壓電懸臂梁智能元數(shù)字仿真模型設(shè)計及分析

王 雷 任秉銀

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

鄒鴻生

(浙江大學(xué)航空航天學(xué)院，杭州 310027)

柔性薄壁結(jié)構(gòu)是航空航天領(lǐng)域重要的發(fā)展方向，近年來國內(nèi)外學(xué)者對以壓電材料作為傳感器及作動器的智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動控制問題進行了大量的研究工作［1－5］.

智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的物理模型實驗測試過程中很難改變智能材料的尺寸及布置位置;材料的粘合水平及測試精度甚至環(huán)境噪聲都會影響實驗結(jié)果;此外經(jīng)過反復(fù)的實驗測試后模型會有一定程度的疲勞破壞:故對其進行仿真是必要的.

智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的建模及仿真大體有4種方法:①有限元軟件仿真;②Matlab軟件仿真;③模擬電路仿真;④數(shù)字電路仿真.

文獻［6］用有限元軟件對分布式壓電懸臂梁和板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)建模并研究最大控制力問題;雖然該方法具有諸多優(yōu)點，但隨著結(jié)構(gòu)越復(fù)雜以及劃分單元越多，動態(tài)分析計算時間過長.文獻［7］基于剪應(yīng)變理論對壓電層合梁利用Matlab軟件進行振動響應(yīng)分析;Matlab法的缺點是很難建立復(fù)雜的仿真模型.文獻［8］利用有限差分方法對壓電智能梁以及板結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的PZT(鋯鈦酸鉛)壓電陶瓷激勵器進行模擬電路仿真.文獻［9－10］對壓電智能控制下的懸臂梁動力學(xué)系統(tǒng)采用有限差分方法進行模擬電路化仿真并進行位移反饋和速度負反饋控制測試.模擬電路同樣難以構(gòu)建復(fù)雜模型，并且模擬電路元件存在零漂、響應(yīng)速度低等缺點，放大倍數(shù)有限，限制了振動控制仿真的分析精度.

目前采用數(shù)字電路的仿真研究很少，數(shù)字電路的大存儲空間和高運算速度/精度可以使仿真模型的離散化密度更高，并且改變模型參數(shù)簡便，為對更復(fù)雜物理結(jié)構(gòu)模型的振動控制仿真提供保障.

本文提出了針對于壓電懸臂梁智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)多模態(tài)振動控制的專用智能元仿真模型，采用有限差分法將壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的主體結(jié)構(gòu)、傳感及控制的連續(xù)高階動力學(xué)偏微分方程轉(zhuǎn)化為離散化智能元常微分方程并建立智能元數(shù)學(xué)矩陣模型，進而基于Newmark-β積分方法在DSP數(shù)字電路上設(shè)計智能元仿真模型，進行了2種不同反饋控制下的振動特性分析，取得比采用模擬電路元件來構(gòu)造等效電路化模型更精確的結(jié)果.

1 懸臂梁主體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)矩陣模型

如圖1所示的彈性歐拉-柏努利懸臂梁，分別完全布置了厚度為hS和ha的作為傳感器/作動器的壓電薄膜.不考慮壓電薄膜慣量和剛度以及梁結(jié)構(gòu)阻尼和溫度變化所產(chǎn)生的影響，由文獻［9］可知在受到外部激勵和壓電控制力矩時，沿著梁長度x方向上某點的動力學(xué)偏微分方程可表示為

圖1 壓電懸臂梁智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

將如圖2所示的梁沿著長度x方向等分為m段，每段長度為Δx=L/m.段間節(jié)點序號為i，懸臂梁固定端的節(jié)點號為i=0，外側(cè)自由端節(jié)點號為 i=m，各節(jié)點的垂直位移用 u3，0～ u3，m表示.

