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    高等數(shù)學(xué)教學(xué)中易錯的二個問題

    2012-04-08 08:25:40羅星海
    關(guān)鍵詞:洛必達等份海涅

    羅星海

    (湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研處,湖北武漢430079)

    高等職業(yè)教育快速發(fā)展,招生規(guī)模不斷增加,高等數(shù)學(xué)教學(xué)壓力增大,學(xué)校聘請一些名校的博士、碩士來校上課,作為學(xué)院的中老年數(shù)學(xué)教師,在聽課中發(fā)現(xiàn)外聘教師二個常犯的教學(xué)錯誤,分析出錯原因,供教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)參考。

    1 洛必達法則求極限

    錯誤原因:洛必達法則誤用。

    定理(洛必達法則)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且滿足:

    (2)g'(x)≠0;

    正確解法如下:

    使用洛必達法則求數(shù)列極限應(yīng)注意:不能直接應(yīng)用該法則,可先求對應(yīng)的函數(shù)極限,再根據(jù)海涅定理得到數(shù)列的極限。

    海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的橋梁。根據(jù)海涅定理,求函數(shù)極限可化為求數(shù)列極限,同樣求數(shù)列極限也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限。此處,只討論將數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限問題,以便能正確使用洛必達法則。

    這樣教學(xué),高職學(xué)生顯然無法聽懂,用極限的“ε-N”定義證明數(shù)列的極限不是高職教學(xué)之重點,但采用洛必達法則求極限的方法證明,學(xué)生比較易于接受。

    證法二:由洛必達法則

    由海涅定理

    2 定積分的定義

    定義:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,在區(qū)間[a,b]上任意插入n-1個分點

    a=x0< x1< x2< … < xi-1< xi< … < xn-1< xn=b,把區(qū)間[a,b]分成 n個小區(qū)間:[x0,x1],[x1,x2],…,[xi-1,xi],…[xn-1,xn],各個小區(qū)間的長度分別記為

    △xi=xi- xi-1(i=1,2,…,n).在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上,任取一點 ξi(xi-1≤ξi≤xi),得相應(yīng)的,作乘積 f(ξi)△xi(i=1,2,…,n),得和式,當 n無限增大時,如果上述和式的極限存在,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,并將此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.記作

    錯誤原因:理解有誤,以為n→+∞就可實現(xiàn)[a,b]的無限細分,“任意插入n-1個分點”與“均勻插入n-1個分點”是完全不同的,當將[a,b]平均分成n等份時,n→+∞可以保證所有△xi→0,否則,當n→+∞ 時,不能保證所有△xi→0。如,在[a,b]插入 c(a<c<b),再在[a,c]內(nèi)插入 n-2個分點,這樣當n→+∞時,△xn=b-c不趨于0。

    正確定義是:設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間[a,b]上有界,在區(qū)間[a,b]上任意插入n-1個分點

    a=x0< x1< x2< … < xi-1< xi< … < xn-1< xn=b,把區(qū)間[a,b]分成 n個小區(qū)間:[x0,x1],[x1,x2],…,[xi-1,xi],…[xn-1,xn],各個小區(qū)間的長度分別記為

    △xi=xi- xi-1(i=1,2,…,n).在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上,任取一點得相應(yīng)的函數(shù)值 f(ξi),作乘積 f(ξi)△xi(i=1,2,…,n),得和式,令 λ =max{△xi}(i=1,2,…,n),當n無限增大且λ→0時,和式極限存在,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積,并將此極限值稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.記作

    例2 利用定積分概念求極限

    解:設(shè)f(x)=x,在區(qū)間[0,1]內(nèi)插入 n-1個分點,將區(qū)間[0,1]分成n等份,這樣1,2,…,n),在第i個小區(qū)間上取右端點為

    解:函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上有界連續(xù)函數(shù),顯然可積。在區(qū)間[0,1]內(nèi)插入n-1個分點,將區(qū)間[0,1]分成 n等份在第i個小區(qū)間上取右端點為于是

    分母的極限

    例2和例3可以看出,為了計算方便,一般將積分區(qū)間[a,b]分成n個區(qū)間長度相等的小區(qū)間,每個,于是,當n→∞時,也就能保證λ=Max{△xi}→0,這也就是為什么一些碩士、博士生教學(xué)時,將λ→0誤解為n→∞是等效的根本原因。

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