數(shù)學(xué)難題解題技巧的分類教學(xué)

李明樹

【摘要】每年初中數(shù)學(xué)中考，一般把試題分為基礎(chǔ)題、中檔題及難題.放眼中考數(shù)學(xué)幾年來的命題趨勢，不難發(fā)現(xiàn)難題的組成不過是簡單基礎(chǔ)題的組合，在其中如何更好地銜接每一個知識點是突破難題的關(guān)鍵，所以，在教學(xué)中既需要學(xué)生通過總結(jié)知識和考題思路，也要求教學(xué)隊伍對解題技巧和命題趨勢進行透徹分析，以求在中考數(shù)學(xué)中取得理想成績.

【關(guān)鍵詞】解題技巧；綜合分析；把握問題實質(zhì)オ

一、如何應(yīng)對中考數(shù)學(xué)難題

縱觀中考數(shù)學(xué)試題整體，其難點在于最后的壓軸題，在保證各個題型的基礎(chǔ)題拿分的情況下，最后的壓分題成為了考生拉開分數(shù)及檔次的關(guān)鍵題.總的來說，最后的考題既靈活又貼近知識點，就像一層窗戶紙一樣，捅破了就很容易拿分，如果在知識點上無法得到很好的分析也就沒有了突破口，徘徊在試題之外是很多考生遇到的解題瓶頸.所以，數(shù)學(xué)的難題就是把知識點匯總到一起，把這些知識點分解開來問題就變得容易了.

二、中考數(shù)學(xué)難題之實戰(zhàn)技巧

做一道題時，先按照“常規(guī)出牌”方式，就是基本的解題思路來思考，如果遇到難題，還是把題目分解開來.

如：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24 玞m,BC=26 玞m，動點M從A開始沿AD邊以1 玞m/s的速度運動，動點N從點C開始沿CB邊向B以3 玞m/s的速度運動，M，N分別從A，C同時出發(fā)，當(dāng)其中一個點到達端點時，另一點也隨之停止運動，該運動時間為t 玸，問題為：當(dāng)t分別為何值時四邊形MDNB為等腰梯形？

這道題屬于中度偏難的題型，學(xué)習(xí)成績在中等水平的學(xué)生都可以解答出來.怎樣分解這道題？首先，得了解什么是梯形及它的性質(zhì)，能使用哪些輔助線；其次，通過已知的條件作兩條高，得出兩個全等的等腰三角形和一個矩形；最后，再利用矩形的對邊相等解決這道題.

在做題時，學(xué)生要學(xué)會把同一類型的題歸為一類，逐漸形成一套自己的解題思路，學(xué)會舉一反三，這樣難題就迎刃而解了.

隨著新課改的實施，中考命題趨勢逐步削弱了對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題的單純考查，試題情境一般存在開放性、探索性、操作性(平移、旋轉(zhuǎn)、翻折)，許多問題是以發(fā)現(xiàn)、猜測和探究為主線的新式題型.下面我們談?wù)劷鼛啄曛锌嫉臒狳c問┨狻—圖形變換.

圖形變換包含平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似四大變換，近年全國各地的中考數(shù)學(xué)試題出現(xiàn)了不少有關(guān)圖形變換的試題.作為新增加的內(nèi)容，圖形與變換對于培養(yǎng)同學(xué)們空間觀念、拓展幾何的活動視野和研究途徑，都具有其他內(nèi)容無法替代的作用，因而，圖形與變換在近年來的中考數(shù)學(xué)試題中占有較大的比重.

旋轉(zhuǎn)問題要明確旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心(繞著哪個點)、旋轉(zhuǎn)方向(順時針、逆時針)、旋轉(zhuǎn)角度.除此之外，還要始終把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

1.對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.2.對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.3.旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等(旋轉(zhuǎn)前后兩圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等).旋轉(zhuǎn)問題可歸結(jié)為點的旋轉(zhuǎn)、線段的旋轉(zhuǎn)和圖形(一般為三角形)的旋轉(zhuǎn).在旋轉(zhuǎn)問題中往往將陌生問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的三角形問題去解決，即要去尋找或構(gòu)造等邊三角形、等腰直角三角形、等腰三角形等，將題目由繁化簡.

