變形晶體X射線分光性能的數(shù)值模擬

王 麗 徐中民 王納秀

1 (中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 上海 201800)

2 (中國科學(xué)院研究生院 北京 100049)

上海同步輻射光源的輻射功率高，其高熱負(fù)載會降低光束線分光元件性能，甚至失效。晶體單色器是同步輻射裝置光束線關(guān)鍵器件，對X射線起單色化作用，其分光效果決定X射線的能量分辨率。X射線經(jīng)雙晶單色器第一塊晶體后強(qiáng)度降低[1]，對第二塊晶體的熱效應(yīng)影響可忽略，因此，本文研究晶體單色器第一塊晶體的Darwin寬度變化。

晶體單色器從連續(xù)的同步輻射光譜中分離出單一波長的 X射線，須滿足晶體 Bragg衍射方程mλ=2dsinθB。由于晶體承受高熱負(fù)載、冷卻水壓力和機(jī)械安裝變形等因素影響，導(dǎo)致其晶格參數(shù)或晶面方向發(fā)生改變，造成晶體 Darwin寬度及 Bragg角θB選擇的單色X射線能量帶寬發(fā)生展寬，從而降低晶體的分光性能。將上式微分，得晶體 Bragg反射的本征能量分辨率為Δλ/λ=ΔE/E=ΔθBcotθB，式中的ΔθB是晶體Bragg反射角寬度(Darwin寬度)。本文通過有限元軟件計(jì)算同步輻射晶體單色器晶體變形位移，確定晶體倒格矢的改變量，按變形晶體光學(xué)理論預(yù)測變形晶體的Darwin寬度，建立一套預(yù)測直接水冷卻晶體單色器分光性能的方法，并應(yīng)用于同步輻射光束線晶體單色器的設(shè)計(jì)和加工。通常采用面形誤差法預(yù)測雙晶單色器分光性能，即計(jì)算晶面斜率誤差的RMS值。面形誤差法較成熟，但其預(yù)測結(jié)果不能很好反映實(shí)際變形晶體的 Darwin寬度的展寬。文中采用倒格矢法和面形誤差法數(shù)值模擬方法分別對簡單機(jī)械壓彎晶體、弧矢聚焦月牙槽直接水冷卻晶體變形晶體分光性能進(jìn)行表征，并結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果比較了兩種方法的優(yōu)劣。

1 數(shù)值模擬方法

1.1 倒格矢法

采用文獻(xiàn)[2]的ANSYS有限元軟件計(jì)算變形晶體倒格矢的方法：

其中，I是單位矩陣, (hx', hy', hz')是變形后晶體倒格矢的三個(gè)分量，(hx, hy, hz)是晶體未變形時(shí)倒格矢的三個(gè)分量，U是位移量相對于位置的偏導(dǎo)數(shù)的矩陣。它是一個(gè)平均值，需求出節(jié)點(diǎn)在其被共有的每個(gè)單元中U值，再進(jìn)行平均。而ANSYS軟件中不能提供直接的計(jì)算，因此對于U值需進(jìn)行下列計(jì)算。

雅可比行列式

式中，(r, s, t)為單元坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，(x, y, z)為全局坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)。Nn是單元的第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)，(u, v, w)是全局坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)的位移量。

U的計(jì)算分為兩步：

(1) 計(jì)算每個(gè)單元積分點(diǎn)的位移量相對于位置的偏微分矩陣。ANSYS軟件可給出每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)全局坐標(biāo)下的位置和位移量。形函數(shù) Nn可在ANSYS手冊中查到，不同單元對應(yīng)不同的形函數(shù)。將節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)、位移量、形函數(shù)代入式(2)可計(jì)算全局坐標(biāo)下每個(gè)積分點(diǎn)(rint, sint, tint)的位移量相對于位置的偏微分矩陣U(rint, sint, tint)。

(2) 計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移量相對于位置的偏微分矩陣U(ri, si, ti)。這里只用8個(gè)角積分點(diǎn)(rint, sint, tint)=(±A, ±A, ±A)，不同類型單元的A值各不不同，對本文計(jì)算中采用的SOLID95單元，A=0.758686910639328[3]。每個(gè)節(jié)點(diǎn)的U(ri, si, ti)由式(4)給出:

由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)被幾個(gè)單元共有，同一節(jié)點(diǎn)在不同單元中的U(ri, si, ti)通常不等，因此，計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)的U(ri, si, ti)時(shí)需將其在每個(gè)單元的值進(jìn)行平均(即Uavg)，然后代入式(1)，算出每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的倒格矢。

本文用實(shí)際晶體在衍射光束時(shí)的Bragg角與理想Bragg角的差值表征晶體Darwin寬度展寬，即用Bragg角的變化表征變形后晶體子午方向的Darwin寬度展寬。變形后晶體子午方向的Darwin寬度展寬的計(jì)算方法如下：先由已知的計(jì)算，為在入射波矢與未變形的倒格矢所確定的面上的投影。晶體的Darwin寬度展寬Δω為：

式中，θ1為與的夾角，即晶體變形后的入射角補(bǔ)角，θ2為與的夾角，即完整晶體的入射角補(bǔ)角(圖1)。本文計(jì)算興趣區(qū)內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的入射角即Bragg角的變量(ΔθB)。

圖1 θ1、θ2示意圖Fig.1 Sketch map of θ1、θ2.

