附加題——理科考生的必爭之題

本文圍繞解析幾何與立體幾何兩大專題，結(jié)合2012年《考試說明》新要求，談?wù)劷K高考附加題的部分相關(guān)內(nèi)容——“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”、“空間向量”。其中，“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”為必考題（2008年、2009年和2011年江蘇卷均考查參數(shù)方程問題，僅2010年考查了極坐標(biāo)問題，一般情況下，兩者不兼考），通常為容易題，分值10分；“空間向量”為選考題（2008年和2011年江蘇卷曾兩次考查，計算難度略有攀升，通常圍繞“角”進(jìn)行考查），一般為中等題，分值10分。

【例1】極坐標(biāo)與參數(shù)方程

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓x212+y24=1在第一象限處的一點P(x，y)分別作x軸、y軸的兩條垂線，垂足分別為M、N，求矩形PMON周長最大時點P的坐標(biāo)．

分析如何利用變量來刻畫點P的運動變化，進(jìn)而描述矩形PMON周長是解決問題的關(guān)鍵，而適時地引入?yún)?shù)并建立三角函數(shù)模型是解決這一問題常用而有效手段。

解設(shè)x=23cosα，

y=2sinα（α為參數(shù)），

則矩形PMON周長為

43cosα+4sinα=8sinα+π3，

所以，當(dāng)α=π6時，矩形PMON周長取最大值8，此時，點P（3，1).

點撥本題主要考查橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用——一般地，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的參數(shù)方程為x=acosα，

y=bsinα（α為參數(shù)），再轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來處理；同樣值得重視的還有直線的參數(shù)方程、拋物線的參數(shù)方程等，注意：①曲線的參數(shù)方程通常不唯一；②參數(shù)方程中的參數(shù)是否有特殊的幾何意義。

總結(jié)：處理“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”的參數(shù)問題時，通常考慮“引參”和“消參”兩種常用方法（均要注意參數(shù)自身的范圍），利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想以期達(dá)到簡單地解決問題的目的。

【變式】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，自坐標(biāo)原點O作一條射線分別交以O(shè)為圓心，1、2為半徑的兩圓于M，N兩點，NT垂直于x軸于點T，MP垂直于NT于點P，求點P的軌跡方程．

分析用何種變量來刻畫射線的運動變化并描述點P的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵，而引入以角為變量的參數(shù)來表示點P的坐標(biāo)是解決本題較為簡單的方法。

解設(shè)∠TOM=φ，點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，

則x0=2cosφ，

y0=sinφ（φ為參數(shù)），

消去參數(shù)φ得x24+y2=1，

所以點P的軌跡方程為x24+y2=1．

點撥刻畫繞原點旋轉(zhuǎn)的射線的變量可以是斜率，也可以是傾斜角，選哪一個更易于解決問題是解題過程中應(yīng)加以比較的。另參數(shù)方程為x=acosα，

y=bsinα（α為參數(shù)，常數(shù)a，b滿足a>b>0）的普通方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，表示焦點在x軸上的橢圓。

總結(jié)：消參法是求軌跡方程的常用方法之一。一般來說，若題中沒有直接給出參數(shù)時應(yīng)選擇合理的參數(shù)，這是解決問題的突破口，也正是本題的難點所在。

【例2】空間向量

如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，點P在棱CC1上，且∠A1PB=π2．

（1） 求PC的長；

（2） 求二面角AA1BP的正弦值．

分析建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量處理∠A1PB=π2，從而確定點P的位置，再處理第（2）問。

解（1） 如右圖，以點D為原點，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，

則D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，2），

設(shè)P（0，1，λ），其中λ∈［0，2］，

因為∠A1PB=π2，

所以A1P?BP=0，

即（－1，1，λ－2）?（－1，0，λ）=0，得λ=1，

此時P（0，1，1），即有PC=1.

（2） 易得平面AA1B的一個法向量為m=DA=（1，0，0），

設(shè)平面A1BP的一個法向量為n=（x，y，z），

則n?A1P=0，

n?BP=0，即－x+y－z=0，

－x+z=0，

不妨取x=1，則y=2，z=1，即n=（1，2，1），

所以cos〈m，n〉=m?n|m||n|=11×6=66，

所以二面角AA1BP的的正弦值為306.

點撥本題主要考查空間向量的應(yīng)用，考查運算求解能力，平面的法向量的求法：若（題）圖中已有平面的法線，則法線所在的方向向量可作為平面的法向量。否則，可用設(shè)而求的方法求出平面的法向量。

總結(jié)：①建系、寫點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)等基本運算務(wù)必要做到正確無誤，需仔細(xì)檢查；②利用空間向量求二面角的大小或三角函數(shù)值時，一般不涉及利用幾何直觀判斷二面角是銳二面角或鈍二面角問題；③弄清向量夾角的余弦值與題中所求角的大?。ɑ蛉呛瘮?shù)值）的關(guān)系，通常借助圖形處理會更直觀。

牛刀小試

1. （2008?江蘇卷第21題C）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(x，y)是橢圓x23+y2=1上的一個動點，求S=x+y的最大值．

2. （原創(chuàng)題）如右圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，設(shè)AD=1，D1D=λ(λ>0)，若棱C1C上存在點P滿足A1P⊥平面PBD，求實數(shù)λ的取值范圍．

【參考答案】

1. 設(shè)x=3cosα，

y=sinα（α為參數(shù)），則S=3cosα+sinα=2sinα+π3，所以S的最大值為2.

2. 如右圖，以點D為原點，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，

則D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，λ），

設(shè)P（0，1，x），其中x∈［0，λ］，

因為A1P⊥平面PBD，所以A1P?BP=0，

即（－1，1，x－λ）?（－1，0，x）=0，

化簡得x2－λx+1=0，x∈［0，λ］，

故判別式Δ=λ2－4≥0，且λ>0，

解得λ≥2．

（作者：闕東進(jìn)，江蘇省海安高級中學(xué)）