一類耦合KdV方程的孤波解和周期波解及其相互關(guān)系

張衛(wèi)國(guó)， 徐 偉， 李 想

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

1 問(wèn)題的提出

耦合KdV波動(dòng)方程［1］

可用來(lái)描述兩個(gè)內(nèi)部長(zhǎng)波之間相互作用的過(guò)程，其中α，β，λ，δ，ε為非零參數(shù).在變量ν＝0時(shí)，方程（1）可約化為在固態(tài)物理、等離子物理、流體物理和量子理論等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用的KdV方程［2－7］.

近年來(lái)，多位學(xué)者研究了方程（1）的孤波解求解問(wèn)題.陸寶群等分別利用待定系數(shù)法和函數(shù)展開(kāi)法求得了方程（1）的精確孤波解［8－9］；Ito［10］運(yùn)用循環(huán)算子推出了當(dāng)α＝δ＝－2，β＝－6，ε＝0時(shí)，耦合方程

具有無(wú)限多的對(duì)稱性；葉彩兒［11］證明了當(dāng)α＝β＝λ＝δ＝ε＝1時(shí)，耦合方程

具有Painleve性質(zhì)，在Painleve性質(zhì)下可積，并通過(guò)自Backlund變換求出了方程（3）的孤立波解和奇異行波解.

然而以往文獻(xiàn)沒(méi)有給出過(guò)方程（1）孤波解唯一性的結(jié)論，也沒(méi)有研究過(guò)方程（1）的孤波解與周期波解之間的關(guān)系.現(xiàn)運(yùn)用平面動(dòng)力系統(tǒng)方法研究耦合KdV波動(dòng)方程（1）的孤波解、周期波解的存在性，給出孤波解唯一性的結(jié)論，并分別運(yùn)用假設(shè)待定法和首次積分法求出這兩種解的精確解，還進(jìn)一步研究這兩種解的相關(guān)性.目前研究非線性發(fā)展方程孤波解與周期波解之間相互關(guān)系的文獻(xiàn)還比較少，這種研究在理論和應(yīng)用上顯然是有意義的，因?yàn)樗山沂緟?shù)的變化對(duì)解的影響，加深人們對(duì)非線性波動(dòng)的認(rèn)識(shí)，并給非線性波動(dòng)的控制提供有益的信息.

文中首先運(yùn)用平面動(dòng)力系統(tǒng)理論和方法對(duì)方程（1）的行波解進(jìn)行定性分析，給出不同參數(shù)下的全局相圖，說(shuō)明在一定條件下該方程只存在唯一的鐘狀孤波解，而同時(shí)卻有無(wú)窮多個(gè)周期波解.其次分別運(yùn)用待定系數(shù)法和首次積分法求出該方程鐘狀孤波解和周期波解的精確表達(dá)式，并直觀指出它們所對(duì)應(yīng)的解軌線在全局相圖中的位置.隨后討論了方程孤波解與Jacobi橢圓函數(shù)型周期波解的關(guān)系，即當(dāng)模數(shù)k趨近于1時(shí)，Jacobi橢圓函數(shù)周期波解逐漸擴(kuò)張演變?yōu)殓姞罟虏ń?最后作出了Jacobi橢圓函數(shù)周期波解向鐘狀孤波解演變的三維示意圖.

2 方程（1）有界行波解的定性分析

設(shè)方程（1）有行波解u（x，t）＝u（ξ）＝u（x－ct），ν（x，t）＝ν（ξ）＝ν（x－ct），將其代入方程（1）中，可得

將上式積分一次，可得

其中，E1，E2為積分常數(shù).由式（4）中第二個(gè)式子，可知

為使得u（ξ）處處正則，現(xiàn)取E2＝0，這等價(jià)于u（ξ），ν（ξ）當(dāng)?shù)臉O限滿足

將式（6）代入式（4）中第一個(gè)式子，可得

其中

這樣，在積分常數(shù)E2＝0的條件下就將求方程（1）孤波解和周期波解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了式（6）和式（7）.由于式（6）中u（ξ）滿足方程（7），故對(duì)方程（7）解的性態(tài)和求解的研究是本文的關(guān)鍵.現(xiàn)在研究方程（7），令x＝u（ξ），y＝u′（ξ），則方程（7）可轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的平面動(dòng)力系統(tǒng)

