基于分形理論的高強(qiáng)混凝土動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)關(guān)系*

焦楚杰，李習(xí)波，程從密，李從波

(1.廣州大學(xué)土木工程學(xué)院，廣東 廣州 510006； 2.清遠(yuǎn)市省級(jí)職教基地籌建辦公室，廣東 清遠(yuǎn) 511500)

混凝土是一種包括多級(jí)多相介質(zhì)的非均勻材料。在混凝土破壞過(guò)程中，其裂縫擴(kuò)展方向通常按照“Z”字形路徑向外擴(kuò)展，并且在尺寸較大的“Z”字形裂紋之中，穿插著較小尺寸的“Z”字形裂紋，錯(cuò)綜復(fù)雜的裂紋使混凝土構(gòu)件的斷裂面表現(xiàn)出凸凹不平的破壞形態(tài)[1-2]。分形理論適用于描述上述不規(guī)則性、不確定性、模糊性和非線性[3-4]。本文中擬基于前期C60、C80級(jí)高強(qiáng)混凝土(high strength concrete, HSC)的SHPB沖擊實(shí)驗(yàn)[5]，采用分形維數(shù)的方法分析HSC在SHPB沖擊荷載作用下的內(nèi)部細(xì)觀損傷演化行為，并對(duì)其采用動(dòng)態(tài)損傷因子進(jìn)行定量分析，研究HSC的動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)關(guān)系。

1 基于分形理論的損傷演化

1.1 基本假定

Bazant等[6]發(fā)現(xiàn)，當(dāng)測(cè)量尺度δ無(wú)限趨近于零時(shí)，分形曲線長(zhǎng)度將趨近無(wú)窮大。然而，實(shí)際試塊的裂紋擴(kuò)展路徑不可能達(dá)到無(wú)窮大的長(zhǎng)度。因此可以假定，在量測(cè)尺度范圍[δmin，δmax]內(nèi)，試塊破壞由分形裂紋擴(kuò)展而引起。此外，參照平板單向受拉I型單裂紋擴(kuò)展斷裂問題(如圖1所示)，增加如下假定：混凝土試塊處于平面應(yīng)力狀態(tài)，擴(kuò)展裂紋具有分形自相似性。

假設(shè)荷載作用下試塊裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度為2l，裂紋擴(kuò)展的投影長(zhǎng)度為2l0，Mandelbrot等[7]研究表明：

(1)

式中：Df為裂紋的分形維數(shù)，取值范圍為1.0～2.0；δ為裂紋測(cè)量尺度，滿足：

(2)

式中：ri為橫截面分形維數(shù)的測(cè)量尺碼，以粗骨料的最小粒徑為觀測(cè)尺度；a為被覆蓋區(qū)域的特征尺寸，在R2平面區(qū)域上，a為區(qū)域的邊長(zhǎng)；δ的取值范圍為[δmin，δmax]。

謝和平等[8]確定了混凝土損傷分形的物理標(biāo)度域范圍，即δ∈(0，1]。由前期實(shí)驗(yàn)結(jié)果，ri=5 mm，a=70 mm，因此：

(3)

依照Borodich力線法的定義[9]，當(dāng)試塊無(wú)初始裂紋時(shí)，力線近似為直線。當(dāng)試塊開裂后，裂紋區(qū)域的開始逐漸得到釋放，裂紋尖端附近的力線場(chǎng)表現(xiàn)出非均勻性，此時(shí)，開裂區(qū)域近似表現(xiàn)為菱形或橢圓形，如圖2所示。

根據(jù)分形曲線的特征，圖2中的裂紋區(qū)域邊界可以由標(biāo)準(zhǔn)Kock分形曲線構(gòu)造而成。如果構(gòu)造過(guò)程中裂紋區(qū)域的面積保持不變，則裂紋區(qū)域的邊界周長(zhǎng)L為：

(4)

由此可得：

(5)

同時(shí)，由式(5)可得裂紋分形區(qū)域周長(zhǎng)L與面積A(一般假設(shè)為常數(shù)λl02，其中λ為與開裂區(qū)域形狀有關(guān)的常數(shù))的關(guān)系：

(6)

