基于Lyapunov理論的運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降穩(wěn)定性分析

李支彬,黃 騰,李桂華

(河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇南京 210098)

目前對(duì)運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降穩(wěn)定性的研究尚處于初步階段,主要從統(tǒng)計(jì)學(xué)、工程理論與實(shí)踐的方法入手,根據(jù)沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)或地區(qū)的普遍規(guī)律對(duì)運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降進(jìn)行穩(wěn)定性評(píng)判。然而,在不同的地質(zhì)環(huán)境和工況條件下,隧道沉降原因和規(guī)律有較大差別,僅依靠單一的沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)或地區(qū)的普遍規(guī)律進(jìn)行評(píng)判有失偏頗,應(yīng)在弄清沉降機(jī)理、明晰沉降趨勢(shì)、綜合考慮各類影響因素的基礎(chǔ)上建立科學(xué)合理且具有通用性的評(píng)判模型才能較好地解決此問題。筆者從系統(tǒng)論的思路入手,將運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降作為一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng),將影響地鐵隧道沉降穩(wěn)定性的主要因素作為狀態(tài)變量,根據(jù)觀測(cè)資料反演地鐵隧道沉降系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,然后依據(jù)基于Lyapunov理論的運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降穩(wěn)定性判據(jù),判定地鐵隧道沉降的穩(wěn)定性。

1 運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降動(dòng)力學(xué)模型

1.1 反演動(dòng)力學(xué)模型的方法

動(dòng)力學(xué)模型的建立方法主要有根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部構(gòu)成及物理機(jī)理建立動(dòng)力學(xué)模型和根據(jù)監(jiān)測(cè)資料反演動(dòng)力學(xué)模型。由于人們對(duì)地鐵隧道沉降變形體系統(tǒng)的內(nèi)部構(gòu)成和物理機(jī)理缺乏足夠的了解,所以通常利用反演的方法建立動(dòng)力學(xué)模型[1]。

利用觀測(cè)資料反演變形體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的原理是監(jiān)測(cè)變形體系統(tǒng)獲得的大量觀測(cè)資料在一定程度上包含了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),體現(xiàn)了系統(tǒng)演變過程中不同時(shí)刻的狀態(tài),將觀測(cè)數(shù)據(jù)看作是系統(tǒng)實(shí)際軌跡的一系列離散值,進(jìn)而通過反演得到變形體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。變形體系統(tǒng)的一般動(dòng)力學(xué)方程為

式中：n——?jiǎng)恿W(xué)方程中的變量數(shù);xi——狀態(tài)變量,設(shè)xi的一系列觀測(cè)值為xi(t0+jΔt),其中j=1,2,…,m,i=1,2,…,n;t0——起始觀測(cè)時(shí)間;Δt——觀測(cè)時(shí)間間隔(Δt可為不等間隔);m——觀測(cè)數(shù)據(jù)離散值個(gè)數(shù)。

設(shè)t0=0,將式(1)寫成差分的形式：

則式(2)可由觀測(cè)序列di,j組成m-1個(gè)觀測(cè)方程。若設(shè)fi(x1,x2,…,xn)中有K個(gè)參數(shù)Pk(k=1,2,…,K),并具有如下的多項(xiàng)式形式：

則式(2)可以寫成矩陣形式：

其中

根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則,可以寫出以下正則方程：

若GTG是非奇異矩陣,則有

若GTG是奇異矩陣,或者接近奇異,則對(duì)誤差特別敏感,而G本身并不十分準(zhǔn)確,會(huì)有較大誤差,可采用奇異值分解法(SVD)來解決此問題,限于篇幅,在此不贅述。

1.2 運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)某市運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道工程地質(zhì)條件及土力學(xué)知識(shí)[2-6],將地下水位h、地下水位的平方h2、列車荷載Nb、地面累積沉降量H、建筑物荷載 η和降雨量P作為主成分分析因子,通過主成分分析法進(jìn)行成因分析,選取對(duì)運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降貢獻(xiàn)率最大的h2,Nb,H作為主要影響因素。對(duì)于不同工程地質(zhì)條件下的地鐵隧道,其沉降機(jī)理和影響因素均不同,需根據(jù)實(shí)際觀測(cè)資料進(jìn)行成因分析并選取主要影響因素。