在（x，y）平面上，系統(tǒng)（9）有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)依賴于方程f（x）＝lx2＋mx＋p＝0的實(shí)根的個(gè)數(shù).記f（x）＝0的判別式為Δ＝m2－4lp.易知該方程在Δ＝0時(shí)有一個(gè)實(shí)根，在Δ＜0有兩個(gè)共軛復(fù)根，在Δ＞0有兩個(gè)不等的實(shí)根.因現(xiàn)只考慮系統(tǒng)（9）的有界行波解，所以始終假設(shè)Δ＞0.設(shè)方程f（x）＝0的實(shí)根為a1，a2，分別為當(dāng)l＞0時(shí)，a1＜a2；當(dāng)l＜0時(shí)，a1＞a2.記系統(tǒng)（9）在奇點(diǎn)Pi（ai，0）（i＝1，2）處的Jacobi矩陣為

顯然，系統(tǒng)（9）是Hamilton系統(tǒng)，有首次積分

由Liouville定理的推論可知，Hamilton系統(tǒng)不可能存在漸近穩(wěn)定與不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)（焦點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)），平衡點(diǎn)只能是中心或鞍點(diǎn)；也不可能存在漸近穩(wěn)定與不穩(wěn)定的極限環(huán)，只可能存在簡(jiǎn)單閉軌.在典型的Hamilton系統(tǒng)中，只可能存在有限個(gè)平衡點(diǎn)，但可以有無(wú)窮多個(gè)周期閉軌.

對(duì)系統(tǒng)（9）作Poincare變換，可得系統(tǒng)（9）在y軸上各存在一對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)Ai（i＝1，2），且在Ai周圍各存在一個(gè)拋物型區(qū)域.另外，Poincare圓盤的圓周為軌線.

由上述分析，可得到系統(tǒng)（9）的全局相圖，如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)（9）的全局相圖Fig.1 Global phase portraits of system（9）

由相圖1，可得到下列命題.

命題1 設(shè)l≠0，除去奇點(diǎn)P1，P2和軌線L（P1，P1）以及由L（P1，P1）包圍的閉軌線外，系統(tǒng)（9）的其它軌線均是無(wú)界的，并且這些軌線上的點(diǎn)的x坐標(biāo)值和y坐標(biāo)值也均是無(wú)界的.

證明 設(shè)l≠0，除去奇點(diǎn)P1，P2和軌線L（P1，P1），L（P2，P2）以及這些軌線周圍的閉軌線外，系統(tǒng)（9）的其它軌線均是無(wú)界的，它們?cè)冢迺r(shí)，或者趨于A1或者趨于A2.因此，這些軌線上的y坐標(biāo)值一定是無(wú)界的.下面用反證法證明這些軌線上的x坐標(biāo)值也是無(wú)界的.設(shè)這些軌線上的點(diǎn)的x坐標(biāo)值是有界的.一方面，由于軌線上的任意點(diǎn)的切線斜率滿足

命題2 設(shè)l≠0，系統(tǒng)（9）存在一條同宿軌道和無(wú)窮多條閉軌線（見(jiàn)圖1）.

考慮到平面動(dòng)力系統(tǒng)（9）中的同宿軌對(duì)應(yīng)方程（1）的鐘狀孤波解，閉軌對(duì)應(yīng)方程（1）周期行波解，因此由命題1、命題2和全局相圖1，可得如下定理.

定理1 設(shè)積分常數(shù)E2＝0，若行波波速c和積分常數(shù)E1滿足m2－4lp＞0，則方程（1）存在唯一的鐘狀孤波解（對(duì)應(yīng)于同宿軌道L（P1，P1））和無(wú)窮多個(gè)周期行波解.

由于所討論的方程（1）中參數(shù)α，β，λ，δ，ε都是非零的，故命題1和命題2中假設(shè)l≠0自然成立.

3 方程（1）的鐘狀孤波解

受文獻(xiàn)［12］的啟發(fā)，方程（7）有解

其中，A，B，s，D待定.將式（11）代入方程（7）中，根據(jù)es（ξ＋ξ0）（s＝0，1，2，3，4，5，6）的線性無(wú)關(guān)性，并經(jīng)化簡(jiǎn)得到A，B，s，D滿足的方程組

解方程組（12），可得下列兩組解

又因?qū)⑹剑?4）中各數(shù)值代入式（11），可得方程（7）的解為

經(jīng)判定，此解不是有界行波解，故可將其排除.

綜合上面計(jì)算和前面的定性分析的結(jié)果，可得到下面關(guān)于方程（1）鐘狀孤波解的定理.