1.2 分形損傷演化

在SHPB實(shí)驗(yàn)中，HSC試塊在不同應(yīng)力作用水平下，承載面內(nèi)微裂紋的分布具有分形的自相似性，圖3為顯微鏡觀測(cè)HSC試塊承載面上細(xì)觀微裂紋分布圖，在到達(dá)峰值應(yīng)力前，損傷區(qū)域的分形維數(shù)隨著應(yīng)力增加而增加；在峰值應(yīng)力點(diǎn)時(shí)，分形維數(shù)在損傷區(qū)域達(dá)到極限值；超過(guò)峰值應(yīng)力后，數(shù)值開始下降，分形維數(shù)在承載面損傷區(qū)域的變化反映出HSC試塊內(nèi)部細(xì)觀損傷演化行為。

在歐氏幾何圖形中，圖形面積A0與周長(zhǎng)L0之間的關(guān)系為：

(7)

式中：η0為圖形的形狀參數(shù)?？紤]分形效應(yīng)的損傷變量時(shí)，參考裂紋區(qū)域邊界周長(zhǎng)式(4)和文獻(xiàn)[10]，損傷面的分形周長(zhǎng)L和表觀周長(zhǎng)L0之間的關(guān)系為：

(8)

歐氏材料表觀損傷變量[11]定義為：

(9)

將式(7)代入式(9)，推導(dǎo)出試塊的表觀損傷變量ω可以表示為：

(10)

式中：Ak和Ac均為跟圖形形狀有關(guān)的參數(shù)，在同一研究對(duì)象中取值相等；Lk、Lc分別為Ak和Ac對(duì)應(yīng)斷裂面的周長(zhǎng)。

根據(jù)分形損傷變量ωf跟表觀損傷變量ω之間的關(guān)系，并結(jié)合升維法可以得到關(guān)系式[12]：

(11)

將式(6)代入到式(10)得：

(12)

將式(11)代入到式(12)可得出分形空間內(nèi)分形損傷變量:

(13)

由式(13)可知，分形損傷變量?jī)H跟裂紋擴(kuò)展分形維數(shù)有關(guān)，與量測(cè)尺度δ無(wú)關(guān)；又因?yàn)锳c是承載面的初始承載面積，因此Df,c= 1.0，并將其代入式(13)，則:

(14)

式(14)即為所求的混凝土分形損傷變量表達(dá)式。若Df,k=1，則16(1-1/Df.k)=1，表示裂紋還未開始擴(kuò)張，Df,k=Df,c=1，即分形損傷變量跟表觀損傷變量相等，擴(kuò)張裂紋為光滑，無(wú)分形效應(yīng)。

對(duì)Df,k的取值范圍進(jìn)行討論，由式(14)可知，則ωf是關(guān)于Df,k的增函數(shù)，因此Df,k在(1,2)范圍內(nèi)有最大取值。由式(3)和損傷的含義：

(15)

計(jì)算可得Df,k≤1.604，即Df,k的取值范圍為1.0～1.604。其物理意義是HSC試塊的分形損傷限值為1.604，超過(guò)該限值后，HSC試塊便失去承載能力。

2 HSC動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)關(guān)系的建立

唐志平[13]針對(duì)環(huán)氧樹脂的沖擊力學(xué)性能研究，提出了朱-王-唐(ZWT)本構(gòu)模型：

(16)

在沖擊載荷條件下，HSC表現(xiàn)出更強(qiáng)的應(yīng)變率相關(guān)性，并且還伴有動(dòng)態(tài)損傷的發(fā)生和擴(kuò)展，因此，需要對(duì)ZWT模型進(jìn)行改進(jìn)。式(16)中，f(ε)表示與應(yīng)變率無(wú)關(guān)的平衡態(tài)應(yīng)力，共由3項(xiàng)組成，描述了材料的非線性彈性響應(yīng)。試塊在達(dá)到一定的應(yīng)變時(shí)，混凝土試塊內(nèi)部的微裂紋逐漸出現(xiàn)失穩(wěn)擴(kuò)展，導(dǎo)致試塊的損傷，應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)出明顯的非線性，但是在應(yīng)變較小的應(yīng)力-應(yīng)變曲線初始階段，實(shí)驗(yàn)曲線表現(xiàn)為近似的線性[14]。因此可以把f(ε)近似為線彈性，即：

(17)

(18)