圖2 有限差分后的壓電懸臂梁智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

先不考慮壓電薄膜對懸臂梁施加的控制效應(yīng)，節(jié)點i的動力學(xué)偏微分方程可利用中心有限差分法轉(zhuǎn)化為常微分方程:

需要在懸臂梁的固定端和自由端的外側(cè)虛擬出3個節(jié)點i=－1，m+1，m+2.將各節(jié)點的有限差分方程聯(lián)立成為一個非齊次方程組如下:

懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的邊界條件為固定端

自由端

在考慮邊界條件后，式(3)中左側(cè)系數(shù)矩陣可轉(zhuǎn)化成為m×m的方陣，得到在非受控情況下的系統(tǒng)數(shù)學(xué)矩陣模型，該模型可表示為一個類似多自由度彈性體系的無阻尼振動方程組的形式:

其中，K0為m×m的初始剛度矩陣;M為質(zhì)量矩陣，M=ρh×E，E為單位陣;其余為單列陣.

2 壓電懸臂梁的智能元矩陣模型

假設(shè)距離節(jié)點Δx/2范圍內(nèi)的位移u3及幾何結(jié)構(gòu)特性都與該節(jié)點等同，整個梁是由m+1個子區(qū)域構(gòu)成，處于邊界的區(qū)域為Δx/2，其余的為Δx.涵蓋了結(jié)構(gòu)本體/傳感器/作動器的子區(qū)域稱為一個智能元.通過分析單個智能元的運動、傳感、控制力/力矩特性，建立相互之間的動力學(xué)關(guān)系，最終建立整體智能元矩陣模型.

2.1 智能元傳感信號的離散化解析

由文獻［11］可知，完全布置在懸臂梁表面的壓電傳感器的傳感信號積分方程為

利用二階有限差分將傳感信號分解為各個智能元傳感信號的疊加值:

考慮邊界條件，得到傳感信號的簡化解:

此方法得到的壓電傳感信號并不受傳感器內(nèi)部節(jié)點位移影響，而是由傳感器自由端邊界節(jié)點位移及邊界內(nèi)側(cè)一個差分長度的節(jié)點位移決定.

2.2 控制力矩的離散化解析

由文獻［9］可知，壓電作動器產(chǎn)生的控制力矩等效集中在自由端.

1)當(dāng)位移反饋控制時，控制電壓與傳感信號成比例放大(φa=GφS)，由力矩平衡得

將式(9)和式(10)整理后代入式(5)中，得到位移反饋控制時的智能元矩陣模型:

與非受控模型式(5)相比，受到位移反饋控制后，Kd隨著位移反饋增益G的調(diào)整而改變，系統(tǒng)剛度及模態(tài)特性也相應(yīng)的產(chǎn)生變化.

2)當(dāng)速度負反饋控制時，控制信號被定義為φa=G?φS/?t，此時由力矩平衡得

同樣的，將式(13)和式(14)整理代入式(5)中，得到壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的速度負反饋控制時的智能元矩陣模型:

其中Cv為產(chǎn)生的阻尼陣，與非受控模型(5)相比，速度負反饋控制改變系統(tǒng)阻尼特性.

3 基于數(shù)字電路的智能元仿真模型

明確了受控下智能元矩陣模型最終的剛度矩陣K，阻尼矩陣C，質(zhì)量矩陣M后，得到每個時間步長下的節(jié)點位移的算法流程如圖3所示.

圖3 智能元位移仿真算法流程圖

選用數(shù)字電路TMS320C6713 DSP作為智能元仿真模型的硬件載體，它可以每秒處理16億機器語言指令，PC機上的Code Composer Studio數(shù)字仿真軟件通過USB仿真器與數(shù)字電路進行數(shù)據(jù)交互.

對于完全層合布置了厚度為4×10－5m的壓電薄膜的尺寸參數(shù)為 L×b×h=0.1×0.01×1.6×10－3m3的懸臂梁，所模擬的材料及控制參數(shù)采用文獻［9］中的數(shù)據(jù)，相關(guān)材料參數(shù)如表1所示.

表1 材料參數(shù)

3.1 不同積分時間步長的振動響應(yīng)分析

先設(shè)置差分密度(分段數(shù))為m=8，激勵信號為持續(xù)時間不足1/4個周期的固定值，改變時間步長Δt，自由振動響應(yīng)曲線見圖4.不同時間步長下數(shù)字電路模型在自由振動狀態(tài)下的共振頻率與理論值的誤差見表2.可以看出步長越大時數(shù)字電路仿真模型自由振動的頻率越小于理論值且誤差越來越大.當(dāng)Δt=5ms時，每半個周期約有4個采樣點，誤差明顯放大，故分段數(shù)為8時積分時間步長應(yīng)不大于Δt=2ms，即響應(yīng)周期內(nèi)存在約20個以上的采樣點能保證結(jié)果的精確性.

