初探解決求和的問題

楊文亮

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號

［問題情景］

學校組織看電影的時候。我讓同學們留心觀察影劇院的座位排數(shù)和每排座位數(shù)，并要求算出影劇院共有多少個座位。第二天，同學們先把觀察到的情況向我匯報如下：這個影劇院第一排有２２個座位，每排的后一排都比前一排多２個座位，最后一排有６８個座位，共２４排。我聽后，問：你們算出了這個影劇院共有多少個座位嗎？同學們講出了各自的解答。但，我對同學們的解答并不滿意，因為他們的解答幾乎相同———都較繁鎖。

［問題詮釋］

要計算共有多少個座位，也就是求這樣一列數(shù)“２２，２４，２６，２８……６４，６６，６８”之和。若從２２開始一個接一個相加求和，就顯得繁鎖，但仔細分析這列數(shù)，它有一個明顯的特點：從第二個數(shù)起，后一個數(shù)減去前一個數(shù)的差都是２，根據(jù)這列數(shù)的排列特點，在求它們的和時，應用加法交換律和結(jié)合律，容易發(fā)現(xiàn)：２２＋６８＝２４＋６６＝２６＋６４＝２８＋６２＝……＝９０，即第一個數(shù)加最后一個數(shù)，第二個數(shù)加倒數(shù)第二個數(shù)，第三個數(shù)加倒數(shù)第三個數(shù)，……，和都等于９０。這２４個數(shù)相加，有多少個９０呢？很顯然有１２個。所以２２＋２４＋２６＋……＋６４＋６６＋６８＝９０×１２＝１０８０就是說，利用這種方法計算，很快就能知道這個影劇院共有１０８０個座位。

［建立模式］

上述一列數(shù)中，第一個數(shù)稱為首項，第二個數(shù)稱為第二項，依此類推，最后一個數(shù)稱為末項，這列數(shù)一共有２４項。如果一列數(shù)，從第二項起，每一項減去它前面一項的差都等于同一個定數(shù)（這一個定數(shù)叫做公差），那么，這樣一列數(shù)的和，可以用“（首項＋末項）×項數(shù)÷公差”來求出，且計算簡潔準確。

［問題解決］

１、小明為測量一座高樓的高度，他站在高樓的頂上，讓一物體從他的腳邊自由掉下，后測得物體第一秒鐘落下４．９米，以后每秒多落下９．８米，經(jīng)過１０秒鐘到達地面。這座高樓共有多高？分析：根據(jù)題意，可知

第一秒落下：４．９＝４．９＋９．８×（１－１）

第二秒落下：４．９＋９．８＝４．９＋９．８×（２－１）

第三秒落下：４．９＋９．８＋９．８＝４．９＋９．８×（３－１）

……

第１０秒落下：４．９＋９．８×（１０－１）＝９３．１

所以，這座樓的高為（４．９＋９３．１）×１０÷２＝４９０（米）

２、某體育館的一個側(cè)看臺，第一排有３２個座位，后面的每一排都比前一排多２個座位，最后一排是８８個座位，正常情況下，這側(cè)看臺可容納多少人觀看節(jié)目？

簡析：根據(jù)“項數(shù)＝（末項－首項）÷公差＋１”，可求出座位排數(shù)為（８８－３２）÷２＋１＝２９（排），這側(cè)看臺的座位數(shù)為（３２＋８８）×２９÷２＝１７４０（個），因此，正常情況，這側(cè)看臺可容納１７４０人觀看節(jié)目。

３、小張來到招聘信息中心，想找一個能展示自己特長的理想工作，只見招聘廣告琳瑯滿目，最后他認為這樣兩家公司能充分發(fā)揮自己的才能，這兩家公司的招聘廣告如下：

甲公司凡前來應聘者，一旦應聘，均簽訂一年的工作合同，在這一年中，月固定工資為７５０元……

乙公司凡前來應聘者，一旦應聘，均簽訂一年的工作合同。在這一年中，第一個月工資為４００元，若工作表現(xiàn)好，從第二個月起，每月工資都在前一個月的基礎上，上?。担霸?/p>

小張想，兩家公司均為一年合同，在這一年中，究竟到哪家公司工作的總收入高呢？

答案：到甲公司的總收入高。

［問題情景］

今年，張大伯家的早稻又豐收了。這不，今天他又曬了１２袋稻谷，準備去交公糧。這１２袋的重量分別是（單位：千克）：４５，４８．５，４５，４３．５，４７，４４．５，５０，４２，４７．５，４９．５，４８，４３。你能否很快算出這些稻谷的總重量嗎？

［問題詮釋］

求１２袋稻谷的總重量，當然可以將每袋的重量逐個相加起來。但是，有沒有簡便的算法呢？仔細觀察這１２袋的重量數(shù)，最輕的為４２千克，最重的為５０千克，而且都在４６千克上下波動。重于４６千克的有６袋，輕于４６千克的也有６袋。所以，可選?。矗肚Э藶榛鶞蕯?shù)，重于４６千克的６袋，每袋超過的千克數(shù)之和是２．５＋１＋４＋１．５＋３．５＋２＝１４．５（千克）；輕于４６千克的６袋，每袋不足的千克數(shù)之和是１＋１＋２．５＋１．５＋４＋３＝１３（千克）。因此，１２袋的總重量為：４６×１２＋１４．５－１３＝５５２＋１．５＝５５３．５（千克）

［建立模式］

求一組彼此比較接近的數(shù)的和時，可選取其中一個數(shù)為基準數(shù)。如果大于基準數(shù)的那些數(shù)，每個數(shù)減去基準數(shù)，所得差相加的結(jié)果用Ｓ超表示；小于基準數(shù)的那些數(shù)，用基準數(shù)分別去減這每一個數(shù)，所得差相加的結(jié)果用Ｓ不足表示，那么這組數(shù)的總和＝基準數(shù)×加數(shù)的個數(shù)＋Ｓ超－Ｓ不足

［問題解決］

１、學校六一文藝匯演，由１０位評委給每個節(jié)目打分，并規(guī)定：去掉其中的一個最高分和一個最低分，將其余分數(shù)作為該節(jié)目的得分。四（１）班表演了一個小品節(jié)目，１０位評委分別給這個節(jié)目的打分是９．５，９．６，９．３，９．７，９．４，９．１，９．７，９．５，９．２，９．６，這個節(jié)目的總得分是多少？

分析：去掉一個最高分９．７分和一個最低分９．１分后，該節(jié)目的總得分是（以９分為基準數(shù)：９×８＋（０．５＋０．６＋０．３＋０．４＋０．７＋０．５＋０．２＋０．６）＝７２＋３．８＝７５．８（分）。

２、水果店運進８筐蘋果，每筐蘋果的重量如下（單位：千克）：５２，５０．５，５０，４８，５１．５，４９．５，４８，５２．５

（１）當你看完每筐蘋果的重量后，能立刻估算出８筐蘋果的總重量嗎？

（２）平均每筐的重量是多少？

分析：（１）觀察這些數(shù)據(jù)，都在５０上下，據(jù)此可估算出８筐蘋果的總重量約為：５０×８＝４００（千克）。

（２）以５０千克為基準數(shù)，平均每筐的重量為：５０＋〔（２＋０．５＋０＋１．５＋２．５）－（２＋０．５＋２）〕÷８＝５０．２５（千克）。