混凝土材料的本構(gòu)非線性主要源于動(dòng)態(tài)損傷演化影響，而動(dòng)態(tài)分形損傷演化與應(yīng)變率敏感閾值密切相關(guān)。混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段主要呈現(xiàn)線性，下降段主要呈現(xiàn)非線性。因此，要獲得混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線的下降段，就必須考慮動(dòng)態(tài)損傷演化的影響。

結(jié)合式(14)和式(18)，考慮動(dòng)態(tài)分形損傷演化的混凝土動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)方程為：

(19)

式(19)中待定參數(shù)較多，本文中采用如下方式進(jìn)行處理。

(1) 忽略準(zhǔn)靜態(tài)條件下黏彈性項(xiàng)的影響，根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線切線的斜率可以直接確定E0。

(2) 低應(yīng)變率條件下，高頻Maxwell單元的影響很小，將動(dòng)態(tài)和準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(應(yīng)變相同處)相減，得出式(20)，由此求得E1、θ1。由于相減部分為非線性不顯著段(ε<0.01)，此時(shí)試塊還無(wú)明顯損傷，可以不考慮損傷項(xiàng)的影響。

(20)

同理，由于高應(yīng)變率條件下，低頻Maxwell體部分的影響很小，可以根據(jù)高應(yīng)變率下SHPB實(shí)驗(yàn)獲得的應(yīng)力-應(yīng)變曲線相減，得出式(21)，求得E2、θ2的取值范圍。

(21)

(3) 根據(jù)高應(yīng)變率和準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變曲線相減，在前面兩步的基礎(chǔ)之上，再按照式(22)最終擬合出E1、θ1、E2、θ2。

(22)

3 HSC本構(gòu)模型的參數(shù)擬合與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用前面介紹的3個(gè)步驟處理，利用高頻Maxwell單元和低頻Maxwell單元影響性的大小，對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行擬合求解?；趯?shí)測(cè)曲線，對(duì)HSC損傷本構(gòu)方程進(jìn)行擬合。C60級(jí)HSC的擬合結(jié)果為：E0=29.4 GPa，E1=8.1 GPa，θ1=0.1 s，E2=25.7 GPa，θ2=9.0×10-5s；C80級(jí)HSC的擬合結(jié)果為：E0=34.4 GPa，E1=8.9 GPa，θ1=0.1 s，E2=36.2 GPa，θ2=2.1×10-5s。

采用HSC試塊在SHPB沖擊壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)模型進(jìn)行驗(yàn)證。設(shè)分形損傷因子Df,k分別為1.1、1.3、1.5、1.6，并取4組不同應(yīng)變率工況下的C60、C80級(jí)HSC的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行比較。將實(shí)測(cè)曲線與理論模型計(jì)算所得曲線畫于坐標(biāo)平面內(nèi)，如圖4～5所示，其中實(shí)線為實(shí)測(cè)曲線，虛線為理論曲線。由圖4～5可知，理論曲線和實(shí)測(cè)曲線符合較好。

4 結(jié) 論

(1) 基于C60、C80級(jí)HSC的SHPB沖擊實(shí)驗(yàn)，依照HSC試塊裂紋的不規(guī)則性、裂紋斷裂表面的粗糙性具有自相似性和無(wú)標(biāo)度性，采用分形維數(shù)的方法來(lái)分析HSC試塊的內(nèi)部細(xì)觀損傷演化行為，推導(dǎo)出了HSC分形損傷變量表達(dá)式，標(biāo)定了HSC裂紋的分形維數(shù)范圍為1.0～1.604，其物理意義是HSC的分形損傷限值為1.604，達(dá)到這個(gè)限值，HSC試塊失去承載能力。

(2) 參考ZWT模型，結(jié)合HSC實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的應(yīng)變率相關(guān)性、動(dòng)態(tài)損傷特性，以及近似恒應(yīng)變率，推導(dǎo)出了動(dòng)態(tài)分形損傷演化的HSC動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)方程。為了便于方程參數(shù)的確定，根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)、低應(yīng)變率、高應(yīng)變率荷載下的HSC材料特性，對(duì)方程的各子項(xiàng)進(jìn)行取舍。

(3) 采用4組應(yīng)變率工況下C60、C80級(jí)HSC應(yīng)力-應(yīng)變曲線，對(duì)HSC動(dòng)態(tài)損傷本構(gòu)方程進(jìn)行驗(yàn)證，模型曲線和實(shí)驗(yàn)曲線有較好的吻合。

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