T型半導體量子線的動態(tài)屏蔽效應

劉 月 王廷棟 白凌志 程 誠 張 偉 懷 平

(中國科學院上海應用物理研究所 上海 201800)

半導體量子線系新型半導體納米材料，是基于兩個半導體量子阱界面處的量子限域效應而形成的準一維系統(tǒng)[1]，可望應用于發(fā)光器件等領域。近年來制備出矩形、T型、V型截面的量子線，并開展了大量的光譜學研究[2–14]。實驗結果表明，半導體量子線激光器相對半導體量子阱激光器具有低閾值、高增益等特性[15,16]。

由于半導體量子線載流子處于受限環(huán)境，其受光激發(fā)特性有待進一步研究。例如，在一維半導體系統(tǒng)中，由于庫侖相互作用使電子與空穴形成復雜狀態(tài)(有激子、雙激子、激子氣體、激子液滴及電子-空穴等離子體)，其吸收譜具有復雜結構。研究表明，摻雜的半導體量子線存在費米面吸收等特性[17,18]。半導體量子線是探索一維電子-空穴體系物理的合適體系，也因其潛在應用而廣受關注。

本文研究光激發(fā)的一維半導體量子線的量子限域效應及多體效應對其光學性質的影響。相比二維結構的半導體量子阱，準一維系統(tǒng)半導體量子線中載流子間的相互作用因很強的量子限域效應而加強[19]。在半導體研究中，載流子間的庫侖相互作用帶來了復雜的多體效應，如能帶重整化、光吸收增強等效應[17,20]。當受激產(chǎn)生的電子-空穴氣體濃度較低時，電子-空穴間的庫侖作用較強，二者結合形成激子-中性的準粒子；當受激產(chǎn)生的電子-空穴氣體濃度較高時，庫侖作用被帶電載流子自身所屏蔽，強度大為減弱而無法束縛電子-空穴，形成電子-空穴等離子體[1]。從低濃度的激子氣體到高濃度的電子-空穴等離子體的轉變過程稱為 Mott相變[2]。文獻[2,4,11]發(fā)現(xiàn) Mott相變過程中激子、雙激子和等離子體的光譜學特性。由于高濃度電子-空穴體系中存在很強的庫侖屏蔽效應，導致半導體的光學吸收譜和光致發(fā)光譜的峰位置發(fā)生紅移和譜學展寬。這些現(xiàn)象對應于激子束縛能、帶隙及載流子散射強度伴隨電子-空穴密度增加而增強的效應。

1 理論模型

以 GW近似為基礎，分別采用動態(tài)PPA (Plasmon-Pole Approximation)和準靜態(tài)PPA計算了不同截面尺度的T型半導體量子線的能帶重整化和載流子自能，并對其結果進行比較。我們考慮理想的二能帶模型，無相互作用的電子和空穴的能量分別為：εe,k=(?k)2/(2me), εh,k=(?k)2/(2mh)+ Eg0，其中，me和mh分別為電子和空穴的有效質量，Eg0為不含能帶重整化時的帶隙。

1.1 PPA理論和GW近似

在PPA理論中，準一維體系的介電函數(shù)如下表示為[1,21–23]：

式中，k為動量，ωpl(k)為一維等離子頻率，ωk為有效等離激元頻率，δ為描述載流子壽命相關的衰減常數(shù)[1,21–23]。

其中，V(k)為無屏蔽的有效庫侖勢；m為電子與空穴的折合質量，1/m=1/me+1/mh；κ為屏蔽常數(shù)；β=1/(kBT)；ni(ε) =1/(eβ(ε–μi)+1),為費米分布函數(shù), μi為粒子的化學勢，且在溫度和粒子濃度確定時可通過∫dk/(2π) ni(ei,k)= n求解，ei,k=εi,k+Δi(k)，Δi(k)為能帶重整化能量。

基于GW近似的單粒子自能為[22,23]：

其中，Gi(k,z)=1/(z–ei,k+μi)為松原格林函數(shù)(Matsubara Green Function)，Vs(k,z)=V(k)/ε(k,z)為動態(tài)屏蔽庫侖勢。

1.2 動態(tài)PPA下的單粒子自能

式(3)中的動態(tài)屏蔽庫侖勢 Vs(k–k',z–z')可通過PPA理論得到，將松原格林函數(shù)和動態(tài)屏蔽庫侖勢代入式(3)，并對z'求和得到動態(tài)PPA理論計算的單粒子自能為[18,22,23]：

其中，nB(ε)=1/(eβε–1)為玻色愛因斯坦分布函數(shù)。我們稱式(4)右邊第一項為關聯(lián)自能，第二項為屏蔽交換自能[1,22,23]。由于存在虛數(shù)iδ，動態(tài)PPA理論計算的單粒子自能包含實部和虛部兩部分:

1.3 準靜態(tài)PPA下的單粒子自能

將式(3)中的Vs(k–k', z–z')替換成Vs(k-k',0)稱為靜態(tài)近似，這樣僅得到屏蔽交換自能，致使這種方法不能給出精確結果。比靜態(tài)近似精確的是準靜態(tài)近似，即忽略散射中的反沖能量 ei,k–ei,k'。因此，準靜態(tài)近似下能帶重整化表示為[22]：

其中，Vs(k)=Vs(k,0)=V (k)/ε(k,0)是靜態(tài)屏蔽庫侖勢，可通過PPA理論求得，我們稱此方法為準靜態(tài)PPA。

1.4 有效庫侖勢

在準一維量子線體系中，若不考慮屏蔽效應，載流子間的有效庫侖相互作用可采用包絡近似計算[15,22]：

其中，i和j是能帶，k是動量，κ0為第二類修正Bessel函數(shù)。本文me=0.0665m0, mh=0.457m0，砷化鎵體材料的激子玻爾半徑a0=12.5 nm和激子束縛能E0=4.2 meV，φ(x,y)為載流子在量子線截面處的包絡函數(shù)。