定理2 假設(shè)定理1中條件成立，則方程（1）的唯一鐘狀孤波解為

其中，l，m，p由式（8）給定.孤波解（u（ξ），ν（ξ））中的u（ξ）對(duì)應(yīng)于圖1中的同宿軌L（P1，P1）.

定理2中的唯一性，已由定理1給出.另外因?yàn)閟echx是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)的解與k＝時(shí)的解相同.

易驗(yàn)，本文所求孤波解與文獻(xiàn)［8］用函數(shù)展開(kāi)法所求方程（1）的鐘狀孤波解是等價(jià)的.文獻(xiàn)［9］用待定系數(shù)法所求鐘狀孤波解是本文所研究方程（1）的鐘狀孤波解式（15）和式（16）在m2－4lp＝16，E1＝E2＝0時(shí)的情況.文獻(xiàn)［10］中通過(guò)自Backlund變換求得方程（3）的孤波解是本文研究的方程（1）在α＝1，β＝1，λ＝1，δ＝1，ε＝1，即l＝5／2，m＝－5c時(shí)的特殊情況.用定性分析及假設(shè)待定結(jié)合方法的好處在于：利用定性分析的結(jié)果，可以清楚地看出方程（1）有界行波解存在的個(gè)數(shù)和大致形態(tài)，可以很直觀地指出用假設(shè)待定方法求出的方程（1）的有界行波解對(duì)應(yīng)的解軌線在全局相圖中的位置，兩者之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

4 方程（1）的周期波解

現(xiàn)結(jié)合前面定性分析中的部分結(jié)論，通過(guò)適當(dāng)變換并運(yùn)用首次積分方法對(duì)方程（1）的周期波解進(jìn)行求解.

由對(duì)方程（1）有界行波解的定性分析中可知，平面動(dòng)力系統(tǒng)（9）是Hamilton系統(tǒng)，且具有首次積分式（10），式（10）即為系統(tǒng)（9）的Hamilton函數(shù).以l＜0的情形為例，求出對(duì)應(yīng)圖1（b）中同宿軌道所圍中心的閉軌線對(duì)應(yīng)的周期波解，對(duì)于l＞0情形的結(jié)論可類似得到.

設(shè)（a，0）為周期軌道與x軸的交點(diǎn)，由于在對(duì)稱同宿軌道內(nèi)包圍中心的同一周期軌道上點(diǎn)的Hamilton量相等，即于是，有

可證得Hamilton量的取值范圍為

其中

由式（17），可得

對(duì)上式積分一次，可得

易驗(yàn)，在Δ＝m2－4lp＞0和h1滿足式（17）條件下，F(xiàn)（x）＝0有3個(gè)實(shí)根e1，e2，e3，它們由l，m，p，h1確定，故F（x）可寫成F（x）＝（x－e1）（x－e2）（x－e3）.當(dāng)l＜0時(shí)，有e3＜a2＜e2＜a1＜e1，且在（e3，e2）及（e1，＋∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞0，此時(shí)為求出有界的周期波解，應(yīng)限制x在（e3，e2）內(nèi)取值，如圖2所示.現(xiàn)取α＝e3，并令

將式（22）代入式（20），可得

圖2 F（x）＞0的范圍Fig.2 Range of F（x）＞0

利用橢圓函數(shù)cn（ζ，k）的微分公式

令t＝cn（ζ），則式（24）變?yōu)?/p>

考慮到cn（0）＝1，由式（25），有

將式（26）代入式（23）中，立即有

將其代入式（22），得到方程（7）的周期波解

同理，當(dāng)l＞0時(shí)，圖1（a）中同宿軌道所圍中心的閉軌線對(duì)應(yīng)方程（7）的周期波解為

綜合上面的計(jì)算，可得到關(guān)于方程（1）的周期波解的如下定理.

定理3 設(shè)定理1中條件成立.則方程（1）有Jacobi橢圓函數(shù)周期波解

up（ξ）對(duì)應(yīng)于圖1（a），（b）中的同宿軌道L（P1，P1）所包圍中心奇點(diǎn)的閉軌線.

下面通過(guò)假設(shè)待定法求方程（7）的周期波解.受文獻(xiàn)［13］的啟發(fā)，假設(shè)方程（7）有解

將其代入到式（7）中，可求得

用首次積分法求解方程（1）的周期波解，主要目的在于以此說(shuō)明橢圓函數(shù)中的模數(shù)k與周期波解對(duì)應(yīng)的軌線和x軸的交點(diǎn)e1，e2，e3相關(guān)，從而k與方程（1）中的參數(shù)及波速等相關(guān).

