利用延時(shí)預(yù)處理的DOA估計(jì)方法

司偉建，林晴晴

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

波達(dá)方向(direction of arrival，DOA)估計(jì)是陣列信號處理領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向，在雷達(dá)、聲吶、通信及醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景.其中子空間類測向算法因其可同時(shí)對多個(gè)到達(dá)信號進(jìn)行測向，測角精度也遠(yuǎn)高于的傳統(tǒng)測角方法而成為研究熱點(diǎn).MUSIC算法［1］是其中一種經(jīng)典的子空間類算法，該算法主要是利用噪聲子空間與信號子空間的正交性進(jìn)行DOA估計(jì).由MUSIC算法的分辨力門限［2-3］可知，其分辨力與信噪比、快拍數(shù)等因素有關(guān)，而在實(shí)際測向系統(tǒng)中這些影響因素均受到條件限制［4］，因此也限制了MUSIC算法的分辨力.基于四階累積量的波達(dá)方向估計(jì)方法［5-6］可以提高陣列的分辨力，但是四階累積量協(xié)方差矩陣的構(gòu)造以及新陣列流型的譜峰搜索過程非常復(fù)雜.文獻(xiàn)［7］提出的算法提高了陣列的分辨力，但是需要先估計(jì)變換矩陣，計(jì)算變得復(fù)雜，且對變換矩陣的估計(jì)精度會影響DOA估計(jì)的精度.經(jīng)典MUSIC算法利用零延遲相關(guān)函數(shù)計(jì)算接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣，隱藏在非零延遲相關(guān)函數(shù)中的信息沒有得到充分利用.文獻(xiàn)［8］利用高階累積量算法將延遲相關(guān)函數(shù)應(yīng)用于波達(dá)方向估計(jì)的預(yù)處理中，但基于高階累積量測向算法的計(jì)算量卻增大很多.劉劍等［9-10］利用延遲相關(guān)函數(shù)及其共軛信息提出了二階預(yù)處理的SO-CAM算法，但是僅利用了部分相關(guān)信息.本文提出了一種利用延時(shí)預(yù)處理的DOA估計(jì)方法，引入變尺度混沌優(yōu)化算法來簡化空間譜函數(shù)的構(gòu)造和譜峰搜索過程，在保證一定的測角精度的情況下減少算法的計(jì)算時(shí)間.

1 信號模型

假設(shè)有D個(gè)窄帶不相關(guān)的信號從遠(yuǎn)場入射到空間M元陣列上，第i個(gè)信號的入射角度信息為(θi，φi)，噪聲是均值為零、方差為σ2加性高斯白噪聲.以原點(diǎn)為參考點(diǎn)，第m個(gè)(m=1，2，…，M)陣元的位置為(xm，ym)，其接收數(shù)據(jù)為

式(1)寫成矩陣矢量形式:

式中:X(t)為陣列的M×1維接收數(shù)據(jù)矢量，S(t)為空間信號的D×1維矢量，N(t)為陣列的M×1維噪聲數(shù)據(jù)矢量，A=［a1a2…aD］為陣列的M×D維流型矩陣，且

陣列輸出的協(xié)方差矩陣為

式中:Rs=E［S(t)SH(t)］為信號協(xié)方差矩陣，σ2I為噪聲協(xié)方差矩陣.

對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解有

式中:λi為特征值，對其進(jìn)行由大到小排序:λ1≥…≥λD≥λD+1≥…≥λM;ΛS=diag(λ1，…，λD)是前D個(gè)大特征值構(gòu)成的對角陣，US=［e1，…，eD］是由其對應(yīng)的特征向量張成的信號子空間;ΛN= diag(λD+1，…，λM)是由后M－D個(gè)小特征值構(gòu)成的對角陣，UN=［eD+1，…，eM］是由其對應(yīng)的特征向量張成的噪聲子空間.由

構(gòu)造MUSIC算法的空間譜估計(jì)函數(shù)，通過搜索其極值點(diǎn)得到入射信號的波達(dá)方向.

2 利用延時(shí)預(yù)處理的DOA估計(jì)方法原理

MUSIC算法理論上有優(yōu)良的分辨性能，但是在實(shí)際測向系統(tǒng)中，由于信噪比及快拍數(shù)都有限，限制了MUSIC算法的分辨率和測角精度.本文提出的基于陣元間接收數(shù)據(jù)的延時(shí)相關(guān)函數(shù)的DOA估計(jì)算法，充分利用了蘊(yùn)含在接收數(shù)據(jù)的延時(shí)相關(guān)函數(shù)中的信號角度信息，可以有效提高陣列的分辨率和測角精度.

構(gòu)造任意2個(gè)陣元(第m和第n個(gè)陣元，m，n= 1，2，…，M)接收數(shù)據(jù)的延時(shí)相關(guān)函數(shù)為

式中:Rsi(τ)=E［si(t)(t－τ)］為入射信號si(t)的自相關(guān)函數(shù);Rnmnn(τ)=E［nm(t)(t－τ)］為噪聲的互相關(guān)函數(shù).

