威布爾分布族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗

黃金超， 凌能祥

（1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230009；2.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽滁州 239000）

0 引 言

經(jīng)驗Bayes檢驗函數(shù)問題在文獻(xiàn)中已有許多研究，對于連續(xù)型單參數(shù)指數(shù)族參數(shù)的EB檢驗問題，文獻(xiàn)［1－4］對其做了不同程度的研究，文獻(xiàn)［5］研究了刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes單側(cè)檢驗問題，但以上文獻(xiàn)都是對指數(shù)族中的x 1次冪條件下討論參數(shù)的檢驗問題，本文在“線性損失”下，研究威布爾（Weibull）分布族刻度參數(shù)的經(jīng)驗Bayes檢驗問題，把含有刻度參數(shù)指數(shù)族中的x次冪推廣到任意的m次方（m＞0）。

設(shè)隨機(jī)變量X條件概率密度［6］為：

其中，m和θ分別為形狀參數(shù)和刻度參數(shù)（m＞0），且本文假定m為已知常數(shù)，樣本空間為χ＝｛x｜x＞0｝，參數(shù)空間為Ω＝｛θ｜θ＞0｝。Weibull分布是威布爾于1939年首次引入的，若形狀參數(shù)m＝1，便得到通常的指數(shù)分布族。它在可靠性理論中有廣泛的應(yīng)用，如可以用來描繪疲勞失效、真空失效和軸承失效等壽命分布；它還運(yùn)用于由某一局部失效引起全部失效的現(xiàn)象［7］；同時在工程實踐、生存現(xiàn)象及氣象預(yù)測等領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用。另外，有關(guān)該分布刻度參數(shù)的EB檢驗的相關(guān)報道并不多，因此研究威布爾分布族刻度參數(shù)經(jīng)驗Bayes檢驗是非常有意義的。

設(shè)參數(shù)θ的先驗分布為G（θ），本文考慮分布族（1）式中參數(shù)θ的EB單側(cè)檢驗問題為：

其中，θ0＞0為已知常數(shù)。

其中，a為正常數(shù)；D＝｛d0，d1｝為行動空間，d0表示接受H0，d1表示否定H0；I［A］為集合A的示性函數(shù)。設(shè)

為隨機(jī)化判別函數(shù)，則在先驗分布G（θ）下δ（x）的風(fēng)險函數(shù)為：

其中，CG＝∫ΩL1（θ，d1）d G（θ）；

f（x）為r.v.X的邊緣分布，而u（x）＝mxm－1，

由于

故由（6）式可知：

由（5）式和（6）式易見Bayes判決函數(shù)為：

其Bayes風(fēng)險為：

上述風(fēng)險當(dāng)先驗分布G（θ）已知，且δ（x）＝δG（x）是可以達(dá)到的，但此處G（θ）未知，因而δG（x）無使用價值，于是考慮引入EB方法。

1 EB檢驗函數(shù)的構(gòu)造

設(shè)X1，X2，…，Xn和X是獨立同分布（iid）樣本，它們具有共同的邊緣密度函數(shù)，如（7）式，通常稱X1，X2，…，Xn為歷史樣本，稱X為當(dāng)前樣本，令f（x）為X1的概率密度函數(shù)，本文假定Cs，α為R1中一族概率密度函數(shù)，其s階導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)且絕對值不超過α，s＞1為正整數(shù)，首先要構(gòu)造α（x）的估計量。

令Kr（x）（r＝0，1，…，s－1）是Borel可測的有界函數(shù)，在區(qū)間（0，1）之外為0，且滿足條件：

其中，t＝1，2，…，s－1。

（2）Kr（x）在R1上除有限點集E0外是可微的，且

記f（0）（x）＝f（x），f（r）（x）表示對f（x）的第r階導(dǎo)數(shù)，r＝0，1，…，s。由文獻(xiàn)［8－10］定義密度函數(shù)f（x）的核估計為：

其中，｛hn｝為正數(shù)序列，且＝0；Kr（x）為滿足條件（1）、條件（2）的核函數(shù)。由于

因此φ（x）的估計量定義為：

所以α（x）的估計量為：

其中，fn（x）由（14）式給出。所以EB檢驗函數(shù)定義為：

令En表示對r.v.X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布求均值，則δn（x）的全面Bayes風(fēng)險為：

令c，c0，c1，c2…為常數(shù)，即使在同一式中它們也可能有不同的數(shù)值。

引理1 設(shè)f（r）n（x）由（14）式定義，其中X1，X2，…，Xn為獨立同分布樣本序列，若條件（1）、條件（2）成立，且f（x）連續(xù)，對?x∈χ，則有：

