一類(lèi)弦方程的逆譜問(wèn)題

張婷婷

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710062)

0 引 言

Sturm-Liouville理論經(jīng)過(guò)一個(gè)半世紀(jì)的發(fā)展日趨完善，其應(yīng)用已涉足于數(shù)學(xué)物理、工程技術(shù)、地球物理和氣象物理等各類(lèi)應(yīng)用及理論學(xué)科.一端固定的非均勻的張緊弦的自由振動(dòng)問(wèn)題可描述為Sturm-Liouville弦方程問(wèn)題L(ρ，h) (簡(jiǎn)稱(chēng)SL弦問(wèn)題).

y″(x)+λρ2(x)y(x)=0,x∈[0,1]

(1)

y(0)=0,y′(1)-hy(1)=0

(2)

本文的目的是將文獻(xiàn)[6]的結(jié)論推廣到弦方程.我們將證明當(dāng)密度函數(shù)是分段常值的正函數(shù)時(shí)，一組譜不僅在對(duì)分段區(qū)間重新排列的意義下可確定密度函數(shù)，而且能同時(shí)確定邊界條件.進(jìn)一步地，如果問(wèn)題同時(shí)具有對(duì)稱(chēng)性，則半組譜即可確定密度函數(shù)和邊界條件.

1 預(yù)備知識(shí)

如文獻(xiàn)[6],我們還需做以下假設(shè)：

(C2)若記μn=ρn/ρn+1(n=0,…,N-2) ,則μn≠1.

設(shè)φ(x,λ) 是方程(1)滿(mǎn)足初始條件y(0)=0,y′(0)=1的基本解，則由ρ(x)的結(jié)果知，在區(qū)間(xn,xn+1) 內(nèi)φ(x,λ)可表示為：

φn(x,λ)=Cncos(ρnω[x-xn])+(Dn/ω)sin(ρnω[x-xn])

(3)

由φ(x,λ)和φ′(x,λ)在x∈[0,1]上的連續(xù)性，可計(jì)算出Cn和Dn與Cn+1和Dn+1之間的線性映射關(guān)系

(4)

(5)

(6)

(7)

為了由C0和D0得到Cn和Dn，我們需要計(jì)算Tn…T0.

引理1.1

(8)

該引理可以由三角恒等式直接證明(也可參考文獻(xiàn)[6]的引理2.1).

(9)

該引理可由數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合引理1.1證得(也可參考文獻(xiàn)[6]的引理2.2).

引理1.3Sturm-Liouville弦方程問(wèn)題L(ρ,h) 的特征函數(shù)F0(λ)可表示為

(10)

證明由初始條件φ(0,λ)=0,φ′(0,λ)=1知C0=0,D0=1/ρ0.由(3)和(4)可得在最后一個(gè)區(qū)間(xN-1,xN)內(nèi)的解可表示為

φN-1=τ12/ρ0·cos(ρN-1ω[x-xN-1])+τ22/ρ0·sin(ρN-1ω[x-xN-1])/ω,

從而可得

于是

記ρN=1,μN(yùn)-1=ρN-1,則有

(11)

由邊界條件(2)可知，L(ρ,h)的特征函數(shù)為

再由引理1.2可得

(12)

將(6)和(9)代入后整理即得(10)，得證.

引理1.4存在非零常數(shù)c，使得

(13)

2 定理及證明

為了文章中敘述的方便，我們作如下定義：

(14)

(15)

(16)

再由{ξm}的遞增假設(shè)可知

S0=-ξ0+ξ1+…+ξn-1=S-2ξ0

(17)

(18)

對(duì)于ξ0…ξN-1的每一個(gè)排列，將產(chǎn)生不同的∑β(m,i)ξm和ei(i∈IN-1),選取i使得β(0,i)=…=β(k,i)=1,β(k+1,i)=…=β(N-1,i)=-1，有

再選取另外一個(gè)i使得β(0,i)=…=β(N-1,i)=1，有

若密度函數(shù)ρ(x)是[0,1]上的偶函數(shù)，即ρ(x)=ρ(1-x)，且邊界條件為：

y′(0)-hy(0)=0,y′(1)+hy(1)=0

(20)

則有如下結(jié)論成立：

證明 令t=1-x,z(t)=Ψ(1-t)，則有Ψ(x)=Ψ(1-t), 故z′(t)=-Ψ′(t),z″(t)=Ψ″(x)，所以有

z″(t)+λρ2(1-t)z(t)=0

(21)

再由ρ(t)=ρ(1-t)，方程(21)變?yōu)?/p>

z″(t)+λρ2(t)z(t)=0

(22)

由(20)可得

z′(0)-hz(0)=0,z′(1)+hz(1)=0

(23)

所以Ψ(1-x)=CΨ(x).由Ψ(0)=Ψ(1-1)=CΨ(1),Ψ(1)=Ψ(1-0)=CΨ(0) 得C2=1.

根據(jù)特征函數(shù)的振動(dòng)性可知：對(duì)應(yīng)于λ2n+1的特征函數(shù)Ψ(x,λ2n+1)有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)C=1,所以有Ψ(1-x)=Ψ(x)，即Ψ(x)是偶函數(shù)；對(duì)應(yīng)于λ2n的特征函數(shù)Ψ(x,λ2n)有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故此時(shí)C=-1,所以有Ψ(1-x)=-Ψ(x)，即Ψ(x)是奇函數(shù).得證.(可參考文獻(xiàn)[8]).

參考文獻(xiàn)

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