波動數(shù)值模擬人工邊界的穩(wěn)定問題

謝志南

（中國地震局工程力學研究所，哈爾濱150080）

波動數(shù)值模擬人工邊界的穩(wěn)定問題

謝志南

（中國地震局工程力學研究所，哈爾濱150080）

波動數(shù)值模擬是力學、地球物理和多個工程學科共同關(guān)注的領(lǐng)域，研究者在基礎(chǔ)和應(yīng)用研究方面皆取得了豐碩成果。然而，由邊界引入局部失穩(wěn)問題，即使在線性范圍亦尚未徹底解決。這里“邊界”泛指人工邊界、物理邊界或不同介質(zhì)的分界面。本文從波動數(shù)值模擬穩(wěn)定性分析方法著手展開對局部失穩(wěn)形成機理和消除方法的研究。

（1）從指導(dǎo)波動數(shù)值模擬穩(wěn)定性分析的Lax等價定理出發(fā)，依據(jù)數(shù)值解收斂方式的不同將定理中的穩(wěn)定條件區(qū)分為強條件和弱條件，進而將穩(wěn)定性分析方法歸納為強穩(wěn)定分析和弱穩(wěn)定分析。對前者著重闡明了其對分析邊界引入局部失穩(wěn)現(xiàn)象的重要性；對后者則闡明其與有限元方法相結(jié)合應(yīng)用于構(gòu)建波動數(shù)值模擬穩(wěn)定實現(xiàn)方案的價值。

（2）針對完美匹配層應(yīng)用于正交各向異性介質(zhì)波動數(shù)值模擬中存在的數(shù)值失穩(wěn)問題，基于一階連續(xù)形式透射邊界與有限元方法給出了穩(wěn)定的數(shù)值模擬實現(xiàn)方案，并采用弱穩(wěn)定分析初步論證了該方案的穩(wěn)定性。

（3）應(yīng)用強穩(wěn)定分析研究了透射邊界引發(fā)局部失穩(wěn)現(xiàn)象的機理及其消除方法。首先完善了基于一維有限模型得到的透射邊界高頻振蕩失穩(wěn)機理。然后從半無限模型出發(fā)闡明了透射邊界與鄰近內(nèi)節(jié)點運動方程所激發(fā)的高頻局部失穩(wěn)現(xiàn)象的機理，建議了一種有效的消除高頻局部失穩(wěn)方法。最后討論了透射邊界的零頻漂移失穩(wěn)機理，并用解析方法解釋了數(shù)值實驗中觀察到的零頻飄移失穩(wěn)現(xiàn)象。

（4）針對成層介質(zhì)中標量波動的數(shù)值模擬，基于波速有限原理和波動方程柯西問題的解導(dǎo)出了界面點在一個短時間窗內(nèi)的精確解，由此給出具有高階精度的界面節(jié)點顯式遞推公式的一種構(gòu)建方法，并以構(gòu)造彈性桿界面節(jié)點的遞推公式為例說明其要點。闡明了該遞推公式與現(xiàn)有穩(wěn)定的顯式內(nèi)節(jié)點遞推公式的精度階的一致性，后者的時間和空間精度階均為2 M（M為正整數(shù)），從而給出了界面節(jié)點與內(nèi)域節(jié)點精度階相互匹配的計算方案。并通過數(shù)值試驗檢驗了這一匹配方案的精度和穩(wěn)定性，最后基于強穩(wěn)定分析論證了其中二階精度匹配方案的穩(wěn)定性。

（5）將透射邊界合并于緊接人工邊界的內(nèi)節(jié)點運動方程給出了該邊界的一個新的實現(xiàn)方案。該方案較之原實現(xiàn)方案不僅收縮了計算區(qū)、改進了邊界的模擬精度，而且揭示了透射邊界截斷誤差階數(shù)與大區(qū)域數(shù)值解之間的關(guān)系，闡明了僅通過提高邊界精度階對改進波動數(shù)值模擬精度的局限性。

Lax定理；透射邊界；局部失穩(wěn)；強穩(wěn)定分析；弱穩(wěn)定分析

P315.31；

A；

10.3969／j.issn.0235－4975.2012.05.012

（作者電子信箱，謝志南：42009021＠qq.com）