基于空間仿射對應(yīng)點(diǎn)列的雙曲拋物面三維構(gòu)建及分析

江曉紅， 宋 彥

（中國礦業(yè)大學(xué)，江蘇 徐州 221116）

基于空間仿射對應(yīng)點(diǎn)列的雙曲拋物面三維構(gòu)建及分析

江曉紅， 宋 彥

（中國礦業(yè)大學(xué)，江蘇 徐州 221116）

利用計(jì)算機(jī)3D軟件構(gòu)建基于空間仿射對應(yīng)點(diǎn)列的雙曲拋物面。對雙曲拋物面進(jìn)行不同方向的投射，可以準(zhǔn)確得到雙曲拋物面不同方位和角度的投影圖。從這些投影圖中，可以更直觀、清楚的了解雙曲拋物面的投影特點(diǎn)。使用多個(gè)不同位置的平面對雙曲拋物面進(jìn)行截切，并通過分析、觀察截交線的變化趨勢，得出幾點(diǎn)規(guī)律性的結(jié)論。

仿射點(diǎn)列；3D造型；雙曲拋物面；截交線

由空間解析幾何可知，雙曲拋物面屬于二階直紋曲面，它有兩族直母線，每族直母線始終平行于各自的導(dǎo)平面[1-2]。從射影幾何的角度看，雙曲拋物面是由仿射點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)的連線包絡(luò)成的二次曲面[3]。空間二仿射對應(yīng)點(diǎn)列的度量性與仿射比 r，二線角 α和二線距 L有關(guān)，其中α為v1vi二交叉直線夾角，L為v1vi二交叉直線距離[4]。

在計(jì)算機(jī)虛擬三維空間中，根據(jù)上述概念及原理構(gòu)建雙曲拋物面，可以更方便和直觀地了解雙曲拋物面的投影特點(diǎn)及其截交線的變化規(guī)律。

1 仿射對應(yīng)點(diǎn)列形成的雙曲拋物面的三維構(gòu)建及其投影特點(diǎn)

利用計(jì)算機(jī)三維CAD軟件在虛擬三維空間中，建立位于兩組任意位置不相交直線上的仿射對應(yīng)點(diǎn)陣v1(Iv1, IIv1, Ⅲv1…)、v2(Iv2, IIv2, Ⅲv2…)、vi(Ivi, IIvi, Ⅲvi…)…以及u1(Iu1, IIu1, Ⅲu1…)、u2(Iu2, IIu2, Ⅲu2…)、uj(Iuj, IIuj, Ⅲuj…)…，得到兩族直母線V、U，并由兩族直母線V、U進(jìn)行掃略，得到雙曲拋物面A，如圖1(a)。v1與vi兩仿射對應(yīng)點(diǎn)列仿射比r，二線角α和二線距L，如圖1(b)所示。

圖1 三維雙曲拋物面及其投影

圖1(b)是由雙曲拋物面A得到的一組三面投影圖。這里使同族各仿射對應(yīng)點(diǎn)列水平投影同向，因此，可直接確定兩個(gè)導(dǎo)平面的方向。令平行于V族母線的導(dǎo)平面為P、平行于U族母線的導(dǎo)平面為Q，導(dǎo)平面P、Q交線為N。導(dǎo)平面P、Q均垂直于H面，因此，H面投影中反映兩導(dǎo)平面P、Q夾角θ的實(shí)形。導(dǎo)平面P、Q交線N為鉛垂線。

圖2 雙曲拋物面投影的特殊形式

圖3是由雙曲拋物面A得到的又一組三面投

圖3 雙曲拋物面投影的一般形式

V面及W面投影中，V族及U族各仿射對應(yīng)點(diǎn)列均不同向，V族及U族對應(yīng)點(diǎn)連線的投影包絡(luò)成拋物線。圖1(b)中，雙曲拋物面A的H 面投影為特殊形式，V面及W面投影為一般形式。

圖2是由雙曲拋物面A得到的另外一組三面投影圖。這里使V族各仿射對應(yīng)點(diǎn)列v1, v2, …, vi以及U族各仿射對應(yīng)點(diǎn)列u1, u2, …, ui在H 面上投影分別同向，并使U同族各仿射對應(yīng)點(diǎn)列u1, u2, …, ui平行于V面，導(dǎo)平面P為鉛垂面、Q為正平面，兩導(dǎo)平面P、Q夾角θ反映實(shí)形。V面投影為雙曲拋物面投影的一般形式，但能真實(shí)反映各仿射對應(yīng)點(diǎn)列u1, u2, …, ui兩兩之間的仿射比r和二線角α的大小。W面及H1面為雙曲拋物面A投影的另一種特殊形式，其中U族各仿射對應(yīng)點(diǎn)列u1, u2,…, ui彼此平行，而V族各仿射對應(yīng)點(diǎn)列v1, v2, …, vi交于一點(diǎn)。影圖，是雙曲拋物面投影的一般形式。三面投影中，V族及U族各仿射對應(yīng)點(diǎn)連線包絡(luò)成拋物線。

