用積分算子定義的強星象函數(shù)的子類

華 芳，徐厚生

（鎮(zhèn)江高等?？茖W校 教師教育系，江蘇 丹陽 212300）

設(shè)A表示在單位圓盤E={z：|z|＜1}內(nèi)解析，具有形式

的全體函數(shù)組成的類，若函數(shù)f（z）∈A滿足

則稱f（z）為γ型β階強星象函數(shù)，記作f（z）∈S*（β，γ），其中0≤γ＜1，0＜β≤1。若函數(shù)f（z）∈A滿足

則稱f（z）為γ型β階強凸象函數(shù)，記作f（z）∈C（β，γ）。其中0≤γ＜1，0＜β≤1。易知f（z）∈C（β，γ）?zf’（z）∈S*（β，γ）。

設(shè)f（z）∈A，定義A上的積分算子In，

該算子由Liu和Noor在文獻［1-5］中首先研究的。可以看出

利用算子Inf（z）可以刻劃2個新的函數(shù)類

不難看出，f（z）∈CVn（β，γ）?zf’（z）∈STn（β，γ）。

1 引理

2）p（z0）=（±ia）β（a＞0）。

2 定理1

定理1STn（β，γ）?STn+1（β，γ）。

證明 設(shè)f（z）∈STn（β，γ），置

這里p（z）=1+c1z+c2z2+…在E內(nèi)解析，且p（z）≠0（z∈E）。利用式（6），式（9）可以改寫成

得

對數(shù)微分式（11），再利用式（9）整理得

因此，

所以，f（z）∈STn+1（β，γ）。

3 定理2

定理2CVn（β，γ）?CVn+1（β，γ）。

證明f（z）∈CVn（β，γ）?zf’（z）∈STn（β，γ）（由定理1）?zf’（z）∈STn+1（β，γ）?f（z）∈CVn+1（β，γ）。

4 定理3

定理3 若c+γ＞0，當f（z）∈STn（β，γ）時，F(xiàn)c（f（z））∈STn（β，γ）。

證明 設(shè)f（z）∈STn（β，γ），令這里p（z）在E內(nèi)解析，且p（0）=1，p（z）≠0（z∈E），利用式（14），式（15）可得

對數(shù)微分式（16），并利用式（15）整理得

因此，

所以，F(xiàn)c（f（z））∈STn（β，γ）。

5 定理4

定理4 若c+γ＞0，當f（z）∈CVn（β，γ）時，F(xiàn)c（f（z））∈CVn（β，γ）。

證明 應用定理3和f（z）∈CVn（β，γ）?zf’（z）∈STn（β，γ），即得。

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