（1）若f（r）（x）關(guān)于x連續(xù)，則當(dāng)且時，有。

（2）若f（x）∈Cs，α，當(dāng)取時，對0＜λ≤1，有。

證明 先證結(jié)論（1）。由Cr不等式可知：

因為f（x）∈Cs，α，由Taylor展開得：

其中，x－thn≤x＊≤x。由核函數(shù)的性質(zhì)可知：

玉樹地處青藏高原腹地，抗震救災(zāi)任務(wù)異常艱巨。高原缺氧，低溫高寒，路阻電斷，余震不斷。艱難險阻面前，我們看到的是水利人更加迅捷、更加統(tǒng)一、更加有序、更加科學(xué)、更加有力、更加有效的抗震救災(zāi)行動：迅速反應(yīng)，統(tǒng)一指揮，科學(xué)研判，艱苦努力，成效顯著。目前，震區(qū)水利工程設(shè)施震損情況初步摸清，震損供水、供電設(shè)施快速修復(fù)，應(yīng)急排險和防范次生災(zāi)害工作抓緊進(jìn)行，水利災(zāi)后重建規(guī)劃編制工作全面啟動，各項協(xié)調(diào)保障工作有序開展。4月19日，震區(qū)第一項水利災(zāi)后重建工程——禪古水電站水庫大壩除險開工。水利人以最快的速度，用最短的時間，讓災(zāi)區(qū)群眾重新用上了電，喝上了干凈的水。

下面證明結(jié)論（2）。由Cr不等式可知：

將（23）式代入（22）式可得結(jié)論（2）成立。

引理2 令R（G）和Rn分別由（13）式和（18）式給出，則

證明 見文獻(xiàn)［1］引理1。

引理3 設(shè)φ（x）和φn（x）分別由（10）式和（15）式定義，其中X1，X2，…，Xn為獨立同分布的樣本，則對0＜λ≤1，有

證明 由于

故φn（x）為φ（x）的無偏估計，由Jensen不等式可知：

其中

由于X1，X2，…，Xn為獨立同分布r.v，故對一切i≠j，j＝1，2，…，n，有

故由（25）式可知：將（26）式代入（24）式，引理得證。

2 EB檢驗函數(shù)的漸近最優(yōu)性及收斂速度

定理1 設(shè)δn（x）由（17）式給出，其中X1，X2，…，Xn為獨立同分布樣本序列。假定條件（1）、條件（2）成立，若E（θ）＜∞且f（x）連續(xù)，則當(dāng)時有：

證明 由引理2可知：

記Bn（x）＝｜α（x）｜P（｜αn（x）－α（x）｜≥｜α（x）｜），顯見Bn（x）≤｜α（x）｜。由（11）式可知：

由控制收斂定理，可知：

再由引理1和引理3可知，對任何固定的x∈χ有：

將（30）式代入（29）式，定理得證。

定理2 設(shè)δn（x）由（17）式定義，其中X1，X2，…，Xn為獨立同分布的樣本序列，且假定條件（1）和條件（2）成立，若0＜λ≤1，有

（1）f（x）∈Cs，α。

（2）∫χ｜α（x）｜1－λuλ（x）d x＜∞。

（3）∫χ｜α（x）｜1－λd x＜∞。

其中，s＞1為給定的一個正整數(shù)。

證明 由引理2和Markov不等式，可知：

由引理3和條件（2）可知：

由引理1和定理1可知：

將（32）式和（33）式代入（31）式，定理得證。

3 例 子

為了說明適合文中定理條件的Weibull族和先驗分布是存在的，在（1）式中，令m為給定正整數(shù)，其中，取θ的先驗分布為：

a和b為已知常數(shù)，且a＞0，b＞1，所以有：

由于a＞0，b＞1，該積分為第1類廣義積分，當(dāng)mb（1－λ）－（1－λ）（m－1）＞1，即0＜λ＜m（b－1）／［m（b－1）＋1］，上述積分收斂。

類似（3），當(dāng)mb（1－λ）－（m－1）＞1，即0＜λ＜（b－1）／b，上述積分收斂。

由（1）～（4）可知，定理1和定理2的條件均成立。故有下述重要結(jié)論。

定理3 對Weibull分布（1）式先驗分布由（34）式給出，其中a＞0，b＞1，m為任意固定正整數(shù)，則定理1成立，又若0＜λ＜（b－1）／b，則定理2成立。

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