從以上分析可以看出空間任意位置不相交的二仿射對應(yīng)點(diǎn)列v1（Iv1，Ⅱv1，Ⅲv1…)，vi（Ivi，Ⅱvi,Ⅲvi…)都可以通過投影變換得到其正投影[4]。由仿射對應(yīng)點(diǎn)列v1, v2, …, vi及u1, u2, …, ui構(gòu)成的雙曲拋物面的投影特點(diǎn)：

1） 雙曲拋物面 V族各仿射對應(yīng)點(diǎn)列 v1, v2,…, vi及U族各仿射對應(yīng)點(diǎn)列u1, u2, …, ui投影后仍為仿射對應(yīng)點(diǎn)列，且對應(yīng)關(guān)系不變。

2） 在一般情況下，雙曲拋物面上的兩族仿射對應(yīng)點(diǎn)列的同名投影均不同向；兩族仿射對應(yīng)點(diǎn)列的投影不反映θ、α和L的真實(shí)大??；仿射對應(yīng)點(diǎn)列v1, v2,…,vi及u1, u2,…, ui連線的投影包絡(luò)成拋物線。如圖1(b)中V、W面投影、圖2中V面投影及圖3所示。

3） 特殊情況下，雙曲拋物面上的一族或兩族仿射對應(yīng)點(diǎn)列的同名投影同向。當(dāng)一族仿射對應(yīng)點(diǎn)列如u1, u2,…, ui在某一投影面上的投影同向時(shí)，該仿射對應(yīng)點(diǎn)列間的距離L反映實(shí)長，而另一族仿射對應(yīng)點(diǎn)列v1, v2,…, vi在該投影面上的投影則交于一點(diǎn)，如圖2中W面及H1面投影所示。當(dāng)兩族仿射對應(yīng)點(diǎn)列v1, v2,…,vi及u1, u2,…, ui在某一投影面上的投影分別同向時(shí)，可直接確定兩個(gè)導(dǎo)平面P、Q的方向，導(dǎo)平面P、Q均垂直于該投影面，并反映其二面角θ的真實(shí)大小，如圖1(b)及圖2中H面投影所示。

4） 當(dāng)雙曲拋物面上的一族仿射對應(yīng)點(diǎn)列平行于某一投影面時(shí)，該族所有仿射對應(yīng)點(diǎn)列所構(gòu)成的直母線在該投影面上的投影反映實(shí)長，其仿射對應(yīng)點(diǎn)列的仿射比r和二線角α反映實(shí)際大小，仿射對應(yīng)點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)連線的投影包絡(luò)成拋物線。

從上面雙曲拋物面造型及其投影圖可以直觀清楚的看出：雙曲拋物面是由仿射點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)的連線包絡(luò)成的二次直紋曲面，雙曲拋物面有V、U兩族直母線，每一族直母線都覆蓋整個(gè)曲面，而且經(jīng)過曲面上每一點(diǎn)有每一族唯一的一條直母線，同族每兩條母線不共面，異族的兩條母線共面；同族的一切直母線，平行于同一平面[1]。

2 雙曲拋物面截交線的變化規(guī)律

雙曲拋物面截交線的性質(zhì)、形狀隨截平面位置的不同而不同。下面通過對三維雙曲拋物面進(jìn)行不同位置的截切，討論其截平面位置與截交線的關(guān)系。

圖4中，平面R平行于導(dǎo)平面Q，截切雙曲拋物面得到U族中的一條直母線UR；同樣，平面S平行于導(dǎo)平面P，截切雙曲拋物面得到為V族中的一條直母線VS。

圖4 截交線為一條直母線

圖5中，正垂面R經(jīng)過一條母線VR截切雙曲拋物面，得到兩條異族直母線VR、UR；同樣，正垂面S經(jīng)過一條母線US截切雙曲拋物面，得到兩條異族直母線VS、US。

圖5 截交線為一對異族母線

圖6中，S平面由異族直母線VS和US構(gòu)成，以S面作為分界面，用平行于S面的上下兩組平面截切雙曲拋物面，截交線為兩族不同方向的雙曲線，其漸近線方向相同，即與S面所截的兩條直母線VS和US方向相同。VS和US的各面投影也是兩族雙曲線同名投影的漸近線。

圖7中，兩組平行于兩導(dǎo)平面P及Q交線N、且與P及Q面均不平行的正平面及側(cè)平面截切雙曲拋物面，截交線為拋物線，其拋物線的軸線平行于兩導(dǎo)平面P及Q的交線N。

