曲率撓率的估計算法及其工藝嵌入

方麗菁， 盧衛(wèi)君， 黃文鈞

（廣西民族大學數(shù)學與計算機科學學院，廣西 南寧 530006）

曲率撓率的估計算法及其工藝嵌入

方麗菁， 盧衛(wèi)君， 黃文鈞

（廣西民族大學數(shù)學與計算機科學學院，廣西 南寧 530006）

幾何處理和計算機視覺的很多應用依賴于幾何性質(zhì)，尤其是曲線的曲率和撓率。論文對非參數(shù)化的曲線提出了曲率和撓率的離散估計公式，以及消除噪音干擾的加權因子算法。還通過Maple程序，篩選統(tǒng)計出常見曲線的部分曲率和撓率參考值，提出理想曲率的大致范圍和理想撓率的大致范圍，并考慮嵌入到特定的工藝品中實驗。

曲率估計算法；撓率估計算法；理想的曲率和撓率；工藝嵌入

曲線的幾何性質(zhì)是幾何處理中著重采掘的特性，它們直接導致在機械視覺[1]和計算機圖形學[2]的應用。在平面的情形，許多應用基于區(qū)域的曲率性質(zhì)，比如曲線逼近[3]，幾何壓縮[2]，尤其是Attneave在早期文獻后興起的角點檢測[4]。在三維空間情形，蘊含重要性質(zhì)的曲率和撓率允許我們描述一條空間曲線如何彎曲和扭曲，因為曲率表征曲線在平面里的彎曲程度，而撓率表征曲線脫離既定平面的扭曲程度。曲率和撓率估計問題，一些學者已陸續(xù)提出些方法: Mokhatarian的高斯光滑法，通過撓率公式進行撓率估計[5]；Kehtarnavaz的B-樣條技術[6]；Lewine的加權最小二乘擬合技術[2]；Raluben Medina提出的傅里葉變換法和最小二乘擬合法[7]，估計曲線上每一點的曲率值和撓率值。這些方法可應用于醫(yī)學成像的動脈描述。文獻[8]提出一種新穎的辦法，基于空間曲線的局部幾何參數(shù)化，將曲線分解成若干極大模糊片段的離散幾何結(jié)論[9-11]擴充到 3D離散型的曲率和撓率估計量。本文給出了3D曲線的一種離散的曲率和撓率估值公式，并參考文獻[2, 8]兩種算法以達到精度要求和消除噪音。此外我們通過對現(xiàn)有常見的曲線，通過Maple程序，篩選統(tǒng)計出比較理想的曲率和撓率參考值及對應一些特殊曲率和撓率的曲線圖庫，提出理想曲率大致范圍在 0.0～2.0之間，理想撓率大致范圍在-0.5～0.5之間。我們嘗試利用理想曲率和撓率范圍繪制些帶有特定曲率值或撓率值的近似曲線，希望嵌入到特定的工藝品中，以便對比實際效果。

1 曲線的曲率和撓率算法

正則曲線 r( t)的曲率和撓率有以下相應的計算公式[12-13]

命題 1 對于未知參數(shù)表示的曲線C，在其上任取依次相鄰的4個點 P1,P2,P3,P4。那么在點P2的近似曲率和在點 P3的近似撓率分別由下面式子給出

證明：設 P1T1, P2T2,P3T3分別是過點P1,P2和P3的切線，l(Pi,Pj)表示沿C從 Pi到 Pj的弧長。假設 l(P1,P2) = l(P2,P3)=Δs ，

注意到 Δs→ 0時， Δ? → 0，我們有

于是得到點 P2的曲率近似估計為（3）。

由于在 P3處的撓率表征了兩個密切平面Δ P1P2P3和 Δ P2P3P4之間相對于弧段 P2P3的偏離程度，記 Δψ 為這兩個密切平面的法向量P1P2×P2P3與 P2P3×P3P4的夾角，則有這樣我們得到點 P3的撓率近似估計（4）。

以上給出的算法也許比較粗糙，為達到一定的精度要求，我們可以通過多點估值加以平均化。

2 曲率和撓率加權估計算法[2,8]

對于空間輪廓曲線 r(t) =(x (t),y(t),z(t ))，假定它是至少 C3的正則曲線，但 x(t),y(t),z(t)并未已知。不妨假定 P0=r( 0)， P0與鄰接的2q個點組成一個抗噪音區(qū)間 {P?q,P?q+1,…,P0,… ,Pq?1,Pq}。由于 r( t)在 t= 0處的Taylor展式為

根據(jù)曲率公式（1）和撓率公式（2），只要求解出3個未知量r0′ =r′ (0),r0′ =r′ (0),r0′=r0′ ′(0)，就可計算出近似曲線r1(t)在 t= 0處的曲率 k1(0)和撓率τ1(0)，進一步可計算出原曲線 r( t)在 t= 0處的曲率 k (0)和撓率τ( 0)。容易驗證 k (0) = k1(0)，τ( 0) = τ1(0)。有些文獻為了計算方便，直接取在本文我們采用加權因子算法。