5 方程（1）的孤波解和周期波解的關(guān)系

從全局相圖的角度觀察，方程（1）的孤波解（u（ξ），ν（ξ））中的u（ξ）對(duì)應(yīng)于全局相圖1（a），（b）中的同宿軌線L（P1，P1），而周期波解（up（ξ），νp（ξ））中的up（ξ）對(duì)應(yīng)于包圍中心的閉軌線，它被包含于由同宿軌線L（P1，P1）所包圍的區(qū)域中.下面以l＜0的情形為例進(jìn)行討論.考察在對(duì)稱同宿軌道內(nèi)的周期波解up（ξ）當(dāng)k→1時(shí)向孤波解u（ξ）的演變，對(duì)于l＞0情形的結(jié)論可類似得到.

當(dāng)l＜0時(shí)，系統(tǒng)（9）過(guò)鞍點(diǎn)P1（a1，0）的同宿軌道上點(diǎn)的Hamilton量為其中再由Hamilton函數(shù)知，H即

Hamilton量為h2的軌線在l＜0時(shí)與x軸的交點(diǎn).其中，包含于同宿軌道的周期閉軌線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)e1，e2，e3與x1，x2，x3關(guān)系為x1＜e3＜e2＜x2＝a1＜e1＜x3（見(jiàn)圖1（b）），且當(dāng)模數(shù)時(shí)，有e3→x1， e2→x2＝a1， e1→x2＝a1.

結(jié)合上面的分析，可求得

綜合上面的計(jì)算和前面的定性分析，可得到如下定理.

定理4 當(dāng)k→1時(shí)，方程（1）的周期波解對(duì)應(yīng)相圖上的周期閉軌擴(kuò)張成同宿軌道L（P1，P1）.

為了直觀地體現(xiàn)周期波解與孤波解之間的關(guān)聯(lián)性，現(xiàn)作出Jacobi橢圓函數(shù)周期波解up（ξ）向孤波解u（ξ）演變的三維示意圖，如圖3所示.圖3中，取此時(shí)l＝3，m＝4，p＝1.

［1］ Kumpershmidt B A.A coupled Korteweg－de Vries equation with dispersion［J］.J Phys A：Math Gen，1985，（18）：571－573.

［2］ Garder C S.The Korteweg－de Vries equation and generalizations IV［J］.Journal of Mathematical Physics，1971，12（4）：1548－1551.

［3］ Konno K，Ichikawa Y H.A modified Korteweg－de Vries equation for ion acoustic waves［J］.J Phys Soc Japan， 1974，37（7）：1631－1636.

圖3 k→1時(shí)周期波解up（ξ）趨向于孤波解u（ξ）Fig.3 Periodic wave solution up（ξ）tends to solitary wave solution u（ξ）when k→1

［4］ Dodd R K，Eilbeckj C，Gibbon D J，et al.Solitons and nonlinear wave equations［M］.London：Academic Press Inc Ltd，1982.

［5］ Narayanamurti V，Varma C M.Nonlinear propagation of heat pulses in solids［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1105－1108.

［6］ Tappert F D，Varma C M.Asymptotic theory of selftrapping of heat pulses in solids［J］.Phys Rev Lett，1970，25（16）：1108－1111.

［7］ Zhang W G，Chang Q S，F(xiàn)an E G.Methods of judging shape of solitary wave and solutions formula for some evolution equations with nonlinear terms of high order［J］.J Math And Appl，2003，287（1）：1－18.

［8］ Lu B Q，Pan Z L，Qu B Z，et al.Solitary wave solutions for some systems of coupled nonlinear equations［J］.Physics Letters A，1993，180（1）：61－64.

［9］ Xu X J，Zhang J F.New exact and explicit solitary wave solutions to a class of coupled nonlinear equations［J］.Communications in Nonlinear Science ＆Numerical Simulation，1998，3（3）：189－193.

［10］ Ito M.Symmetries and conservation laws of a coupled nonlinear wave equation［J］.Phys lett A，1982，91（7）：335－338.

［11］ 葉彩兒.幾個(gè)非線性發(fā)展方程（組）的精確解與Painleve分析［D］.杭州：浙江大學(xué)，2003：28－31.

［12］ 張衛(wèi)國(guó)，劉剛，任迎春.非線性波動(dòng)方程的孤波解與余弦周期波解［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30（1）：15－21.

［13］ An J Y，Zhang W G.Exact periodic solutions to generalized BBM equation and relevant conclusions［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2006，22（3）：509－516.