圖 1例1 如圖1，已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD邊上一點，DE=1.以點A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABE′，連接EE′，則EE′的長等于.

分析 此題是對勾股定理、等腰直角三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)綜合運用能力的考查.

∵旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，

∴由△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°后得△ABE′可知，

△ADE≌△ABE′，即AE′=AE.

∴△AE′E為等腰直角三角形.

∴AE′∶AE∶E′E=1∶1∶2，在玆t△ADE中，由勾股定理可知AE=10，故EE′=25.

三、把握綜合分析能力

數(shù)學(xué)中考試題的命題者的命題目的是考查我們初中畢業(yè)的學(xué)生對初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握情況，試題當(dāng)然都離不開初中的基礎(chǔ)知識.所謂難題，只是籠上幾層面紗，使我們不容易看到它的真面目.我們教師的任務(wù)就是教會我們的學(xué)生去揭開那些看起來神秘的面紗，把握它的真面目.

對難題進行分類專題復(fù)習(xí)時，應(yīng)該把重點放在對學(xué)生進行對數(shù)學(xué)難題跟基礎(chǔ)知識的聯(lián)系的把握能力的訓(xùn)練以及引導(dǎo)學(xué)生迅速正確分析出解題思路這一點上，并從中培養(yǎng)學(xué)生解題的直覺思維.應(yīng)當(dāng)先把難題進行分類，然后進行分類訓(xùn)練.在課堂上不必每題都要學(xué)生詳細寫出解題過程，一類題目寫一兩題就行了，其他只要求學(xué)生能較快地寫出解題思路，回去再寫出.一般可以將中考中的難題分以下幾類進行專題復(fù)習(xí)：

第一類 綜合多個知識點或需要一定解題技巧才能解的難題.

這類難題的教學(xué)關(guān)鍵要求學(xué)生運用分析和綜合的方法，運用一些數(shù)學(xué)思想和方法以及一定的解題技巧來解答.

例2 在△ABC中，點I是內(nèi)心，直線BI，CI交AC，AB于D，E.已知ID=IE.求證：∠ABC=∠BCA，或∠A=60°.

教學(xué)點撥 本題要運用分析與綜合的方法，從條件與結(jié)論兩個方向去分析.從條件分析，由ID=IE及I是內(nèi)心，可以推出△AID和△AIE是兩邊一對角對應(yīng)相等，有兩種可能：AD=AE或AD≠AE，

從這可以推得∠ADI與∠AEI的關(guān)系.從結(jié)論分析，要證明題目結(jié)論，需要找出∠ABC與∠ACB的關(guān)系，∠ADI=1[]2∠ABC+∠ACB，而∠AEI=1[]2∠ACB+∠ABC.從條件和結(jié)論兩個方面分析，只要找出∠AEI與∠ADI的關(guān)系就可以證明本題.

證明 連接AI，在△AID和△AIE中，AD與AE的大小有兩種可能情形：AD=AE，或AD≠AE.

（1）如果AD=AE，則△AID≌△AIE，有∠ADI=∠AEI.

而∠ADI=1[]2∠ABC+∠ACB，∠AEI=1[]2∠ACB+∠ABC.

ァ1[]2∠ABC+∠ACB=1[]2∠ACB+∠ABC.

即∠ABC=∠ACB.

（2）如果AD≠AE，則設(shè)AD>AE，在AD上截取AE′=AE，連接IE′,則△AIE′≌△AIE.

∴∠AE′I=∠AEI,IE′=IE=ID.

∴△IDE′為等腰三角形，

則有∠E′DI=∠DE′I.

∵∠AE′I+∠DE′I=180°，

∴∠AEI+∠AIE=180°.

∴1[]2∠ACB+∠ABC+1[]2∠ABC+∠ACB=180°.

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∴∠A=180°－120°=60°.

如果AD

第二類 開放性、探索性數(shù)學(xué)難題.

無論是開放性還是探索性的數(shù)學(xué)難題，教學(xué)重點是教會學(xué)生把握問題的關(guān)鍵.