采用ANSYS[2]軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，得出晶體在外加條件下的變形量，即每個(gè)單元里各節(jié)點(diǎn)的位移(UX,UY,UZ)，即式(2)中的(u, v, w)。在ANSYS中讀出各節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)(x, y, z)和位移(u, v, w)后，用MATLAB軟件對式(2)–(4)編程算得所選單元所需節(jié)點(diǎn)的U(rint, sint, tint)，然后對所需節(jié)點(diǎn)在各單元不同U(rint, sint, tint)值進(jìn)行平均得出Uavg，代入式(1)求出變形后的倒格矢，再對公式(5)編程計(jì)算，即得變形晶體的Δω。

1.2 面形誤差法[4]

面形誤差法是采用變形晶體受光表面光斑中心線上垂直表面位移沿子午方向的傾斜誤差(slope error)表征變形晶體Darwin寬度展寬的方法，通常用曲線傾斜誤差的RMS值表征。

SE為晶體的表面傾斜誤差，UD為晶面上各點(diǎn)在垂直晶體受光表面方向上的位移，Y為晶面子午方向上各點(diǎn)的坐標(biāo)位置。

其中n為取點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

2 數(shù)值模擬結(jié)果

2.1 完整晶體Darwin寬度的計(jì)算

根據(jù)晶體中X射線衍射原理[5]及文獻(xiàn)[6]的理論計(jì)算，完整晶體Si(111)在波長1.54時(shí)的反射率曲線如圖2，P=1(即π偏振)，對稱(b=1)Bragg本征反射，算得晶體本征Darwin寬度為36.67 μrad。

圖2 完整晶體的反射曲線Fig.2 The reflectivity curve of undistorted crystal.

2.2 機(jī)械壓彎變形晶體

圖3為模擬的Si(111)晶體壓彎結(jié)構(gòu)示意圖，晶體長140 mm，寬60 mm，高40 mm。運(yùn)用ANSYS軟件模擬計(jì)算，壓彎半徑R=610 m，1 mm網(wǎng)格，楊氏模量169 GPa，泊松比0.3。

用倒格矢法從ANSYS結(jié)果中讀出各單元節(jié)點(diǎn)的位置(X, Y, Z)、位移(UX,UY,UZ)值，由 MATLAB程序計(jì)算可得壓彎后晶體的Δω為11.06 μrad。

圖3 晶體壓彎結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Figure of bend crystal.

圖4是用面形誤差法給出的模擬結(jié)果，光斑中心線上垂直方向的最大變形量為0.0128 mm，光斑中心線的傾斜誤差為33.88 μrad，RMS=10.01 μrad。

2.3 弧矢聚焦晶體單色器直接水冷晶體

本文對上海光源BL16光束線弧矢聚焦晶體單色器直接水冷第一晶體進(jìn)行數(shù)值模擬。Si(111)晶面承受儲存環(huán)200 mA產(chǎn)生的熱負(fù)載，晶體熱導(dǎo)率148 w·m–1oC，楊氏模量130 GPa，泊松比0.3，熱膨脹系數(shù)2.2×10–6oC–1。晶體中水槽內(nèi)水壓和Si-Cu接觸面的壓力均為0.2 MPa[7]。

采用ANSYS軟件進(jìn)行穩(wěn)態(tài)熱分析，再進(jìn)行熱-結(jié)構(gòu)的順序耦合計(jì)算，模擬直接水冷卻晶體純熱負(fù)載引起的熱變形。倒格矢法和 RMS值法模擬結(jié)果分別為4.12 μrad和3.89 μrad。

圖4 ANSYS結(jié)果 (a) 光斑中心線的位移，(b) 光斑中心線的斜率誤差Fig.4 Result from ANSYS.(a) Displacement of center line on the footprint, (b) Slope error of center line on the footprint

圖5是200 mA熱負(fù)載下的模擬結(jié)果，光斑中心線上垂直方向的最大變形量為 0.73 μm，光斑中心線的傾斜誤差峰谷值為 12.05 μrad，RMS 3.89 μrad。

3 討論

采用倒格矢法對晶體 Si(111)(簡單壓彎變形晶體和弧矢聚焦晶體單色器直接水冷卻晶體)進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值誤差約17%，吻合程度有待提高。

分析其原因可能是數(shù)值模擬中未考慮弧矢方向晶體變形的影響，但實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果中包含晶體弧矢方向變形和晶體Bragg角調(diào)節(jié)過程中弧矢方向耦合的貢獻(xiàn)，造成出射光在弧矢方向的偏轉(zhuǎn)。對光斑中心弧矢方向1 mm范圍內(nèi)變形對入射角變化的影響按子午方向同樣方法進(jìn)行模擬，得入射角變化3.36 μrad。用均方根法綜合考慮弧矢和子午方向的影響，則Darwin寬度展寬保守值為5.32 μrad。因此變形晶體Darwin寬度展寬實(shí)際值應(yīng)為4.12–5.32 μrad，覆蓋了5.0 μrad實(shí)驗(yàn)值。

本文推薦采用的倒格矢數(shù)值模擬方法計(jì)算結(jié)果比 RMS值方法更接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在預(yù)測晶體分光性能具有一定的優(yōu)越性，對改進(jìn)直接水冷卻單色器的搖擺曲線模擬計(jì)算過程及同步輻射光束線晶體單色器的設(shè)計(jì)加工有指導(dǎo)意義。

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4 Zachariasen W H. Theory of X-ray diffraction in crystals ch III[M]. New York: Dover Publication, INC.1945

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6 WANG Naxiu, LIU Shilei, XU Zhongmin, et al. Cooling of double crystal monochromator with sagittal focus at SSRF[J]. Nucl Sci Tech, 2010, 21(2): 65–68

7 王 劼. 上海光源BL16B測試報(bào)告[R]. 上海: 上海應(yīng)用物理研究所, 2009

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