圖4 分段數(shù)m=8時不同時間步長下的自由振動曲線

表2 不同時間步長下自由振動的頻率誤差

3.2 不同模態(tài)及分段數(shù)的振動響應(yīng)分析

為驗證數(shù)字電路仿真模型的高階模態(tài)特性，采用固定持續(xù)時間及幅值的余弦激勵信號.通過改變頻率，可以得到各階模態(tài)下的振動響應(yīng)曲線.圖5是仿真模型前2階模態(tài)的系統(tǒng)共振波形(m=8，Δt=0.1ms).其中圖 5b 是 2 階模態(tài)頻率余弦激勵的共振響應(yīng)，通過位移響應(yīng)的峰值變化趨勢可以看出，由于模型是從靜止位置開始運動，故包含有輕微的一階模態(tài)響應(yīng)，證明該仿真模型可以同時模擬多個模態(tài)的振動特性.

圖5 前2階模態(tài)余弦激勵時系統(tǒng)的振動曲線

表3是在固定步長Δt=0.1ms下，改變差分的分段數(shù)m，分別取前2階模態(tài)的5個和16個諧振周期的平均振動頻率及與理論值的誤差.

表3 前2階模態(tài)在不同分段數(shù)下的頻率誤差

分段數(shù)越多，離散的差分模型越接近于實際物理模型，數(shù)字仿真模型所得到的模態(tài)共振頻率也越接近于理論值;在時間步長和分段數(shù)一樣的情況下，模態(tài)階數(shù)越高，數(shù)字仿真模型的模態(tài)共振頻率與理論值的誤差也越大;并且隨著模態(tài)階數(shù)的增加，模態(tài)共振頻率也增大，相應(yīng)對時間步長Δt的要求也越高，在某一階模態(tài)振動響應(yīng)的各個周期內(nèi)應(yīng)存在約20個以上的采樣點.

3.3 位移反饋及速度負反饋控制效果分析

為了驗證數(shù)字電路仿真模型在位移反饋及速度負反饋控制下的控制效果，與文獻［9］中的理論值及模擬電路仿真結(jié)果進行比較.選取時間步長Δt=0.1ms和分段數(shù)m=24，施加不同反饋增益，得到的受位移反饋控制后的第1階振動頻率及與理論值的誤差以及速度負反饋控制下振動波形的阻尼比及與理論值的誤差，同時與文獻［9］中模擬電路仿真結(jié)果進行比較見表4和表5.

表4 位移反饋控制下的振動頻率及誤差

表5 速度負反饋控制下振動信號阻尼比及誤差

可以看出，位移反饋控制使系統(tǒng)的自由振動頻率隨著反饋增益的增加而降低;增大速度負反饋控制的反饋增益，受控的振動波形阻尼比先是逐漸加大到某一個極值后再緩慢降低.數(shù)字電路仿真模型比采用模擬電路元件的仿真方法具有更高的精確度，更接近文獻［9］中的理論值.

4 結(jié)論

本文針對壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)振動控制問題，提出了一種專用的智能元仿真建模方法，在DSP數(shù)字電路模型中驗證了其可行性.

1)智能元數(shù)字電路模型具有可差分密度高、誤差小、成本低、抗干擾性高、壽命長、改變模型參數(shù)簡便等特點，能有效克服有限元仿真模型對智能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析時間過長及模擬電路仿真精度低、難于建立復(fù)雜模型的缺點.

2)智能元仿真模型的時間積分步長應(yīng)選擇小于模型振動周期的1/20才能保證仿真的精確性.而隨著差分密度的增大，仿真模型的振動響應(yīng)越接近理論結(jié)果.

3)智能元仿真模型在位移和速度反饋控制下的模態(tài)控制頻率及阻尼比與理論值的誤差遠低于模擬電路模型的結(jié)果，為研究復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)振動控制仿真分析提供了一種新的途徑.

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