選取h,Nb,H這3個(gè)主要影響因素和隧道累積沉降量S作為地鐵隧道沉降系統(tǒng)的狀態(tài)變量,分別用變量x1,x2,x3,x4來代替,在滿足工程精度的前提下,為避免各狀態(tài)變量間相關(guān)性的重復(fù)導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)方程復(fù)雜化和相關(guān)關(guān)系的冗余,建立動(dòng)力學(xué)模型：

式中ai0,ai1,ai2,ai3,ai4為參數(shù)。

根據(jù)地鐵觀測(cè)資料,利用上述反演方法確定式(7)中各項(xiàng)系數(shù)。為衡量反演效果,計(jì)算動(dòng)力學(xué)模型中預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的標(biāo)準(zhǔn)偏差r和復(fù)相關(guān)系數(shù)R2,用以檢驗(yàn)反演的動(dòng)力學(xué)模型是否滿足精度要求。

2 基于Lyapunov理論的運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降穩(wěn)定性

Lyapunov理論關(guān)于穩(wěn)定性判別的方法有2種：(a)級(jí)數(shù)展開法;(b)Lyapunov直接法,即通過Lyapunov函數(shù)V(x1,x2,…,xn)來判別系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。然而,目前構(gòu)造Lyapunov函數(shù)還存在一定的困難,在滿足要求的前提下,級(jí)數(shù)展開法仍為最重要的方法[7-9]。

2.1 穩(wěn)定性及平衡態(tài)

穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個(gè)動(dòng)態(tài)屬性[10]。穩(wěn)定的系統(tǒng)應(yīng)具有這樣的性能：在它受到外界的擾動(dòng)后,雖然其原平衡態(tài)被打破,但在擾動(dòng)之后有能力自動(dòng)返回原平衡態(tài)或者趨于另一新的平衡態(tài)繼續(xù)工作。平衡態(tài)是使得系統(tǒng)靜止不動(dòng)的狀態(tài)。變形體系統(tǒng)不可能處于絕對(duì)的靜力平衡狀態(tài),在外力的作用下變形體系統(tǒng)的任何變化都可視為一種運(yùn)動(dòng),平衡態(tài)只是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一種特殊情況。Lyapunov理論是研究系統(tǒng)平衡態(tài)附近的運(yùn)動(dòng)變化問題。平衡態(tài)附近某充分小鄰域內(nèi)所有狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)最后都趨于該平衡態(tài),則稱該平衡態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的;若不能限定在平衡態(tài)附近某個(gè)鄰域內(nèi)運(yùn)動(dòng),則稱該平衡態(tài)是不穩(wěn)定的;若能維持在平衡態(tài)附近某個(gè)鄰域內(nèi)運(yùn)動(dòng)變化,則該平衡態(tài)是穩(wěn)定的。

2.2 基于Lyapunov理論的運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降穩(wěn)定性判據(jù)

考慮運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降動(dòng)力學(xué)模型(式(7)),將其寫成向量形式：

設(shè)平凡解(零解)xe是一平衡態(tài),即

在平衡態(tài)xe附近把式(7)展開成Taylor級(jí)數(shù)并寫成向量形式：

3 工程實(shí)例分析

根據(jù)某市運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道K1+033斷面的1～7期觀測(cè)數(shù)據(jù),由最小二乘法求得其動(dòng)力學(xué)方程參數(shù)aik(k=0,1,2,3,4)。為衡量反演效果,計(jì)算動(dòng)力學(xué)模型中x1,x2,x3,x4預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的標(biāo)準(zhǔn)偏差和復(fù)相關(guān)系數(shù),結(jié)果分別為可知反演效果較好。

1234-0.1491。在平衡態(tài)處把式(7)按Taylor級(jí)數(shù)展開,前7期觀測(cè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的Jacobi矩陣A為

