“全等三角形”題型解析

?樺川縣第二中學(xué) 劉芳琪

隨著課程改革的不斷深入，一大批格調(diào)清新、設(shè)計獨特的開放型、探究型、操作型等創(chuàng)新題紛紛在各地中考試卷上閃亮登場.近年來，有關(guān)全等三角形的創(chuàng)新題更令人耳目一新、目不暇接；試題以它的新穎性、思辨性摒棄模式、推陳出新，創(chuàng)造性地描繪了一個絢麗多姿的圖形世界.

一、條件開放型

例1：如圖，△ABC與△ABD中，AD與BC相交于O點，∠1=∠2，請你添加一個條件（不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母），使AC=BD，并給出證明.

你添加的條件是：__________.

證明：

分析：此題答案不唯一，若按照以下方式之一來添加條件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，從而有AC=BD.

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，要由已知條件結(jié)合圖形通過逆向思維找出合適的條件，有一定的開放性和思考性.

二、結(jié)論開放型

例2：如右上圖，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E.由這些條件可以得到若干結(jié)論，請你寫出其中三個正確的結(jié)論.（不要添加字母和輔助線，不要求證明.）

結(jié)論1：

結(jié)論2：

結(jié)論3：

分析：由已知條件不難得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同時有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB與∠DCB且垂直平分DB等.以上是解決本題的關(guān)鍵所在，也都可以作為最后結(jié)論.

點評：本題是源于課本而高于課本的一道基本題，可解題思路具有多項發(fā)散性，體現(xiàn)了新課程下對雙基的考查毫不動搖，且更具有靈活性.

三、綜合開放型

例3：如圖，點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明.所添條件____.你得到的一對全等三角形是△________≌△________.

分析與證明：在已知條件中已有一組邊相等，另外圖形中還有一組公共邊.因此只要添加以下條件之一：①CE= DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根據(jù)SSS或SAS證得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE；并且在此基礎(chǔ)上又可以進一步得到△CEB≌△DEB.

點評：本題屬于條件和結(jié)論同時開放的一道好題目，題目本身并不復(fù)雜，但開放程度較高，能激起學(xué)生的發(fā)散思維，值得重視.

四、構(gòu)造命題型

例4：如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：①AB=AC，②AD=AE，③∠1=∠2，④BD=CE.請你以其中3個等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫出一個真命題（要求寫出已知、求證及證明過程）.

分析：根據(jù)三角形全等的條件和全等三角形的特征，本題有以下兩種組合方式：組合一：條件①②③結(jié)論：④；組合二：條件①②④結(jié)論：③.值得一提的是，若以②③④或①③④為條件，此時屬于SSA的對應(yīng)關(guān)系，則不能證得△ABC≌△DEF，也就不能組成真命題.

評析：幾何演繹推理論證該如何考？一直是大家所關(guān)注的.本題頗有新意，提供了一種較新的考查方式，讓學(xué)生自主構(gòu)造問題，自行設(shè)計命題并加以論證，給學(xué)生創(chuàng)造了一個自主探究的機會，具有一定的挑戰(zhàn)性.這種考查的形式值得重視.

五、猜想證明型

例5：如下圖，E、F分別是平行四邊形ABCD對角線BD所在直線上兩點，DE=BF，請你以F為一個端點，和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需研究一組線段相等即可）.

（1）連結(jié)_________；

（2）猜想：_________；

（3）證明：

（說明：寫出證明過程的重要依據(jù)。）

分析：連接FC，猜想：AC=CF.由平行四邊形對邊平行且相等，有AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC；再加上DE= BF，因此，只要連接FC，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS，容易證得△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF，從而得到AE=CF.

點評：此題為探索、猜想、并證明的試題.猜想是一種高層次的思維活動，在先觀察的基礎(chǔ)上，提出一個可能性的猜想，再嘗試能夠證明它，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.本題難度不大，但結(jié)構(gòu)較新，改變了傳統(tǒng)的固有模式.