2.1 曲率加權估計的算法

首先考慮通過加權最小二乘法得到 r0′ = r′(P0), r0′ =r′ (P0)的估計，然后根據(jù)（1）及曲率不依賴坐標選取便得到曲率的估值。計算 r0′ ,r0′的分量x0′,x0′,y0′,y0′,z0′和 z0′，充分利用 P0點鄰近的2 q+1個點 {P?q,P?q+1,… ,Pq}共同參與計算，以有效地消除了噪聲干擾。

點 Pi的權重 wi必須是正數(shù)，且相對于(si為從點 P0到點 Pi的弧長)成反比例關系。例如，考慮加權因子的形式為 w= αexp(? β s2)/sk或簡單

i ii取wi= 1。令 Δlk表示向量 PkPk+1的長度，k=?q,? q +1,… ,q ，則si可以由（ i＞0）和來估計。

其次，由式(5)～(7)得到 r( t)在 P0點的導數(shù)估計r0′,r0′，（1）給出曲率估計。

2.2 撓率加權估計的算法

假定P0=r( 0)，遵循文獻[2]的方法，找出x0′,x0′和 x′(0 )使得x?分量加權方差函數(shù)

的逆矩陣解得，這里新的量

類似地，考慮 y0′ ,y0′ ,y0′和 z0′,z0′z0′分別對應的y?分量和z?分量加權最小二乘方程

這樣通過加權最小二乘方程組（8）～（10），得到 r( t)在 P0點的一階、二階和三階導數(shù)估計r0′,r0′,r0′，（2）給出撓率估計。

血清HDL-C水平反映了遺傳和環(huán)境因素間的相互作用，據(jù)研究報道，50%以上人類HDL-C水平的變異由遺傳因素所引起［4］。DNA甲基化是一種可遺傳性的、與心腦血管危險因素相關的可修飾的表觀遺傳標記，而且人類基因組約70%的CpG位點存在甲基化。脂質(zhì)代謝的調(diào)控基因眾多，本研究的目的是識別與血清脂質(zhì)水平相關的DNA甲基化差異位點。本研究通過在新疆維吾爾族、哈薩克族、漢族自然人群中的研究發(fā)現(xiàn)，新疆維吾爾族、哈薩克族老年低高密度脂蛋白膽固醇血癥可能與RANK基因甲基化率變異有關，RANK基因甲基化率增高可能是低高密度脂蛋白膽固醇血癥的危險因素。

算法1實現(xiàn)撓率的估計，提供了估計曲率、撓率及3個基本向量的一種方法。知道了3個基本向量，我們便于以它們?yōu)樾碌淖鴺藰思埽嫵鼋魄€ r1(t)，具體見第4節(jié)。

Algorithm 1 Estimate torsion for space curves算法1 空間曲線的撓率估計1: call Set 3D Weighted Least Squares Variables; 2: call SOLVE■■■■■ ′′′■■■■■■■■■ ′ ′ ′■■■■■■■ ′ ′ ′■■= aaaxyz aaaxyz aaaxyz 124000 235000 456000■bbb bbb bbb■■■■xyz xyz xyz ,1 ,1 ,1 ,2 ,2 ,2 ,3 ,3 ,3■■3: k = r′ ×r′ r′ ; 3 4: r r r r r ; 5: τ =′×′?′ ′×′′() 2 T r r ; 6: ( ) =′′N r rTT; 7: =′? ′?N N N; 8: B = T ×N; =

3 由初始的曲率值和撓率值畫出近似曲線

如果給定了某未知曲線的自然方程，即曲率函數(shù)和撓率函數(shù)，那么根據(jù)曲線論基本定理，我們通過Frenet公式得到這條曲線滿足的常微分方程組

看作向量形式的 12個未知實函數(shù)，弧長s ∈ [a,b]，任意給定的初始值 r0,t0,n0,b0滿足r( s)=r0, t( s) =t0, n (s0) =n0, b (s0)=b0且t0,n0,b0為右手系、單位正交。一般來說，這樣的微分方程組的求解過程是比較困難，但有些時候即使不存在顯式解，但其數(shù)值解也能產(chǎn)生一個解曲線。由于近十多年來計算機代數(shù)系統(tǒng)的發(fā)展，一般我們也可以做到這一點。比如運用Maple解給定曲率和撓率函數(shù)的微分方程組（11），其相關程序可參見文獻[12]，可以得到相應的解析曲線，進而繪制出曲線。

現(xiàn)實中我們碰到且感興趣問題，多數(shù)并不是給定一定區(qū)域內(nèi)的曲率和撓率函數(shù)，而是隨機或離散的輸入特定的初始曲率值和撓率值，這樣的曲線如何繪制出來？我們結(jié)合文獻[13]相關思想整合出下面命題。