當(dāng)存在一定的時(shí)延τ時(shí)，這里可以令時(shí)延τ遠(yuǎn)小于入射信號帶寬的倒數(shù)，在時(shí)間τ內(nèi)入射信號包絡(luò)的變化可以忽略，而噪聲不再具有相關(guān)性，此時(shí)信號和噪聲存在一個(gè)可分離特性.在實(shí)際系統(tǒng)中，信號在時(shí)間上具有相關(guān)性，當(dāng)接收機(jī)的帶寬較寬時(shí)，噪聲的功率譜近似為一條直線，在時(shí)間上可以認(rèn)為噪聲是不相關(guān)的，因此有

則式(7)可以寫為

式中:RS(τ)=［Rs1(τ)Rs2(τ) … RsD(τ)］T，Cm，n=［exp{－j(μm1－μn1)} … exp{－j(μmD－μnD)}］.

可以將Cm，n寫成2個(gè)矩陣相乘的形式，即

式中:Bn=diag(exp(jμn1)，exp(jμn2)，…，exp(jμnD))為對角陣，Am為陣列流型矩陣 A的第m行，且Am=［exp(－jum1)，exp(－jum2)，…，exp(－jumD)］.

由此可得陣元間的延時(shí)相關(guān)函數(shù)為

式中:Yk(τ)為Y(τ)的第k列(k=1，2，…，M)數(shù)據(jù)，結(jié)合式(10)可得

由延時(shí)相關(guān)函數(shù)構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣為

式中:RSS=E［RS(τ)R(τ)］為信號的協(xié)方差矩陣，為經(jīng)過延時(shí)相關(guān)處理的信號的協(xié)方差矩陣.由上式看到新的協(xié)方差矩陣不受加性高斯白噪聲的影響，即本算法可以有效地抑制噪聲.

對比式(4)，經(jīng)過延時(shí)相關(guān)處理得到的協(xié)方差矩陣保留了原協(xié)方差矩陣的流型矩陣，改變了信號的協(xié)方差矩陣，這對信號子空間與噪聲子空間的構(gòu)成沒有影響，因此可以利用子空間類算法估計(jì)信號的到達(dá)角.

經(jīng)過延時(shí)相關(guān)處理得到的協(xié)方差矩陣充分利用了所有陣元間的延時(shí)相關(guān)信息，增加了協(xié)方差矩陣的信息量，可以有效提高陣列的分辨率和測角精度.

實(shí)際接收數(shù)據(jù)是有限長的，因此得到的協(xié)方差矩陣為其估計(jì)值，即式(8)右側(cè)不為零，但是其值為接近于零的一個(gè)很小的值，噪聲項(xiàng)依然可以得到有效抑制.設(shè)一次估計(jì)所用的快拍數(shù)為N，則數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì)為

對式(14)進(jìn)行特征分解，得到M個(gè)特征值并由大到小進(jìn)行排序，取M－D個(gè)小特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)成噪聲子空間U^N.

空間譜估計(jì)函數(shù)的構(gòu)造和譜峰搜索過程是一個(gè)復(fù)雜且耗時(shí)的過程，影響著信號波達(dá)方向估計(jì)的測角精度和實(shí)時(shí)性.為了解決該問題，引入混沌優(yōu)化的思想，用變尺度混沌優(yōu)化算法［11-12］來簡化空間譜函數(shù)的構(gòu)造和譜峰搜索過程.具體過程如下:

采用Logistic映射產(chǎn)生混沌變量:

1)初始化.設(shè)置循環(huán)數(shù)L和N，以及搜索到較優(yōu)值的次數(shù)K，令k=0.在［0，1］內(nèi)隨機(jī)選取i個(gè)(i= 1，2，…，D)微小差異的初始值xi，0，并令=xi，0，優(yōu)化變量區(qū)間［ci，bi］，設(shè)置優(yōu)化函數(shù)的初始值p*(x)為一個(gè)較小的數(shù);

2)把xi，n分別映射到對應(yīng)的定義域中:xi，n'= ci+xi，n(bi－ci)，將其代入到優(yōu)化函數(shù)中并進(jìn)行比較:若p(xi，n')＞p*(x)，則令p*(x)=p(xi，n')，;若k≥K，則轉(zhuǎn)入步驟4)，否則進(jìn)入步驟3).

這里的優(yōu)化函數(shù)由式(6)來計(jì)算，即優(yōu)化函數(shù)可以寫為

3)將xi，n代入Logistic式中得到:

5)令m=m+1.如果m＜L，則令ci=ci'，bi= bi'，并且返回步驟2)，否則進(jìn)入步驟6);

6)滿足搜索停止條件，從較小的p*(x)中得到最優(yōu)參數(shù)值.