六、判斷說理型

例6：兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結(jié)BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC.試判斷△EMC的形狀，并說明理由.

分析與解答：△EMC是等腰直角三角形.由已知條件可以得到：

DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°，∠DAB=90°.

連接AM，由DM=MB可知MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°.

從而∠MDE=∠MAC=105°，即△EDM≌△CAM.

因此EM=MC，∠DME=∠AMC，

又易得∠EMC=90°，

所以△EMC是等腰直角三角形.

點評：本題以三角板為載體，沒有采取原有的那種過于死板的形式，在一定程度上能激發(fā)學(xué)生的解題欲望.先判斷，再說理，試題平中見奇，奇而不怪，獨具匠心，堪稱好題.

七、拼圖證明型

例7：一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張直角三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上，且DE交AB于P.且（1）求證AB⊥ED；（2）若PB=BC.請找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并給予證明.

分析：（1）在已知條件的背景下，顯然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D，因而不難得∠APN=∠DCN=90°，即AB⊥ED.

（2）由AB⊥ED可得∠BPD=∠EFD=90°，

又PB=BC及∠PBD=∠CBA.

根據(jù)ASA有△PBD≌△CBA，在此基礎(chǔ)上，就不難得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB.

點評：本題將幾何證明融入到剪紙活動中，讓學(xué)生在剪、拼等操作中去發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論，較好地體現(xiàn)了新課程下“做數(shù)學(xué)”的理念.（2）題結(jié)論開放，而且結(jié)論豐富，學(xué)生可以從不同的角度去進行探索，在參與圖形的變化過程及探究活動中創(chuàng)造性地激活了思維，令人回味.

八、閱讀歸納型

例8：我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.那么在什么情況下，它們會全等嗎？

（1）閱讀與證明：

對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)?

對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)龋ㄗC明略）

對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：

已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.

求證：△ABC≌△A1B1C1.（請你將下列證明過程補充完整.）

證明：分別過點B，B1作B D⊥CA于D，

B1D1⊥C1A1于D1，

則∠BDC=∠B1D1C1=90°.

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1.

∴BD=B1D1.

（2）歸納與敘述：

由（1）可得到一個正確結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論.分析：（1）由條件AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°.

易得△ADB≌△A1D1B1，因此∠A=∠A1，

又由∠C=∠C1，BC=B1C1，

從而得到△ABC≌△A1B1C1.

（2）歸納為：兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個銳角三角形（或直角三角形或鈍角三角形）是全等的.

點評：邊邊角問題是全等三角形判定中的難點，也是學(xué)生易出錯的內(nèi)容，要涉及三角形形狀的分類.本題構(gòu)思新穎，創(chuàng)造性地設(shè)計了閱讀情境，引領(lǐng)學(xué)生跨越障礙，引導(dǎo)學(xué)生合情推理并總結(jié)概括，考查了學(xué)生閱讀理解、類比、概括等綜合能力，同時也培養(yǎng)了學(xué)生靈活、精細(xì)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì).

九、作圖證明型

例9：已知Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）根據(jù)要求作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）①作∠BAC的平分線AD交BC于D；②作線段AD的垂直平分線交AB于E，交AC于F，垂足為H；③連接ED.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上寫出一對全等三角形：△_______≌△_______并加以證明.

分析：（1）按照要求用尺規(guī)作∠BAC的平分線AD、作線段AD的垂直平分線，并連接相關(guān)線段.

（2）由AD平分∠BAC，

可以得到∠BAD=∠DAC；由EF垂直平分線段AD，

可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，

從而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共邊，

從而有△AEH≌△AFH≌△DEH.以上三組中任選一組即可.

點評：作角平分線和線段的垂直平分線是新課標(biāo)中明確提出的基本作圖之一，動手作圖，使學(xué)生在操作活動的過程中感受知識的自然呈現(xiàn)，體驗數(shù)學(xué)的神秘與樂趣，并實現(xiàn)數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，從而進一步感受數(shù)學(xué)的無限魅力，促進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).