平面幾何知識(shí)在解析幾何中的妙用

數(shù)學(xué)應(yīng)用Shu Xue Ying Yong數(shù)學(xué)應(yīng)用Shu Xue Ying Yong解析幾何是從宏觀上利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，但這些幾何對(duì)象有自身的基本性質(zhì)，所以微觀上利用幾何方法也常常有效。下面我想通過(guò)幾道實(shí)例對(duì)平面幾何知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納,使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用平面幾何知識(shí)找到簡(jiǎn)捷的解題途徑，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，減少運(yùn)算量。

一、 三角形全等和相似的妙用

【命題分析】三角形全等與相似的證明是初中平面幾何的教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，不少學(xué)生這部分知識(shí)掌握的相當(dāng)不錯(cuò)。在處理解析幾何中一些證明或求線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)，如果能巧妙利用三角形的全等與相似往往比直接利用代數(shù)法運(yùn)算更簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)又有助于學(xué)生的綜合能力的培養(yǎng)。

【試題設(shè)計(jì)】

如圖，設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率e=22，M、N是橢圓右準(zhǔn)線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F1M?F2N=0.若|F1M|=|F2N|=25,求橢圓的方程.

解析延長(zhǎng)NF2交F1M于R點(diǎn)，設(shè)右準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q，焦距為2c.

因?yàn)閑=22，所以a=2c，得|F2Q|=a2c－c=2c－c=c,

因?yàn)镕1M?F2N=0，

所以∠F2NQ+∠F1MQ=90°,

又因?yàn)椤螹F1Q+∠F1MQ=90°,

所以∠F2NQ=∠MF1Q,

又由|F1M|=|F2N|，∠F2QN=∠F1QM=90°，

可得△MF1Q≌△F2NQ,

則|QM|=|F2Q|=c，

又因?yàn)閨F1M|=25，所以c2+9c2=20，

即c2=2，

所以橢圓的方程為x24+y22=1.

點(diǎn)撥本題如果利用e=22,將b,c都用a來(lái)表示,設(shè)M(2a,y1)、N(2a,y2),再利用F1M?F2N=0,|F1M|=|F2N|=25,得到關(guān)于y1,y2,a的三個(gè)方程,然后消去y1,y2求出a,此解法運(yùn)算量較大，很多同學(xué)不能算出最后結(jié)果，而如果我們能抓住|F1M|與|F2N|相等，聯(lián)想到通過(guò)證明△MF1Q與△F2NQ全等，得出|MQ|=|F2Q|，然后將已知量放到同一個(gè)直角三角形內(nèi)，利用勾股定理求出c，過(guò)程就簡(jiǎn)捷多了。

二、 相交弦定理的妙用

【命題分析】高考大綱明確提出“以能力立意，從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問(wèn)題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題”，因此高三的復(fù)習(xí)一定要重視各部分知識(shí)之間的橫向、縱向聯(lián)系。近幾年四點(diǎn)共圓在解析幾何中的應(yīng)用成為高考命題的熱點(diǎn)，圓內(nèi)接四邊形的有關(guān)知識(shí)是同學(xué)們?cè)诔踔兴鶎W(xué)，遺忘太多，不少同學(xué)在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)往往無(wú)從下手。這個(gè)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)引起我們的高度重視。

【試題設(shè)計(jì)】

已知過(guò)點(diǎn)A(－1,0)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C：x2+(y－3)2=4相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線(xiàn)m：x+3y+6=0相交于N.

(１) 求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過(guò)圓心C；

（2） 探索AM?AN是否與直線(xiàn)l的傾斜角有關(guān)，若無(wú)關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析（１） 因?yàn)閘與m垂直，且km=－13，

所以kl=3，

故直線(xiàn)l的方程為y=3(x+1)，即3x－y+3=0，又因?yàn)閳A心坐標(biāo)（0，3）滿(mǎn)足直線(xiàn)l的方程，

所以當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過(guò)圓心C.

（2） 設(shè)AC交直線(xiàn)m于點(diǎn)D,當(dāng)l過(guò)圓心C時(shí),由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得

|AD|=|－1+6|10=102,又AC=10，

則AM?AN=－|AC|×|AD|=－102×10=－5.

當(dāng)l不過(guò)圓心C時(shí)，因?yàn)镃M⊥MN,AD⊥m,

所以C,M,D,N四點(diǎn)共圓,由相交弦定理得AM?AN=－|AC|×|AD|=－5.

點(diǎn)撥本題若先設(shè)出直線(xiàn)l的方程，再將直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，如這樣處理對(duì)運(yùn)算要求較高。而如果巧妙利用第一問(wèn)的結(jié)論，先探究出AM?AN的值，再利用相交弦定理證出無(wú)論直線(xiàn)l的傾斜角如何變化，AM?AN都為定值，問(wèn)題就變得更為簡(jiǎn)單。解析幾何中的定值問(wèn)題，是近幾年高考對(duì)解析幾何考查的一個(gè)重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容。這類(lèi)問(wèn)題以直線(xiàn)與圓或直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、平面向量等諸多數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解，對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、化簡(jiǎn)計(jì)算能力有較高的要求。

三、 切割線(xiàn)定理的妙用

【命題分析】初中平面幾何中有切割線(xiàn)定理,該定理在高中數(shù)學(xué)中有許多巧妙應(yīng)用、許多高考、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、模擬試題如果能夠使用該定理,可以大大改進(jìn)常規(guī)解法,減小思維量和運(yùn)算量,為考試贏得寶貴的答題時(shí)間。

【試題設(shè)計(jì)】如圖，過(guò)點(diǎn)P(5,4)作直線(xiàn)l與圓O：x2+y2=25交于A、B兩點(diǎn)，若PA=2，則直線(xiàn)l的方程為．

解析設(shè)圓O：x2+y2=25與x軸的正半軸交于點(diǎn)T,

由切割線(xiàn)定理可得PT2=PA?PB,

又因?yàn)镻A=2,PT=4，

所以PB=8,進(jìn)而求得|AB|=6.