命題 2 給定兩個數(shù) κ0＞ 0,τ0，則存在一條空間三次曲線

使得在參數(shù) s= 0處它的曲率和撓率分為κ( 0)=κ0和τ ( 0)= τ0。

繪制給定曲率值和撓率值的局部近似曲線（12），我們可以先繪制它在 3個坐標平面的投影曲線圖[13]，然后合成為空間 R3中的曲線。

4 理想的曲率和撓率的工藝嵌入

4.1 理想的曲率和撓率變動區(qū)間

對于一些常見的曲線，我們通過Maple程序（見[12]）計算下述一些特定曲線在某些特殊點的曲率和撓率

等。經(jīng)過統(tǒng)計分析這些常見曲線的曲率撓率數(shù)據(jù)，得出曲線比較理想的曲率和撓率的取值范圍：理想曲率大致范圍在 0.0～2.0之間，理想撓率大致范圍在-0.5～0.5之間。

這里所謂的理想是指幾何外形的光滑和順眼即美觀問題[14]。比如按鼻子的美學標準，理想的鼻梁形態(tài)是在睜眼時重瞼線的高度開始到鼻尖形成溫柔的曲線輪廓（見圖1）。理想的鼻尖曲率半徑為8～12毫米，8毫米以下、12毫米以上均不理想，亦即鼻尖的理想曲率為0.0833～0.125之間。又如DNA超螺旋線的曲率撓率, 有人給出了兩組曲率和撓率的特殊值(κ,τ)=(1.998,0.0132)和(κ,τ)= (7.9854,0.2139)[15]；還有人通過采樣計算得到羊毛纖維形的平均曲率為 0.64mm?1，平均撓率為 0.09mm?1[16]。

至于這些數(shù)據(jù)的精度還有待進一步通過更多的曲率撓率數(shù)據(jù)庫以及實驗檢驗的反饋來修正。

圖1 鼻梁輪廓線的美學對比

4.2 嵌入實例

我們的目標或想法，建立一定量的曲率和撓率大致理想的范圍，以及它們相應的曲線段圖像，根據(jù)工藝的特性和我們預備賦予的幾何表現(xiàn)力，粘貼上帶有特定的曲率撓率曲線加以改良。對于一些物件，如垃圾桶、裝飾鐘、瓶子、水龍頭、TOTO小便斗、凳子、簡易衣架等，考慮在某些局部上采用挖補匹配的手法嵌入這樣具有理想的曲率和撓率的輪廓線，從而構建出新穎的曲撓造型。

我們想做幾個實驗：

實驗 1 按曲率0.0833～0.125在指定的人臉上構建鼻梁，特別是鼻梁的輪廓線，變換幾種模型，供矯正者選擇。通過曲線方程（12）輸入τ0= 0,κ0= 0.0833～0.125之間的幾個數(shù)，容易得到所謂理想的鼻梁輪廓線（如圖2）。

圖2 帶有理想曲率的鼻梁輪廓線

實驗 2 輸入 κ0在0.0～2.0之間的若干數(shù)值，及τ0取-0.5～0.5之間的數(shù)值，通過方程（12）看哪些局部生成的曲線跟下面的扭曲長椅圖3吻合，嵌入特定點處的曲率和撓率值的片段曲線加工整合出新型的扭曲長椅, 這樣的扭曲長椅置于戶外，為陌生的人提供不同的空間，誰也不用礙著誰。

圖3 扭曲的長椅

5 結(jié)論與展望

我們想開展的工作，建立曲率和撓率局部圖庫，結(jié)合帶有加權的曲率撓率估計算法，通過近似曲線，實現(xiàn)在特定工藝的某些局部作嵌入曲率和撓率的手術，使其更加突出包裝的性能，更富有觀賞性。由于設備和技術上的問題，我們的嵌入實驗還不是很成熟。此外，我們同樣碰到紋理圖像分割處理的困難[17]，如何將圖像中屬于同一種紋理的像素映射為相似的矢量，進一步將矢量映射為類別標號，實現(xiàn)從特征集合到分割結(jié)果的轉(zhuǎn)化，局部上如何做些小手術嵌入我們希望的曲率和撓率。這些棘手的問題，我們正考慮采納顧險峰和丘成桐等提出的紋理映射方法來探索[18]。

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Estimate algorithms and embedded crafts of curvature and torsion

Fang Lijing, Lu Weijun, Huang Wenjun
( College of Mathematics and Computer Science, Guangxi University for Nationalities, Nanning Guangxi 530006, China )

Many applications of geometry processing and computer vision rely on geometric properties of curves, particularly their curvatures and torsions. This paper proposes some methods to estimate the curvature and the torsion, based on some algorithms for weighted least-squares fitting and local arc-length approximation in order to eliminate noises. By Maple procedure, statistical analysis of some selected common curves is carried out to get partial values of their curvatures and torsions, and then an approximate interval about ideal curvatures and ideal torsions is put forward. Furthermore, several test models for embedding specific ideal curvature or ideal torsion in crafts are taken into account.

curvature estimation algorithm; torsion estimation algorithm; ideal curvature and torsion; embedded craft

O 186.11; TP 391.72

2095-302X (2012)02-0009-05

2011-09-30

廣西自然科學基金資助項目（桂科基0448019）

方麗菁（1960-），女，廣西南寧人，副教授，主要研究方向為現(xiàn)代微分幾何。