關(guān)于卷積的運(yùn)算規(guī)則及存在性

王曉翔，黃 靜，梁忞飛

(合肥電子工程學(xué)院，安徽合肥 230037)

在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中，圖解法是進(jìn)行卷積運(yùn)算的常用方法，然而在很多場(chǎng)合下直接用公式計(jì)算會(huì)更加便利，最關(guān)鍵的是積分上、下限的確定。我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生通常對(duì)時(shí)限信號(hào)和因果信號(hào)卷積較為熟悉，而對(duì)于其它情況下的卷積則不盡然，或者說(shuō)沒(méi)有概括性的了解。此外，關(guān)于卷積的存在問(wèn)題書(shū)上也很少論及。本文對(duì)卷積在各種情況下的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行了歸納，并探討了卷積的存在性以及它對(duì)卷積性質(zhì)的影響，以期對(duì)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)“信號(hào)與系統(tǒng)”課程提供幫助。

1 卷積的運(yùn)算規(guī)則及存在性

1.1 常義函數(shù)卷積一定存在的情況

函數(shù)卷積的定義式為

兩常義函數(shù)f1(t)與f2(t)滿足以下兩種情形之一時(shí)，卷積一定存在［1］:①兩信號(hào)都是有始信號(hào)或有終信號(hào)或時(shí)限信號(hào);②兩信號(hào)中至少有一個(gè)是時(shí)限信號(hào)。

對(duì)于兩時(shí)限信號(hào)卷積，教科書(shū)上均有詳述，這里不再贅述。下面就其它幾種情形的卷積運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行歸納。

1)兩有始信號(hào)卷積

1.2 常義函數(shù)卷積不一定存在的情況

值得說(shuō)明的是，前述文中提到的兩常義函數(shù)卷積存在的條件(1)或(2)是充分條件而非必要條件。也就是說(shuō)，當(dāng)不滿足這兩個(gè)條件之一時(shí)，卷積可能存在也可能不存在。

兩常義函數(shù)f1(t)與f2(t)滿足以下情形之一時(shí)卷積不一定存在:①有始信號(hào)與有終信號(hào);②有始信號(hào)與無(wú)時(shí)限信號(hào);③有終信號(hào)與無(wú)時(shí)限信號(hào);④兩無(wú)時(shí)限信號(hào)。現(xiàn)就幾種在假設(shè)卷積存在的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行歸納。

1)有始信號(hào)與有終信號(hào)卷積

上式成立的前提是每項(xiàng)的卷積都存在，此時(shí)各卷積計(jì)算可按前述方法進(jìn)行。

2 卷積存在性對(duì)卷積性質(zhì)的影響

2.1 卷積的分配律

卷積的分配律為

2.2 卷積的結(jié)合律

卷積的結(jié)合律為

該式成立的條件是f1(t)、f2(t)和f3(t)中的任意兩者之間的卷積均存在［2］，否則結(jié)合律不成立。如f1(t)=1，f2(t)=δ'(t)，f3(t)=u(t)，則有

可見(jiàn)此時(shí)卷積的結(jié)合律不成立，究其原因是由于卷積f1(t)*f3(t)=1*u(t)不存在的緣故。

2.3 卷積的導(dǎo)數(shù)

卷積的導(dǎo)數(shù)是指

該式成立的條件是f1(t)*f2(t)存在。否則上式不成立。如卷積1*u(t)是不存在的，雖然卷積(1)'*u(t)=0和卷積1*u'(t)=1*δ(t)=1都存在，但是式(21)是不成立的。即:

2.4 卷積的積分

卷積的積分是指

該式成立的條件是f1(t)*f2(t)存在，而且有:［f1(t)*f2(t)］*u(t)滿足結(jié)合律［3］，否則上式不成立。如f1(t)=1，f2(t)= δ'(t)，則有:［1* δ'(t)］(－1)=0，［1］(－1)* δ'(t)不存在，但是 1* ［δ'(t)］(－1)=1*δ(t)=1，可見(jiàn)此時(shí)卷積的積分式不成立，即有

造成上述結(jié)果的原因是:雖然f1(t)*f2(t)=1*δ'(t)=0存在，但根據(jù)式(19)和式(20)可知:［f1(t)*f2(t)］*u(t)=［1* δ'(t)］*u(t)不滿足結(jié)合律。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)連續(xù)信號(hào)卷積的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行了歸納，事實(shí)上，得出的結(jié)論可以很方便地推廣到離散信號(hào)卷積中去，只需將連續(xù)變量換成離散變量、積分換成求和即可。此外，關(guān)于廣義函數(shù)卷積存在的條件，其詳盡內(nèi)容和證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。

卷積的分配律、結(jié)合律等是我們熟悉的卷積性質(zhì)，然而它們成立的條件與卷積的存在性密切相關(guān)，盲目使用會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果，這一點(diǎn)應(yīng)引起重視。

［1］李化圖.關(guān)于卷積及其存在性的探討［J］.重慶:郵電學(xué)院學(xué)報(bào)，1999(1):69-72

［2］王松林，王輝.“信號(hào)與系統(tǒng)”課程時(shí)域分析中的幾個(gè)問(wèn)題.［J］.南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2008(6):16-17

［3］劉星橋.電工電子用廣義函數(shù).北京:電子工業(yè)出版社，2000