圖6 截交線為二族雙曲線

圖7 截交線為拋物線

圖8中，一組平面A、B和C平行于雙曲拋物面兩導(dǎo)平面P及Q的交線N（設(shè)N向上為正）、并且與Q的夾角大于0°且小于θ時(shí)，截得的拋物線頂點(diǎn)在下，開口朝上，即開口方向與N的正向同向；而當(dāng)另一組平面 D、E、F等平行于兩導(dǎo)平面P及Q的交線N、并且與Q的夾角大于θ并小于180°時(shí)，截得的拋物線頂點(diǎn)在上，開口朝下，即開口方向與N的正向反向。

圖8 拋物線的開口方向和其截平面與導(dǎo)平面的夾角有關(guān)

通過上面對三維雙曲拋物面的空間以及二維投影分析可得出下面的結(jié)論：

1） 經(jīng)過雙曲拋物面一條母線，且不平行于導(dǎo)平面的每一個(gè)平面也必然經(jīng)過屬于另一族的一條母線。這樣的平面截切雙曲拋物面，截得兩條異族直母線。

2） 當(dāng)平面平行一條母線vm，且不平行于導(dǎo)平面時(shí)，也必然平行于屬于另一族的一條母線un，這樣的平面截切雙曲拋物面，截交線為雙曲線，其漸近線的方向即是母線vm及母線un的方向。這樣一組平行的平面截切雙曲拋物面，截得的雙曲線具有相同方向的漸近線，與母線vm及母線un平行。

3） 平面在雙曲拋物面上截得的每一對雙曲線，其漸近線均平行于一對異族母線，這對異族母線構(gòu)成的平面與該平面平行。

4） 當(dāng)平面平行于兩導(dǎo)平面P及Q的交線N、且與P及Q面均不平行時(shí)，截切雙曲拋物面，截交線為拋物線，拋物線的軸線平行于兩導(dǎo)平面P及Q的交線N。

5） 雙曲拋物面上拋物線的開口方向和截平面與導(dǎo)平面P及Q的夾角θ有關(guān)，如圖8。當(dāng)截平面與導(dǎo)平面的夾角大于0°并小于θ時(shí)，拋物線的開口方向與N的正向同向；當(dāng)截平面與導(dǎo)平面的夾角大于θ并小于180°時(shí)，拋物線的開口方向與N的正向反向。

3 結(jié) 束 語

利用計(jì)算機(jī)三維造型軟件可以構(gòu)建基于空間仿射對應(yīng)點(diǎn)列的三維雙曲拋物面。對三維雙曲拋物面進(jìn)行不同方向的投射，可以準(zhǔn)確得到雙曲拋物面不同方位和角度的投影圖。從這些投影圖中可以更直觀、清楚的了解雙曲拋物面的投影特點(diǎn)。使用多個(gè)不同位置的平面對三維雙曲拋物面進(jìn)行截切，并通過分析、觀察截交線的變化趨勢，得出幾點(diǎn)規(guī)律性的結(jié)論。

[1] 南開大學(xué)數(shù)學(xué)系《空間解析幾何引論》編寫組編. 空間解析幾何引論[M]. 北京: 人民教育出版社, 1978: 154-160.

[2] 何 斌, 陳錦昌, 王楓紅. 建筑制圖[M]. 北京: 高等教育出版社, 2010: 111-114.

[3] 劉阜平, 丁 勇. 二射影對應(yīng)點(diǎn)列與二級(jí)曲線[J].山西礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 1996, 52(4): 354-358.

[4] 劉阜平, 丁 勇. 空間二仿射對應(yīng)點(diǎn)列形成的雙曲拋物面[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 32(6): 2-4.

The 3D modeling and analysis of hyperbolic paraboloid based on the spatial affine point ranges

Jiang Xiaohong, Song Yan
( China University of Mining and Technology, Xuzhou Jiangsu 221116, China )

This article constructs three-dimensional hyperbolic paraboloid based on spatial affine point ranges using the computer 3D software. From the projection in different directions on hyperbolic paraboloid，a series of projection drawing in different directions and angles of the hyperbolic paraboloid can be acquired. The characteristics of the projection drawing of the hyperbolic paraboloid are understood more directly and clearly from these projections. By using a number of planes of different locations to cut the hyperbolic paraboloid and by analyzing and observing the trend of intersection lines, several conclusions of regularity are obtained.

affine point ranges; 3D modeling; hyperbolic paraboloid; intersection line

O 185

A

2095-302X (2012)05-0024-04

2010-02-15；定稿日期：2012-04-10

江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目

江曉紅（1958-），女，吉林長春人，教授，博士，主要研究方向?yàn)楣こ虉D學(xué)、計(jì)算機(jī)三維CAD。E-mail：xh.jiang@126.com