A的特征值的實(shí)部分別為λ1=0.6573,λ2=0.6573,λ3=2.7754,λ4=-1.1955,最大值為2.7754。由基于Lyapunov理論的運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降穩(wěn)定性判據(jù)可判定該平衡態(tài)不穩(wěn)定。

同理,依據(jù)觀測(cè)資料中前8期、前9期、前10期、前11期數(shù)據(jù)分別反演地鐵隧道沉降動(dòng)力學(xué)模型,計(jì)算動(dòng)力學(xué)模型中各變量的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的標(biāo)準(zhǔn)偏差和復(fù)相關(guān)系數(shù),其中最大標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.0628,最小復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.8135,表明各動(dòng)力學(xué)模型反演效果良好。求解各動(dòng)力學(xué)模型的平衡態(tài),計(jì)算得出各反演動(dòng)力學(xué)方程的Taylor級(jí)數(shù)展開式Jacobi矩陣A的特征值。圖1為各動(dòng)力學(xué)模型Jacobi矩陣A特征值的實(shí)部最大值隨觀測(cè)期數(shù)的變化,由圖1可知,對(duì)應(yīng)于前8期、前9期、前10期、前11期觀測(cè)數(shù)據(jù)的A的特征值實(shí)部最大值分別為-0.2296,-0.2716,1.4705,0.5523。

依據(jù)運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降穩(wěn)定性判據(jù),由圖1得出：前7期地鐵隧道沉降系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài);前8期和前9期地鐵隧道沉降系統(tǒng)處于漸近穩(wěn)定狀態(tài),并且在不受外力干擾時(shí)各狀態(tài)變量將逐漸趨于平衡態(tài);前9期至前10期地鐵隧道沉降系統(tǒng)由漸近穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài);前10期至前11期特征值的實(shí)部最大值減小但仍大于零,表明地鐵隧道沉降系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài),但穩(wěn)定性隨觀測(cè)期數(shù)的增加而逐漸增強(qiáng)。

該地鐵隧道的實(shí)際運(yùn)營(yíng)情況是前7期處于運(yùn)營(yíng)初期,前8期和前9期地鐵隧道地質(zhì)環(huán)境相對(duì)穩(wěn)定,前9期至前10期距地鐵約68m處正在開挖基坑,實(shí)際情況與上述穩(wěn)定性分析結(jié)果相吻合。另外,對(duì)其他斷面及不同地質(zhì)條件下的運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道進(jìn)行沉降穩(wěn)定性分析,實(shí)際情況與穩(wěn)定性分析結(jié)果均基本吻合,說明采用基于Lyapunov理論的穩(wěn)定性分析方法分析運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降的穩(wěn)定性是合理的。

圖1 各動(dòng)力學(xué)模型Jacobi矩陣A特征值的實(shí)部最大值隨觀測(cè)期數(shù)的變化Fig.1 Maximum value of real part of matrix A's eigenvalues varying with time for various dynamic models

4 結(jié) 論

a.基于Lyapunov理論的運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降穩(wěn)定性分析方法從系統(tǒng)、整體的觀點(diǎn)出發(fā),利用主成分分析法選取實(shí)際工程地質(zhì)條件下導(dǎo)致地鐵隧道沉降的主要因素為狀態(tài)變量,根據(jù)實(shí)際觀測(cè)資料反演建立動(dòng)力學(xué)模型,實(shí)測(cè)計(jì)算結(jié)果表明該模型能夠很好地反映地鐵隧道的沉降機(jī)理,對(duì)于運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道沉降的穩(wěn)定性分析具有良好的普適性。

b.在不受外力或所受外力微小時(shí),所建立的動(dòng)力學(xué)模型各狀態(tài)變量趨于平衡態(tài),各狀態(tài)變量在平衡態(tài)處的值及穩(wěn)定性分析結(jié)果可為運(yùn)營(yíng)期地鐵隧道的安全運(yùn)營(yíng)與決策提供理論依據(jù)。

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