯的立體空間，我們在研究數(shù)學問題的過程中，常需要利用這些聯(lián)系對問題進行適當轉(zhuǎn)化，使之達到簡單化、熟悉化的目的.要實施轉(zhuǎn)化，首先須明確轉(zhuǎn)化的一般原理（化歸的一般模式），掌握基本的化歸思想和方法，并通過典型的問題加以鞏固和練習.

一般來說，實施化歸的一般步驟為：

①根據(jù)問題結(jié)構(gòu)，分析解決問題的難點，確定轉(zhuǎn)化目標，尋求新的問題情境.

②將問題的條件、結(jié)論等價地轉(zhuǎn)化到新的情境中（特殊情況可以進行非等價轉(zhuǎn)化）.

例 求玸in210°+玸in10°·玞os40°+玞os240°的值.

轉(zhuǎn)化一 從基本等式入手，利用和角的三角展開式，通過恒等變形求解.

化歸一（綜合法）

∵玞os40°=玞os（30°+10°）=3[]2玞os10°-1[]2玸in10°，

∴玞os40°+1[]2玸in10°=3[]2玞os10°.①

①式平方，得：玞os240°+1[]4玸in210°+玸in10°玞os40°=┆3[]4cos210°.

∴玸in210°+玸in10°玞os40°+玞os240°=3[]4.

注 這種方法運算量小，便于理解，具有一般性.

轉(zhuǎn)化二 從乘法公式、三倍角公式的變形運用出發(fā)求解.

化歸二（添分母湊式法）

由玸in3α=3玸inα-4玸in3α，玞os3α=3玞osα-4玞os3α,

得玸in3α=1[]4（3玸inα-玸in3α），玞os3α=1[]4（3玞osα-玞os3α）.

∴原式=（玸in10°-玞os40°）（玸in210°+玸in10°·玞os40°+玞os240°）[]玸in10°-玞os40°

=玸in310°-玞os340°玔]玸in10°-玞os40°=3[]4.

注 這種代數(shù)恒等變形與三角恒等變形相結(jié)合，不但起到了降冪化簡的作用，同時體現(xiàn)了數(shù)學解題美，有利于提高學生靈活運用公式的解題能力.

轉(zhuǎn)化三 考慮到玞os40°=玸in50°，又10°+50°+120°=180°，以10°,50°,120°為內(nèi)角構(gòu)造三角形，由正、余弦定理可以求解.

化歸三 設10°,50°,120°角的對邊分別為a,b,c，外接圓半徑為R，由正弦定理有：

a=2R玸in10°，b=2R玸in50°，c=2R玸in120°=3R.

由余弦定理得：

（3R）2=4R2玸in210°+4R2玸in250°-2（2R）2玸in10°·玸in50°玞os120°，

3=4玸in210°+4玞os240°+4玸in10°玞os40°.

∴玸in210°+玸in10°·玞os40°+玞os240°=3[]4.

注 此種方法數(shù)形結(jié)合，思路別開生面.

通過一題多解、觸類旁通，或一題多變、舉一反三，進行有效的變式教學既是我國數(shù)學教學的一個優(yōu)良傳統(tǒng)，也是新課程背景下化歸方法的重要途徑.

三、注意轉(zhuǎn)化的多樣性，設計合理的轉(zhuǎn)化方案

在轉(zhuǎn)化過程中，同一轉(zhuǎn)化目標的達到，往往可能采取多種轉(zhuǎn)化途徑和方法.因此研究設計合理、簡捷的轉(zhuǎn)化途徑是十分必要的，必須避免什么問題都死搬硬套，造成繁難不堪.

例3 求證：對任何矩形A，總存在一個矩形B，使得矩形A與矩形B的周長比與面積比都等于常數(shù)k(k≥1).

分析 對這個比較復雜的問題，如果僅從問題本身出發(fā)，無疑要用幾何方法來證明，如果這樣做，結(jié)果會讓人大失所望.所以該用代數(shù)方法證明.假設矩形A和B的長和寬分別為a,b及x,y，為證明滿足要求的矩形B存在，只要證明方程組x+y=k(a+b)，

xy=kab有正實數(shù)解即可.這樣實現(xiàn)了從方法的轉(zhuǎn)換到目標的轉(zhuǎn)換，使得原問題變得簡單明了.這個例子說明設計合理轉(zhuǎn)化方案的重要性，目標的轉(zhuǎn)換與方法轉(zhuǎn)換是相輔相成又互相制約的，但其目的卻是一致的，那就是通過化歸達到以簡馭繁的最終目的.