例3 請寫出一個圖像只經(jīng)過二、三、四象限的二次函數(shù)的解析式.

教學(xué)點撥 二次函數(shù)的圖像只經(jīng)過二、三、四象限，就是不能經(jīng)過第一象限，即當(dāng)x>0時，y<0.什么樣的解析式的二次函數(shù)必有x>0時，y<0呢？這是問題的核心.

（答案：當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a，b，c都為負數(shù)時，必有x>0時，y<0，如y=-x2-2x-3.）

四、揣摩問題實質(zhì)

中考題型再新也離不開初中的基礎(chǔ)知識，所以解這類題的關(guān)鍵是從題意中找到與題目相關(guān)的基礎(chǔ)知識，然后，運用與之相關(guān)的基礎(chǔ)知識，通過分析、綜合、比較、聯(lián)想，找到解決問題的辦法.

例4 電腦獵PU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割時的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片”.現(xiàn)為了生產(chǎn)某種獵PU芯片，需長、寬都是1 玞m的正方形小硅片若干.如果晶圓片的直徑為10.05 玞m.問：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張？請說明你的方法和理由.（不計切割損耗）

教學(xué)引導(dǎo) 本題人人會入手做，但要按一定的順序切割才能得到正確答案.

方法 （1）先把10個小正方形排成一排，

看成一個長條形的矩形，這個矩形剛好能放入直徑為10.05 玞m的圓內(nèi)，如圖中矩形ABCD.

∵AB=1，BC=10，

∴對角線AC=12+102=1+100=101<10.052.

（2）在矩形ABCD的上方和下方可以分別放入9個小的正方形.

這樣新加入的兩排小正方形連同ABCD的一部分可以看成矩形EFGH，其長為9，高為3，對角線EG2=92+32=81+9=90<10.052.但新加入的這兩排小正方形不能是每排10個，因為102+32=100+9>10.052.

（3）同理，∵82+52=64+25=89<10.052，而92+52=81+25=106>10.052，所以，可以在矩形EFGH的上面和下面分別再排下8個小正方形，那么現(xiàn)在小正方形已有5層.

（4）再在原來的基礎(chǔ)上，上下再加一層，共7層，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的這兩排，每排都可以是7個但不能是8個.

∵72+72=49+49=98<10.052，而82+72=64+49=113>10.052.

（5）在7層的基礎(chǔ)上，上下再加入一層，新矩形的高可以看作是9，每排可以是4個，但不能是5個.

∵42+92=16+81=97<10.052，而52+92=25+81=106>10.052.

現(xiàn)在總共排了9層，高度達到了9，上下各剩下約0.5 玞m的空間，因為矩形ABCD的位置不能調(diào)整，故再也放不下1個小正方形了.

所以，10+2×9+2×8+2×7+2×4=66（個）.

評議 本題解題的關(guān)鍵是：①一排一排地放小正方形，②利用圓的內(nèi)接矩形的對角線就是圓的直徑的知識.

在難題的教學(xué)中，我們不能只把結(jié)論告訴學(xué)生，更重要的是要讓學(xué)生知道解題的思維方式，我們不要急于把題目的解法告訴學(xué)生，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生自己去解題.

結(jié)語 中考數(shù)學(xué)的教學(xué)關(guān)鍵在于抓住解題思路，緊跟命題趨勢，善于分析問題，把握問題實質(zhì).在眾多難題中我們不難發(fā)現(xiàn)，難題的組成離不開基礎(chǔ)知識的組合銜接，所以，掌握基礎(chǔ)知識，善于運用基礎(chǔ)知識達到舉一反三成為解開各種難題的鑰匙.很多開放性試題成為今年考試中的主流，但實質(zhì)上萬變不離其宗，其內(nèi)在貫穿的知識點也無非是平時學(xué)生們要掌握的基本要點和技巧.同時，在平時的教學(xué)中，為學(xué)生撥開云霧，引導(dǎo)學(xué)生自我分析.這樣，更有針對性，更有條理地分析問題，解決難題，使思路更明晰，考試更輕松.

【參考文獻】オ

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