考慮到多體效應的影響，為簡化計算，采用無限高勢壘近似，即載流子完全束縛在量子線中。在無限高勢壘近似下，電子-電子、電子-空穴、空穴-空穴間的有效庫侖勢相同[15,22]，記為V(k)。圖(1)為由式(7)算得的不同截面尺度 T型量子線的有效庫侖勢，內嵌框圖為T型量子線的橫截面示意圖。Lx、Ly為橫向和縱向的阱寬，計算中使用的包絡函數(shù)為：

式中，φ(x)和ξ (y)分別為x和y方向的基態(tài)波函數(shù)。由圖1，量子線的有效庫侖作用在k→0處發(fā)散，逼近于?lnk；當k→∞時，有效庫侖勢趨于0。具有一定截面結構的電荷分布在無窮遠處，可視為作點電荷，即此結果逼近點電荷的庫侖勢。上述三種截面尺寸半導體量子線的有效庫侖勢隨截面尺度減小而明顯增強。表明一維體系對載流子的束縛隨截面尺度的減小而增強，庫侖作用在受限體系中顯著增強是低維系統(tǒng)的共同特征。理論表明，當截面尺度趨于無限小時，有效庫侖勢趨于無限大。但實際半導體系統(tǒng)中由于有限勢壘的約束，載流子易從量子線中泄漏，故不能實現(xiàn)很強的量子限域效應。

圖1 不同截面尺度的T型量子線中的有效庫侖相互作用Fig.1 Effective Coulomb potentials of T-shaped semiconductor quantum wire Vs. cross-section size.

2 計算結果與討論

準靜態(tài)PPA下電子能量ee,k–Eg0=εe,k+Δe(k)–Eg0和空穴能量eh,k=εh,k+ Δh(k)隨動量的變化見圖2，計算所用粒子濃度為ne=nh=106cm–1，溫度為100 K。準靜態(tài)PPA下的電子能量和空穴能量隨量子線截面尺度的減小而發(fā)生較大移動。當載流子受到的約束增大時，它們間的有效庫侖作用變強，多體作用帶來的能帶重整化效應也增強，帶隙變小。

圖3為動態(tài) PPA下電子能量的實部 Re[∑e(k, ee,k–μe)]+εe,k–Eg0和空穴能量的實部 Re[∑h(k, eh,k–μh) ]+ εh,k。計算中δ=0.5 meV，粒子濃度為ne= nh=106cm–1，溫度為100 K。由圖3 (a)，若不考慮庫侖作用，采用有效質量近似的半導體量子線的電子動能呈拋物線形狀[1]。具有動態(tài)屏蔽的庫侖作用明顯改變了電子能帶的形狀，當電子能量與等離子體的共振頻率接近時，由于強烈的散射效應，電子能量顯著減小，電子能帶出現(xiàn)極小值。當有效庫侖作用隨量子線尺度減小時，散射效應增強，從而形成更大的能帶重整化效應。

從圖3 (b)和圖2(b)可見，同一截面尺度下采用準靜態(tài)PPA和動態(tài)PPA計算所得空穴能量實部接近，這是由于空穴的有效質量大于電子，具有較大動能，因此不易發(fā)生類似電子的強烈散射效應。

圖2 準靜態(tài)PPA下T形量子線的電子(a)與空穴(b)的能帶Fig.2 Energy bands of electron(a) and hole(b) of T-shaped quantum wire in static PPA.—— Lx = Ly = 4(nm), - - - Lx = Ly = 7, ?·?· Lx = Ly = 10

圖3 動態(tài)PPA近似下T型量子線的電子(a)與空穴(b)的能帶實部Fig.3 The real part of energy bands of electron (a) and hole (b) of T-shaped quantum wire in dynamic PPA.—— Lx = Ly = 4(nm), - - - Lx = Ly = 7, ?·?· Lx = Ly = 10

圖 4為動態(tài) PPA下電子能量的虛部 Im[∑e(k, ee,k–μe)]和空穴能量的虛部 Im[∑h(k, eh,k–μh)]。自能的虛部對應于準粒子的壽命，自能虛部中的極值與此處的強烈散射有關。由圖4可見，電子能量的虛部極值位置隨截面尺度的減小向 k變大的方向移動，與圖3(a)所示的能量突變位置相同，進一步表明有效庫侖作用帶來的散射效應隨量子線截面尺度減小而增強。而圖4(b)的空穴自能虛部與電子相比很小，來源于較大的有效質量。

圖4 動態(tài)PPA近似下T型量子線的電子(a)與空穴(b)的自能虛部Fig.4 The imaginary part of self energies of electron (a) and hole (b) of T-shaped quantum wire in dynamic PPA.—— Lx = Ly = 4(nm), - - - Lx = Ly = 7, ?·?· Lx = Ly = 10

3 結語

采用有限溫度下的格林函數(shù)理論計算了T型半導體量子線的載流子自能，采用包絡線近似計算了各種截面尺度下的有效庫侖勢。為精確計算動態(tài)屏蔽效應，采用GW近似和PPA理論研究半導體量子線截面尺度的變化對能帶能量的影響，并比較動態(tài)PPA理論和準靜態(tài)PPA理論計算的能帶能量。計算結果表明，準一維體系具有很強的量子限域效應，并顯著增強了載流子間的有效庫侖作用。受到電子間強烈散射的影響，動態(tài)屏蔽效應誘導了電子能帶及壽命的很大變化。由于空穴具有較大的有效質量，動態(tài)屏蔽效應對其影響較小。

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