設(shè)O到AB的距離為d，

則d=25－AB22=4.

設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，則直線(xiàn)l的方程為

y－4=k(x－5)，

即kx－y+4－5k=0，由|4－5k|1+k2=4，

解得k=0或k=409，所以直線(xiàn)l的方程為

y=4或40x－9y－164=0.

點(diǎn)撥本題傳統(tǒng)解題思路是求出A點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)A、P的坐標(biāo)求l。而如果我們能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為5就很容易求出切線(xiàn)PT的長(zhǎng)，再利用切割線(xiàn)定理求出PB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出弦AB的長(zhǎng)，問(wèn)題迎刃而解。

四、 角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的妙用

【命題分析】當(dāng)今高考很注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考察，很多數(shù)學(xué)試題注重包裝效果，目的是為了迷惑同學(xué)們的眼球，讓你們分不清楚試題的難易，“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”這才是出題人真正的目的。在圓錐曲線(xiàn)中涉及到角平分線(xiàn)的問(wèn)題處理時(shí)，如果能聯(lián)想到應(yīng)用角平分線(xiàn)性質(zhì)定理結(jié)合圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)往往會(huì)簡(jiǎn)化某些問(wèn)題的求解，同時(shí)也讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)美的所在。

【試題設(shè)計(jì)】如圖，橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，△MF1F2的面積為4，△ABF2的周長(zhǎng)為82．

（1） 求橢圓C的方程；

（2） 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0)，是否存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線(xiàn)PF1,PF2都相切，如存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解析（1） 由題意知12×2c×b=4，bc=4,4a=82,a=22,

解得b=c=2，

所以橢圓的方程為x28+y24=1.

（2） 假設(shè)存在橢圓上的一點(diǎn)P(x0,y0)，使得直線(xiàn)PF1,PF2與以Q為圓心的圓相切，則Q到直線(xiàn)PF1,PF2的距離相等,即點(diǎn)Q在∠F1PF2的平分線(xiàn)上，

由角平分線(xiàn)性質(zhì)定理|PF1||PF2|=|QF1||QF2|,

F1(－2,0),F2(2,0),Q(1,0),

得|QF1|=3,|QF2|=1,所以|PF1||PF2|=|QF1||QF2|=3,

又|PF1|+|PF2|=42,則|PF2|=2,

由焦半徑公式|PF2|=22－22x0，可得22－22x0=2，即x0=2,

所以橢圓上存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2)，使得直線(xiàn)PF1,PF2與以Q為圓心的圓(x-1)2+y2=1相切．

點(diǎn)撥本題一般解法是設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由圓與直線(xiàn)PF1,PF2都相切，以及點(diǎn)P在橢圓上聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。此解法運(yùn)算較為繁瑣，而如果我們利用角平分線(xiàn)性質(zhì)定理很快就可以求出|PF2|，再利用焦半徑公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)就簡(jiǎn)單多了。

牛刀小試

1. 已知點(diǎn)M是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上非長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，△MF1F2的內(nèi)心為I，連接MI并延長(zhǎng)交F1F2于點(diǎn)N,則MIIN=.

2. 直線(xiàn)y=kx與圓C:(x－2)2+(y－3)2=1相交于P,Q兩點(diǎn)，則|OP|?|OQ|=.

3. 函數(shù)y=x2－2x－8的圖象與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，則過(guò)這三點(diǎn)的圓與坐標(biāo)軸另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

4. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線(xiàn)與C相交于A、B兩點(diǎn)．若AF=3FB，則k=.

【參考答案】

1. 因?yàn)镮為△MF1F2的內(nèi)心，所以由角平分線(xiàn)性質(zhì)定理可得MIIN=F1MF1N=F2MF2N,

再利用合比性質(zhì)可得

MIIN=F1M+F2MF1N+F2N=2a2c=aa2－b2.

2. 設(shè)OT為圓C的切線(xiàn)，T為切點(diǎn)，

則OT2=OC2－CT2=13－1=12,

由切割線(xiàn)定理OT2=OP?OQ=12.

3. 設(shè)點(diǎn)A(－2,0),B(4,0)，C(0,－8)分別為圓的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，D為另一個(gè)交點(diǎn)，由相交弦定理，OA?OB=OC?OD,即2×4=8×OD,則OD=1,故D(0,1).

4. 設(shè)直線(xiàn)l為橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)，e為離心率，過(guò)A、B分別作AA1、BB1垂直于l，

A1、B1為垂足，過(guò)B作BE垂直于AA1于E，

由第二定義得，|AA1|=|AF|e，|BB1|=|BF|e，

由AF=3FB，得|AA1|=3|BF|e，

cos∠BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33，

所以sin∠BAE=63,tan∠BAE=2，

即k=2.

（作者：周強(qiáng),江蘇海安曲塘中學(xué)）