2×2線性二端口網(wǎng)絡(luò)的等效變換及其應(yīng)用

饒 翔，王鐵軍，石 磊，任明煒

(1海軍工程大學電氣信息工程學院，湖北武漢430033 2江蘇大學電氣信息工程學院，江蘇鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

2×2線性二端口網(wǎng)絡(luò)在研究各類能量、信號變換裝置及其等效圖中有廣泛的應(yīng)用。在一些科技文獻中也常將電動機和發(fā)電機等機電能量轉(zhuǎn)換裝置轉(zhuǎn)化為含2×2線性二端口網(wǎng)絡(luò)來研究分析［1-2］。但一般的電工理論教科書中有關(guān)該內(nèi)容的論述較少，且內(nèi)容大多局限于論述二端口元件之間的連接關(guān)系。而關(guān)于二端元件或多端元件在2×2線性二端口網(wǎng)絡(luò)兩側(cè)平移變換的論述較少，如“高等電路”和“電路基礎(chǔ)”等課程便如此。為此，本文首先討論關(guān)于電路元件在2×2線性二端口網(wǎng)絡(luò)兩側(cè)進行移動變換的規(guī)律及其物理意義，接著通過兩個實例驗證和說明該變換方法，最后不失一般性地將得出的結(jié)論推廣至多端網(wǎng)絡(luò)元件。

我們現(xiàn)在下面給出等效變換的假設(shè)。

(1)通過變換的2×2二端口網(wǎng)絡(luò)是線性的，并且其傳輸矩陣的元素均為常數(shù)，有令

(2)連接到2×2二端口網(wǎng)絡(luò)的左、右兩側(cè)的子圖相互間沒有電的聯(lián)系(該項約束條件不能推及對于以2×2二端口網(wǎng)絡(luò)形式表示的三端網(wǎng)絡(luò))。

(3)平移變換等價條件包括:通過變換后，電路中和被變換元件相連的剩下元件的參數(shù)和工作狀態(tài)保持不變。

為清晰起見，在以下推導(dǎo)中得出的某些結(jié)論以其出現(xiàn)的先后為序編號。

1 理想電源穿過二端口網(wǎng)絡(luò)變換

圖1為參數(shù)矩陣A的線性2×2二端口網(wǎng)絡(luò)。在其左右均為二端網(wǎng)絡(luò)，一般來說它們?yōu)槿我鈴?fù)雜的非線性網(wǎng)絡(luò)并可能包含有電流源和電壓源。

圖1 理想電壓源的平移變換

上述兩式右邊部分的等效電路繪于圖1(b)中。于是，實現(xiàn)了理想電壓源穿過二端口網(wǎng)絡(luò)的左移變換。類似的方法可以得出其他電源平移變換。

理想的2×2二端口變換器和逆變器模的矩陣形式可描述如下為

考慮到式(4)，并結(jié)合理想電壓源和電流源在2×2二端口網(wǎng)絡(luò)兩側(cè)移動的規(guī)律，可以得出結(jié)論1。

［結(jié)論1］:通過變換器移動電源時，電源被變換成與它相似的電源:電壓源被變換成帶系數(shù) A11(從右側(cè)往左側(cè)移動時)和1/A11(從左側(cè)往右側(cè)移動時)的電壓源;電流源被變換成帶系數(shù)A22(從右側(cè)往左側(cè)移動時)和1/A22(從左側(cè)往右側(cè)移動時)的電流源;通過逆變器移動電源時，電源改變性質(zhì):電壓源變成帶系數(shù)A21(從右側(cè)往左側(cè)移動時)和－1/A12(從左側(cè)往右側(cè)移動時)的電流源;電流源變換成帶系數(shù)A12(從右側(cè)往左側(cè)移動時)和－1/A21(從左側(cè)往右側(cè)移動時)的電壓源。

顯然，穿過變換器和逆變器移動電源將導(dǎo)致其電壓和電流的變化，進而使阻抗變化，為了獲得一般規(guī)律宜首先研究任何線性2×2二端口網(wǎng)絡(luò)相互移動的情況。

2 線性二端口網(wǎng)絡(luò)相互移動

1)當2×2二端口網(wǎng)絡(luò)從右側(cè)往左側(cè)移

現(xiàn)在我們研究圖2(a)的情況，這里箭頭方向為2×2二端口網(wǎng)絡(luò)移動方向。該2×2二端口網(wǎng)絡(luò)傳輸矩陣用字母B標記，表示為

移動之后的參數(shù)矩陣用加撇的字母B'表示如圖2(b)所示。其它部分可能為非線性。顯然，如果B'A=AB，則滿足等價條件，由此可求得

顯然，若detA≠0時，A-1存在，上述變換成立。

圖2 2×2二端口網(wǎng)絡(luò)從右側(cè)往左移

2)當2×2二端口網(wǎng)絡(luò)從左側(cè)往右側(cè)移

若有BA'=AB，則等價條件滿足，據(jù)此可得與式(6)類似的結(jié)果:

顯然，若detB≠0時，B－1存在，上述變換成立。

從式(6)和式(7)可得出如下結(jié)論。

［結(jié)論2］若2×2二端口網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)傳輸矩陣的行列式不為零，則可穿過該2×2實現(xiàn)二端口網(wǎng)絡(luò)穿過二端口網(wǎng)絡(luò)的左右移動;如穿過變換器向左移動2×2二端口網(wǎng)絡(luò)時，其阻抗值要乘以變換系數(shù)。反之穿過變換器向右移動2×2二端口網(wǎng)絡(luò)時，也有類似的規(guī)律，但阻抗要除以變換系數(shù)。

圖3 2×2二端口網(wǎng)絡(luò)從左往右移

［結(jié)論3］穿過變換器向任意方向移動2×2二端口網(wǎng)絡(luò)時，它的電路圖變換為其對偶形式，并且對偶圖中的阻抗除以變換系數(shù)，變換為導(dǎo)納形式。

3 非線性阻抗穿過二端口網(wǎng)絡(luò)變換

方程組(9)對應(yīng)于圖4(b)。

圖4 非線性阻抗向左移動

圖中非線性元件在左邊，其伏安特性表達式為

物理本質(zhì)不同的各類能量變換裝置，若其初始電路模型適合不受約束連接的2×2二端口網(wǎng)絡(luò)表示，且它不消耗能量而只是能量轉(zhuǎn)換的工具，則對于這種類型的變換器來說滿足關(guān)系式:A22=1/A11。如理想變壓器的特性便如此［3］。

圖5 回轉(zhuǎn)器的Z參數(shù)矩陣模型

我們可以利用移動變換來分析物理本質(zhì)不同的各類能量變換裝置，并求得問題的解。為了驗證平移變換的基本理論，下面舉例來說明其變換方法。

4 等效變換的應(yīng)用實例

根據(jù)結(jié)論3移動之后，將其變換為如圖6(b)所示的兩個元件串聯(lián)連接的豎向支路。

圖6水平并聯(lián)支路左移

［例2］:繞組連接方式為Y/Y型變壓器，一相短路時情況如圖7(a)所示，試求變壓器二次側(cè)的短路電流。

忽略勵磁電流時，該問題有解析形式的解見文獻［4］。此外，在該文獻中還認為

如果條件(11)不滿足，即感應(yīng)電勢的和等于某一值≠0。則首先將穿過發(fā)電機的公共節(jié)點進行移動［3］，得到一個新的電勢系統(tǒng)，顯然該新的電勢系統(tǒng)的和為零。這個變換對電網(wǎng)電流無影響。此時的磁電等效圖如圖7(b)所示(圖中粗實線部分為等效磁路圖［5］)。Zσ2穿過右邊的回轉(zhuǎn)器移動變換后圖7(b)中最后一部分被消去，可得簡化的系統(tǒng)圖如圖7(c)所示。根據(jù)基爾霍夫定律可寫出如下形式的方程組:

這組方程表示任一節(jié)點(n或m)電流方程或任一回路(1，2，3，4 或5)電壓方程，參見圖7(c)所示。解方程組(12)可得

所得的解與參考文獻［4］中第300頁獲得的結(jié)果完全一致。但文獻［4］中采用的方法是對稱分量法，推導(dǎo)過程較為繁瑣復(fù)雜，不如本文所述方法簡單明了。

圖7 Y/Y型變壓器一相短路

5 結(jié)語

通過對含2×2線性二端口網(wǎng)絡(luò)中電路元件平移等效變換的討論，我們可以得出一些平移變換的基本結(jié)論，這些結(jié)論是對電工理論中有關(guān)內(nèi)容的歸納和總結(jié)。顯然對于元件穿過2×2二端口網(wǎng)絡(luò)移動變換所得的一些結(jié)論和方法可以推廣至元件穿過更復(fù)雜的多端網(wǎng)絡(luò)。

我們通過應(yīng)用例子可以看出:對于可以采用2×2二端口元件來描述其物理現(xiàn)象的各種能量變換裝置，可以采用移動變換的方法進行分析。例子表明，采用該方法與其他方法(如對稱分量法等)分析結(jié)果完全一致。

［1］溫熙森，邱靜，陶俊勇編著，機電系統(tǒng)動力學分析及其應(yīng)用［M］，北京:科學出版社，2003.298-301

［2］辜承林編著，機電動力系統(tǒng)分析［M］，武漢:華中科技大學出版社，2006.12-50

［3］陳崇源.高等電路［M］.武漢:武漢大學出版社，2000.438-441

［4］［蘇］С.Б.瓦修京斯基著，崔立君，杜恩田等譯.變壓器的理論與計算［M］，北京:機械工業(yè)出版社，1983.298-301

［5］饒翔，趙鏡紅，王鐵軍等，基于回轉(zhuǎn)器模型的電抗器磁電等效圖及其應(yīng)用［J］.南京:電力自動化設(shè)備，2010，30(2):76-80