傳統(tǒng)的譜峰搜索過程計(jì)算量很大，尤其對于二維DOA估計(jì)，需要在方位角和仰角范圍內(nèi)計(jì)算空間譜函數(shù)值，然后進(jìn)行譜峰搜索，也就是將某一譜函數(shù)值與相鄰的4個(gè)值不斷的進(jìn)行比較來找出譜峰值.并且需要設(shè)置合適的角度搜索步長，搜索步長的大小與計(jì)算時(shí)間成反比.步長設(shè)置較小可以保證高的測角精度和分辨率，但是計(jì)算時(shí)間會急劇增大;步長較大可以縮短計(jì)算時(shí)間，但是測向性能會下降.而本文方法是通過生成混沌變量，將混沌引入到譜估計(jì)函數(shù)中，生成一個(gè)混沌狀態(tài)，最后利用變尺度混沌優(yōu)化算法來進(jìn)行譜估計(jì)函數(shù)的構(gòu)造和譜峰搜索便可得到入射信號波達(dá)方向.

總結(jié)本文算法具體步驟如下:

1)由式(7)、(11)計(jì)算陣元接收數(shù)據(jù)之間的延時(shí)相關(guān)函數(shù)，得到新的陣列輸出矩陣Y(τ).

4)用變尺度混沌優(yōu)化算法進(jìn)行譜峰搜索，得到入射信號的波達(dá)方向.

3 DOA估計(jì)算法性能仿真分析

通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所提出算法的性能，并與MUSIC算法及SO-CAM算法進(jìn)行比較，仿真過程中所采用的陣列形式為均勻分布在圓周上的5元陣，噪聲為加性高斯白噪聲.

3.1 分辨概率

對不同信噪比條件下的分辨概率進(jìn)行仿真，快拍數(shù)取300，進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)仿真結(jié)果如圖1;對不同快拍數(shù)條件下的分辨概率進(jìn)行仿真，信噪比取13 dB，進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)仿真結(jié)果如圖2.實(shí)驗(yàn)中分辨概率的定義為能夠正確分辨出所有角度的次數(shù)與實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比值.

圖1 分辨概率與信噪比的關(guān)系Fig.1 The relationship between resolution and SNR

圖2 分辨概率與快拍數(shù)的關(guān)系Fig.2 The relationship between resolution and snapshots

由圖1、2可以看出，3種算法對2個(gè)信號的分辨概率均隨著信噪比的增加而增大，隨著快拍數(shù)的增多而增大，相同條件下本文提出算法的分辨概率相對SO-CAM算法和MUSIC算法均有一定的提高.本文算法充分利用了所有陣元接收數(shù)據(jù)的延時(shí)相關(guān)函數(shù)的信息，對信息的利用更加充分，因此提高了二維入射信號的分辨概率.

3.2 測角精度

對不同信噪比條件下的均方根誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，快拍數(shù)取300，進(jìn)行100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)仿真結(jié)果如圖3;對不同快拍數(shù)條件下的均方根誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，信噪比取13dB，進(jìn)行100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)仿真結(jié)果如圖4.第i(i=1，2，…，D)個(gè)入射角的均方誤差定義為

由圖3、4可以看到，3種算法估計(jì)結(jié)果的均方誤差均隨著信噪比的增加而減小，隨著快拍數(shù)的增多而減小，同樣的條件下本文算法的均方誤差在3種算法中最小.本文算法相當(dāng)于利用了所有陣元接收數(shù)據(jù)的延時(shí)相關(guān)函數(shù)的信息，對信息的利用更加充分，進(jìn)而提高了測角精度.

圖3 均方誤差與信噪比的關(guān)系Fig.3 The relationship between estimated variance and SNR

圖4 均方誤差與快拍數(shù)的關(guān)系Fig.4 The relationship between estimated variance and snapshots

3.3 計(jì)算時(shí)間

變尺度混沌優(yōu)化算法進(jìn)行譜峰搜索時(shí)共有3個(gè)常數(shù):混沌搜索次數(shù)(內(nèi)循環(huán)次數(shù))、區(qū)間縮小次數(shù)(外循環(huán)次數(shù))和混沌搜索找到較優(yōu)值的次數(shù).通過大量的仿真證明，三者的取值范圍為100～1 000、 10～30、4～10時(shí)可以取得較好的效果.在仿真試驗(yàn)中，進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，對不同快拍數(shù)下的計(jì)算時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)取平均，結(jié)果如表1.

表1 不同快拍數(shù)的計(jì)算時(shí)間Table 1 Computing time of different snapshots ms

引入變尺度混沌優(yōu)化算法可以簡化空間譜函數(shù)的構(gòu)造和譜峰搜索過程，由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，本文算法的計(jì)算時(shí)間明顯減小.

4 結(jié)束語

本文提出了一種利用延時(shí)預(yù)處理的DOA估計(jì)方法，通過仿真實(shí)驗(yàn)表明:相比于傳統(tǒng)MUSIC算法，本文算法具有較好的分辨率和較高的測角精度，這是因?yàn)楸疚乃惴ɡ昧私邮諗?shù)據(jù)延時(shí)相關(guān)函數(shù)中蘊(yùn)含的信號入射角度信息，對信息的利用更充分;在保證一定的測角精度的情況下，本文算法減小了計(jì)算時(shí)間，這是由于變尺度混沌優(yōu)化算法簡化了空間譜估計(jì)函數(shù)的構(gòu)造和譜峰搜索過程，降低了運(yùn)算復(fù)雜度.

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